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2015-2016学年江苏省无锡市辅仁高中高三(上)12月月测数学试卷

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2015-2016 学年江苏省无锡市辅仁高中高三(上)12 月月测数学试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.(★★★★)已知复数 z 满足 (i 为虚数单位) ,则|z|= 2 .

2.(★★★★)已知集合 A={-1,0,1,2},B={x|x -1>0},则 A∩B=

2

{2}



3.(★★★★)设点

是角 α 终边上一点,若

,则 m=



4.(★★★)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落 于桌面,记所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是 .

5.(★★★)执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是

-1



6.(★★★)直线 3x+4y-15=0 被圆 x +y =25 截得的弦 AB 的长为

2

2

8



7.(★★★★)已知等差数列{a n},a 4+a 6=10,前 5 项的和 S 5=5,则其公差为

2



8.(★★★)已知双曲线 x -

2

=1 的一条渐近线与直线 x-2y+3=0 垂直,则 a=

4



9.(★★★)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ,则 b= 或3 .

10.(★★)已知平行四边形 ABCD 中,AD=2,∠BAD=60o,若 E 为 DC 中点,且

?

=1,



?

=

3



11.(★★★★)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

的右顶点为 A,

上顶点为 B,M 为线段 AB 的中点,若∠MOA=30o,则该椭圆的离心率的值为



12.(★★)过点 P(-1,0)作曲线 C:y=e 的切线,切点为 T 1,设 T 1 在 x 轴上的投影是点 H 1,过点 H 1 再作曲线 C 的切线,切点为 T 2,设 T 2 在 x 轴上的投影是点 H 2,依次下去,得到 第 n+1(n∈N)个切点 T
2014 n+1

x

,则点 T

2015

的坐标为

(2014,e

2014





13.(★★)如图,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点,AB=BC=2,

过动点 P 作半圆的切线 PQ,若

,则△ PAC 的面积的最大值为



14.(★★)△ ABC 中,tanA= 率是 .

,B=

.若椭圆 E 以 AB 为长轴,且过点 C,则椭圆 E 的离心

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15.(★★★)在△ ABC 中, ,BC=3,点 D 在 BC 边上.

(1)若 AD 为∠A 的平分线,且 BD=1,求△ ABC 的面积; (2)若 AD 为△ ABC 的中线,且 AD= ,求证:△ ABC 为等边三角形.

16.(★★★)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AC⊥BD,AC 与

BD 交于点 O,且平面 PAC⊥底面 ABCD,E 为棱 PA 上一点. (1)求证:BD⊥OE; (2)若 AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面 PBC. 17.(★★★)平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F 1(0,-c) ,F 2(0,c) ,A( 0)三点,其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示) ; (2)已知椭圆 (其中 a -b =c )的左、右顶点分别为 D、B,⊙M 与
2 2 2

c,

x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF 1 与直线 DF 2 的 交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.

18.(★★)某地拟模仿图甲建造一

座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分, 其中 E(0,t) (0<t≤25,单位:米) ;曲线 BC 是抛物线 y=-ax +50(a>0)的一部分; CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB=50 米. (1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )
2

(参考公式:若

19.(★★)已知数列{a n},{b n}满足 a 1=3,a nb n=2,b

n+1

=a n(b n-

) ,n ∈ N .

*

(1)求证:数列{

}是等差数列,并求数列{b n}的通项公式;

(2)设数列{c n}满足 c n=2a n-5,对于任意给定的正整数 p,是否存在正整数 q,r(p<q<r) , 使得 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q,r;若不存在,说明理由.

20.(★★)已知函数 f(x)=e (其中 e 是自然数的底数) ,g(x)=x +ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x)?g(x) ,且 a>0,求 F(x)的单调增区间; (2)若对任意 x 1,x 2∈0,2,x 1≠x 2,均有|f(x 1)-f(x 2)|>|g(x 1)-g(x 2)|成立, 求实数 a 的取值范围.

x

2


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