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高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.3.1单调性与最大(小)值》课件


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1.3.1 单调性与最大(小)值

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第1课时 函数的单调性

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目标要求 1.了解函数单调性的 概念,掌握判断一 些简单函数单调性 的方法. 2.能用文字语言和 数学符号语言正确 描述增函数、减函 数、单调性等概念 ,能准确理解这些 定义的本质特点.

热点提示

本节是研究函数的单调性及其 应用,学习时应注意以下几点:(1) 要结合特殊函数实例,利用图象的 形象直观,从感性上认识函数图象 具有上升或下降的变化趋势;(2)函 数单调性是用严谨的、定量的数学 符号语言描述地,必须结合实例准 确地把握;(3)判断或证明函数单调 性,需要综合运用其他知识(如不 等式、因式分解、配方法、数形结 合等),应注意复习相关知识.

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德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立

即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的,最初遗忘速度较
快,以后逐渐缓慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”, 并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的

艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图).

艾宾浩斯记忆遗忘曲线

这条曲线告诉我们,学习中的遗忘是有规律的,遗忘 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

的进程是不均衡的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后
来就逐渐变慢了.这条曲线表明了遗忘规律是“先快后 慢”.通过这条曲线能说明什么数学问题呢?

人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 有 数. ·

1.增函数和减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1,x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2) ,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数; 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1,x2,当x1<x2时,都 f(x1)>f(x2) ,那么就说函数f(x)在区间D上是减函

2.函数的单调性与单调区间 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数或减函数,那么
就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的 单调区间 .

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1.函数y=2x-2在R上
A.是增函数 答案:A B.是减函数

(

)

C.既是增函数又是减函数 D.不具有单调性

2.函数y=f(x)的图象如右图所示,其增区间是( 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

)

A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案:C

3.函数f(x)在R上是减函数,则有 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

(

)

A.f(3)<f(5)
C.f(3)>f(5) ∴f(3)>f(5). 答案:C

B.f(3)≤f(5)
D.f(3)≥f(5)

解析:∵函数f(x)在R上是减函数,3<5,

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4. 函 数

y= 1-x的 减 区 间 是

_ _



5.求证:函数f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函数. 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

证明:设0≤x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=2x-2x =2(x1-x2)(x1+x2). ∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+x2>0.

∴f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函数.

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类 型 一 【 例 1】

函 数 单 调 性 的 判 断 与 证 明 求 证 : 9 y=x+ (0<x≤3)为 减 函 数 . x

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证明:任取 x1,x2∈ ] 3 , 0 ( 且 x1<x2(即 x2-x1) > 0 , 9(x1-x2) 9 9 则 f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )=x2-x1+ x2 x1 x1x2 x1x2-9 9 =(x2-x1)(1- )=(x2-x1)· . x1x2 x1x2 ∵x2-x1>0,x1x2 < 0 > , 0 x1<x2≤3, ∴x1x2<9,有 x1x2-< 9 0 , ∴f(x2)-f(x1< 0 ) ,故 f(x)在 ] 3 , 0 ( 上为减函数.

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类 型 二 求 函 数 的 单 调 区 间 【 例 2】 求 函 数 f(x)= - 2 9-4x2的 单 调 区 间 .

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解 : 设9-4x2=t(t≥0), 3 3 2 由9-4x ≥0, 得 - ≤x≤ . 2 2 3 当 - ≤x≤0时 , 随 着 x增 大 , t增 大 ; 2 3 当0<x≤ 时 , 随 着 x增 大 , t减 小 . 2 又 函 数 y= - 2 t在[0, + ∞)上 是 减 函 数 , 3 2 所 以 , f(x)= - 2 9-4x 在[- ,0]上 是 减 函 数 , 在 2 3 (0, ]上 是 增 函 数 . 2 3 即 函 数 f(x)的 单 调 减 区 间 为 [- ,0], 单 调 增 区 间 为 2 3 (0, ]. 2

温馨提示:求函数的单调区间时,要先求函数的定义 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

域,因为单调区间是定义域的子集,如果函数是复合函数,
那么可将函数分解成基本初等函数,然后利用 “ 同增异减” 的原则求解.

类型三 利用函数的单调性求参数取值范围 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

【例3】 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,
4]上是减函数,求实数a的取值范围. 思路分析:由题目可获取以下主要信息: ①所给函数为二次函数,且含有参数; ②函数在区间(-∞,4]上是减函数.

解答本题可先将函数解析式配方,然后找出图象的对
称轴,再考虑对称轴与所给区间的位置关系,利用数形结 合求解.

解:f(x)=x2+2(a-1)x+2 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学

=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
∴此二次函数的对称轴为x=1-a. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a]. ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重

合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.

·

温馨提示:(1)二次函数是常见函数,遇到二次函数后 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

就配方找对称轴,画出图象,会给研究问题带来很大的方
便. (2)已知函数单调性求参数的取值范围,要注意数形结 合,采用逆向思维方法.

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类 型 四 抽 象 函 数 的 单 调 性 问 题 【 例 4】 已 知 函 数 f(x)对 任 意 f(y)=f(x+y), 且 当 x>0时 , f(x< . 0 ) 1 比 较 f(-2)与f( )的 大 小 . 8

x、y∈R, 总 有 :

f(x)+

思路分析:如果能够推导出原函数的单调性,那么这 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

个问题就能迎刃而解,此题的关键是如何推证出该函数的
单调性.

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解 : 先 来 考 察 该 函 数 的 单 调 性 . ∵f ) 0 ( +f ) 0 ( =(f ) 0 ( 令x=y=0),∴f ) 0 ( =0, 又 令 y= - x得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f ) 0 ( =0, ∴f(-x)= - f(x). 设x1,x2∈R且x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) =f(x2-x1). ∵x2-x1>0, 依 题 意 x>0,f(x < . 0 ) ∴f(x2-x1< 0 ) , 即 f(x2)<f(x1), 1 ∴y=f(x)在R上 为 减 函 数 . ∴f(- > ) 2 f( ). 8

温馨提示:研究抽象函数的单调性问题,仍采用特值 人 教 A 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·

法,即给变量赋予特殊值.不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)
的大小,往往需要把 x1 用 x2 + (x1 - x2) 来代替,再注意到题 目中所给的条件,顺利地放缩即可.

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判 断 并 证 明

x f(x)= 2 在(0,+∞)上的单调性. x +1

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①当0<x1<x2≤1时 , x2-x1 1 > , 0 f(x1> . 0 )

-x1x2>0, 则 f(x2)-

x ∴f(x)= 2 在 ] 1 , 0 ( 上 是 增 函 数 . x +1 ②当1≤x1<x2时 , x2-x1 1 > , 0 -x1x2<0, 则 f(x2)- f(x1< 0 ) , x ∴f(x)= 2 在[1, + ∞)上 是 减 函 数 . x +1

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求 下 列 函 数 的 单 调 区 间 : 1 ) 1 ( y= -x +2x; ) 2 ( y= . x+1
2

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) 2 ( 将 函 数

1 y= 的 图 象 向 左 平 移 x

1个 单 位 得 函 数

y=

1 的 图 象 , 如 下 图 所 示 . x+1 1 观 察 图 象 , 得 函 数 y= 的 单 调 递 减 区 间 是 x+1 (-∞, - 1),(-1, + ∞).

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本例中,若将函数“在区间(-∞,4]上是减 函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何 值? 解:由例题知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],

∴1-a=4,a=-3.,

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f(x)是 定 义 在

(0,+∞)上 的 增 函 数 , 且 1 f(x)-f( )≤2. x-3

x f( ) y

=f(x)-f(y),f ) 2 ( =1, 解 不 等 式

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1. 函 数 的 单 调 性 是 一 个 “区 间 概 念 ”, 如 果 一 个 函 数 在 定 义 域 的 几 个 区 间 上 都 是 增 (减)函 数 , 但 不 能 说 这 个 函 数 在 其 定 义 域 上 是 增 (减)函 数 . 例 如 : 函 数 f(x)= 1 在(-∞,0)上 是 减 函 数 , 在 (0,+∞)上 也 是 减 函 数 , x 1 但不能说f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上 是 减 函 数 , 因 x 为当x1=-1,x2=1时有f(x1)=-1<f(x2)=1不 满 足 减 函 数 的 定 义 .

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2. 判 断 函 数 单 调 性 的 常 用 方 法 ) 1 ( 定 义 法 ; ) 2 ( 两 个 增 (减)函 数 的 和 仍 为 增 (减)函 数 ; 一 个 增 (减) 函 数 与 一 个 减 (增)函 数 的 差 是 增 (减)函 数 ; ) 3 ( 如 果 f(x)在 区 间 D上 是 增 (减)函 数 , 那 么 f(x)在D的 任 一 子 区 间 上 也 是 增 (减)函 数 ; ) 4 ( 如 果 y=f(u)和u=g(x)单 调 性 相 同 , 那 么 y=f[g(x)] 是增函数,如果y=f(u)和u=g(x)单调性相反,那么y= f[g(x)]是减函数. k 3.要熟记y=x+ (k>0)的单调性. x

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