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江苏省连云港市2011-2012学年度第一学期高一期末考试数学试题


2011—2012 学年度第一学期高一期末考试 数学试题
注意:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 题号 得分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的值域为 ?? 1, 2, 5?,则该函数的定义域为 2.直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 的斜率是 3.已知函数 f ( x

) ? ? . . 条. . 一 15 16 17 18 19 20 总分

?3 x 2 ? 4, x ? 0, 则 f ( f (1)) ? x ? 0, ? 0,

4. AA 1 是正方体的一条棱,这个正方体中棱所在直线与直线 AA 1 是异面直线的共有 5.在平面内,设 A, B 为定点, P 为动点,则集合 P PA ? PB 表示的图形是 . 6.若用斜二测画法作 ?OAB 水平放置直观图如图 中 ?O A B 所示,则 ?OAB 的面积为
' ' '

?

?

B’ 1 . A’ 1 O’

y’

7.已知三点 A(3, 2) , B(8,12) , C (?2, a) 在同一条 直线上,则实数 a 的值为 .

x’

(第 6 题图) .

8.已知直线 x ? ay ? 2a ? 2 与直线 ax ? y ? a ? 1 平行,则实数 a 的值为 9.已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 lg

18 ? 25

(用 a , b 来表示). cm .
3

10.底面边长为 6cm,高为 15cm 的正六棱锥的体积是 11. 对 直 线 l , m, n 与 平 面

? , 下 列 说 法 : ① 若 l ? ?, 则 l 与 ? 相 交 ; ② 若
y

m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ,则 l ? ? ;③若 l // m, m ? ? , n ? ? ,则 l // n ;④若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ;⑤若 m // n, n ? ? ,则 m // ? .
其中正确的有 (将所有正确的序号都填上). .
x

y ? 16 x
C A O x B

12.函数 y ? x ? 1? x 的最大值为

y ? 4x
1

13.如图,过原点 O 的直线与函数 y ? 4 的图像交于

A, B 两点,过点 B 作 y 轴的垂线交 y ? 16 x 的图像于
点 C ,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标为
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.

(第 13 题图)

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14.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m ,使得对于任意 x ? M ( M ? D) ,有

( x ? m) ? D 且 f ( x ? m) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 m 度低调函数.如果定义域为
2 2 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时 f ( x ) ? x ? a ? a ,且 f ( x) 为 R 上的 5 度低调

函数,那么实数 a 的取值范围为

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知集合 A ? x 0 ? log 2 x ? 2 ,函数 y ? (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

?

?

1 的定义域为集合 B . x ? a ?1

16.(本题满分 14 分) 已知点 A(2,3), B(?1,1) 和直线 l : x ? y ? 1 ? 0 . (1)求直线 AB 与直线 l 的交点 C 的坐标; (2)求过点 A 且与直线 l 平行的直线方程; (3)在直线 l 上求一点 P ,使 PA ? PB 取得最小值.

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17.(本题满分 14 分) 某工厂生产某种零件,每个零件的成本为 80 元,出厂单价定为 120 元.该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订一个,订购的全部零件的出 厂单价就降低 0.04 元,但实际出厂单价不低于 102 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 102 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (3) 当销售商一次性订购零件不超过 600 个时, 订购多少零件时该厂获得的利润最大? (工厂售出一个零件的利润 ? 实际出厂单价 ? 成本)

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18.(本题满分 16 分) 如 图, 在四棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ⊥平 面 ABCD , PD ? DC ? 1 , AB ? 2 ,

AB / / CD , ?BCD ? 90 .
(1)求证: PC ? BC ; (2)若 E 是 PA 的中点,求证: DE / / 平面 PBC ; (3)求点 A 到平面 PBC 的距离. E

P

D

C

A (第 18 题图)

B

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19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? a 是奇函数. 4 ?1
x

(1)求常数 a 的值; (2)写出函数 f ( x) 的单调区间(不要求证明); (3) 设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , 判断

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ) 的大小,并给出证明. 与 f( 1 2 2

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20.(本题满分 16 分) 设直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与二次函数 f ( x) ? ax2 ? b (a ? 0, b ? 0) 的图象相交于 A, B 两点,线段 AB 在 x 轴上射影的长度为 2 5 ,且抛物线 y ? ax2 ? b 的顶点到直线 l 的距 离为 2 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求点 M (0, m) (m ? 1) 到函数 g ( x) ? f ( x) 图象上点的距离的最小值.

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高一数学参考答案
一、填空题: 1. ?? 2,?

? ?

3 1 ? ; 3.0; 4.4; 5.线段 AB 的垂直平分线; 6. 2 ; 7. ? 8 ; ,1? ; 2. ? 3 2 ?
? 5 1 5 5? , ; 13. ( , 2) ; 14. ? ? ? 4 2 ? 2 2 ?
……………………………2 分 ……………………………8 分 ……………………………14 分

8.1; 9. 3a ? 2b ? 2 ; 10. 270 3 ; 11.①,③; 12. 二、解答题: 15.解:集合 A ? ?1,4? , B ? ? a ?1, ??? . (1)∵ A ? B ,∴ a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 2 . (2)∵ A ? B ? ? ,∴ a ? 1 ? 4 ,∴ a ? 5 . 16.解: (1)依题意得直线 AB 方程为 由?

y ?1 x ?1 ? ,即 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 .………2 分 3 ?1 2 ?1
…………………4 分

?2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 8 3 得交点的坐标为 C (? , ) . 5 5 ? x ? y ?1 ? 0

(2)设所求的直线方程为 x ? y ? m ? 0(m ? 1). 依题意得 2 ? 3 ? m ? 0 ? m ? ?5 ,故所求的直线方程为 x ? y ? 5 ? 0. ………8 分 (3)先求出点 B 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的对称点 B1 (?2,0) , (或点 A 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的对称点 A1 (?4,?3) ) 直线 AB1 (或A1 B) 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的交点即为所求的点 P(? 17.解: (1)设一次订购量为 100 ? n (n ? N ) , 则批发价为 120 ? 0.04 n ,令 120 ? 0.04n ? 102 ,?120 ? 102 ? 0.04n, ? n ? 450 , 所以当一次订购量为 550 个时,每件商品的实际批发价为 102 元. ……………11 分

10 3 , ) . .……14 分 7 7

…………4 分 …………8 分

0 ? x ? 100, x ? N , ?120, ? (2)由题意知 f ( x) ? ?120 ? 0.04( x ? 100),100 ? x ? 550, x ? N , ?102, x ? 550, x ? N . ?

(3)当销售商一次批发个零件 x 时,该厂可获得利润为 y ,根据题意知:
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0 ? x ? 100, x ? N , ?40 x, ? y ? ?(40 ? 0.04( x ? 100)) x, 100 ? x ? 550, x ? N , ?22 x, 550 ? x ? 600, x ? N . ?
设 f1 ( x) ? 40 x(0 ? x ? 100) ,在 x ? 100 时,取得最大值为 4000 ;

…………10 分

设 f 2 ( x) ? ?0.04x2 ? 44x ? ?0.04( x ? 550)2 ? 0.04 ? 5502 (100 ? x ? 550) , 所以当 x ? 550 时, f 2 ( x) 取最大值 12100; 设 f3 ( x) ? 22 x(550 ? x ? 600) ,在 x ? 600 时,取得最大值 13200. 答:当销售商一次批发 600 个零件时,该厂可获得最大利润. 18.解: (1)因为 PD⊥ 平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD, 所以 PD⊥ BC.由∠ BCD=900,得 CD⊥ BC,又 PD PD、DC ? 平面 PCD,所以 BC⊥ 平面 PCD. 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥ BC. (2)取 PB 的中点 F ,连接 EF,CF. ∵E、F 分别是 PA、PB 的中点,∴EF 是△PAB 的中位线, A G DC=D, H E D F C

…………13 分

…………14 分
P

………5 分

B

1 1 即 EF / / AB ,而 CD / / AB ,∴ EF / /CD ,即四边形 DEFC 为平行四边形, 2 2
即 DE / / CF , CF ? 平面 PBC , DE ? 平面 PBC ,∴ DE / / 平面 PBC .……10 分 (3)分别取 AB、PC 的中点 G、H,连结 DG、DH,易证 DG∥ CB,DG∥ 平面 PBC,点 D、G 到平面 PBC 的距离相等.又点 A 到平面 PBC 的距离等于 G 到平面 PBC 的距离的 2 倍.由(1)知 BC⊥ 平面 PCD,所以平面 PBC⊥ 平面 PCD 于 PC,因为 PD=DC,PH=HC, 所以 DH⊥ PC,所以 DH⊥ 平面 PBC 于 H.易知 DH= 于 2 .……16 分 19.解: (1)因为函数 f ( x ) ?
x

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等 2

(也可用体积法……16 分)

1 ? a 是奇函数,所以 f (?1) ? f (1) ? 0 , …………2 分 4 ?1 1 1 1 即 ………………………………4 分 ?a? ?a ?0?a ? ? . 1 4 ?1 2 ?1 4
(2) ?? ?,0? 与 ?0,??? 都是函数 f ( x) 的单调减区间. ………………………………8 分

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(3)答:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ). 2 2

………………………………10 分

证明如下: Q x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ,

1 1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? ? f( 1 ) ? 4 ?1 4 ?1 ? 2 2 2
x1

1 4
x1 ? x2 2

?1

?

1 4 x2 ? 1 ? 4 x1 ? 1 2 1 2 2 x1 ? 2 2 x2 ? 2 2 ( x1 ? ) ? ( 2 x1 ? x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 2 x2 2 (4 ? 1)(4 ? 1) 2 ? 1 2 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 1 (1 ? 2 x1 ? x2 )(2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 0 .结论成立. 2 (2 2 x1 ? 1)(2 2 x2 ? 1)(2 x1 ? x2 ? 1)
……………………………16 分

?

20.解: (1)抛物线 y ? ax2 ? b 的顶点坐标为 (0, b) , 由 (0, b) 到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 得 解得 b ? 3或 ? 1 ,因 b ? 0 ,故 b ? ?1.
2

| 0 ? b ?1| 2

? 2,

……………………………3 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程 ax ? 1 ? x ? 1 的两实数根, 解得 x1, 2 ?

1 1 ? 1 ? 8a ,由 | x1 ? x2 |? 2 5 并注意到 a ? 0 得 a ? . 2 2a

1 2 x ? 1. ……………………………6 分 2 1 2 (2)设 P( x, y) 为函数 g ( x) ?| x ? 1 | 图象上的点. 2 1 2 2 当 ? 2 ? x ? 2 时, y ? 1 ? x , 0 ? x ? 2 , 2
于是 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ?

PM ? x 2 ? ( y ? m) 2 ? x 2 ? (1 ? m ?

1 2 2 x ) 2

?

1 4 x ? m x2 ? (m ? 1) 2 ?| m ? 1 |? m ? 1(m ? 1) ; ………………………8 分 4

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当 x ? ? 2或x ?

2 时, y ?

1 2 x ? 1, x 2 ? 2 , 2

1 PM ? x 2 ? ( y ? m) 2 ? x 2 ? ( x 2 ? m ? 1) 2 2
? 1 4 1 2 x ? mx2 ? (m ? 1) 2 ? ( x ? 2m) 2 ? 2m ? 1 , 4 4

2 因 m ? 1 , 2 m ? 2 ,故当 x ? 2m 时, PM 取最小值 2m ? 1 .…………………12 分

(m ? 1) 2 ? ( 2m ? 1) 2 ? m2 ? 4m ? m(m ? 4) ,
注意到 m ? 1 ,故当 m ? 4 时, (m ? 1) 2 ? ( 2m ? 1) 2 ; 当 1 ? m ? 4 时, (m ? 1) 2 ? ( 2m ? 1) 2 . 综上可知,当 m ? 4 时,点 M (0, m) (m ? 1) 到函数 y ? g ( x) 图象上点的距离的最小值为

2m ? 1 ;当 1 ? m ? 4 时,点 M (0, m) (m ? 1) 到函数 y ? g ( x) 图象上点的距离的最小
为值 m ? 1 . ……………………………16 分

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