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高考复习资料:立体几何


第 13 讲 立体几何 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27 分左右,考查的知识点在 20 个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题 着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着 新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展. 从历年的考题

变化看 , 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证 ,角与距离的探求 是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1. 有关平行与垂直(线线、 线面及面面)的问题, 是在解决立体几何问题的过程中, 大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不 可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问 题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概 括, 掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、 线面平行(垂直)、 面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知: “两平行平面没有公共点” 。 ⑵由定义推得: “两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理: “如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行” 。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理” ,但在解题过程中均 可直接作为性质定理引用。 4. 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及 与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面 角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进 行定量分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的 ? ? ?? 角 θ ∈(0, ],直线与平面所成的角 θ ∈ ?0, ? ,二面角的大小,可用它们的平面 2 ? 2? 角来度量,其平面角 θ ∈ ? 0,π ? . 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置 于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面 的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应 1 1 用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面 所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角; 而求二面角?-l-?的平面角 (记作?) 通常有以下几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面?,设?∩?=OA,?∩?=OB,则∠AOB=? ; (3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面?内一点 A,分别作另一个平面?的 垂线 AB(垂足为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C),连结 AC,则∠ACB=? 或∠ACB=?- ?; (4) 设 A 为平

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