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高考专题选择题填空题解法技巧练习

时间:2015-02-05


高考调研

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第一部分 论





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第一部分

论方法

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专题5

/>
选择题、填空题解法

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第一部分

专题5

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一、选择题 1.选择题在高考试卷中占有无比的位置,解答选择题的基 本策略是四个字——准确、迅速. 准确是解答选择题的先决条件.一步失误,造成错选,全题 无分.所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选 后认真检验,确保准确.

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迅速是赢得时间获取高分的必要条件.数学高考选择题是单 项选择,应根据题目本身提供的条件、特征或信息以及不要求书 写解题过程的特点,灵活选用简单、合理的解法,繁琐运算、避 免小题大做.给解答题(特别是中档题目)留下充裕的时间,争取 得高分.高考中考生不适应能力型的考试,致使“超时失分”(也 叫“隐形失分”)是造成低分的一大因素.对于选择题的答题时 间,应该控制在不超过 40 分钟,速度越快越好,高考要求每道 选择题在 1-3 分钟内解完.
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2.解数学选择题有两类基本技巧:一是直接法;二是间接 法.直接法:指充分利用题干和选项两方面提供的信息,快速、 准确地作出判断,是解选择题的基本策略;间接法:解选择题时 通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的解答,或 根据选择题的特殊性,寻找存在着若干异于常规题的特殊解 法.一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其它方法,充分利 用题干和选项两方面提供的信息,快速、准确地作出判断,是解 选择题的基本策略.
第一部分 专题5

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二、填空题 填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及分 析推理能力,考查学生基本的数学方法.填空题要求直接填写结 果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是数值准确、形式规 范、表达最简.

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填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,形式 灵活, 突出考查考生准确、 严谨、 全面、 灵活运用知识的能力. 近 年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出现了一些创新题 型,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等, 这些题型的出现,要求学生对每一个命题都进行认真分析推理, 只有全部命题判定准确才能得分, 这种题目要求更高, 难度更大.

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《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合 理、迅速” .因此,解填空题的基本策略是:快——运算要快, 力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要 全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审 题要细,不能粗心大意.

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直接法
类型一 直接法

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1.直接求解法是直接从题设出发,抓住命题的特征,利用定 义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断而得出 结果.这是解填空题时常用的基本方法.

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2.拿到一个选择题应依据其所提供信息,迅速确定最佳解 法.而高考卷中大部分选择题需要用直接法求解. 3.直接法的解题过程与常规解法基本相同,不同的是解选 择题时可利用选择支的暗示性,同时应注意:在计算和论证时应 尽量简化步骤,合理跳步,以提高解题速度,注意一些现成结论 的使用,如球的性质、正方体的性质,等差、等比数列的性质等.

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x2 y2 【典例 1】 已知命题 p:椭圆 2+ =1(a>0)的一个焦点与 a 12
2 1 x 抛物线 y2=8x 的焦点重合,则该椭圆的离心率为2;q:双曲线 4

y2 - =1 的左焦点到抛物线 y=4x2 的准线的距离为 2.则下列命题 5 中为真命题的是( A.p∨q C.綈 p∧q ) B.p∧q D.綈 p∨q

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【解析】 ∵抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴椭圆的一 个焦点坐标也为(2,0),∴c=2.又 b2=12,∴a2=16,a=4,∴e c 1 x2 y2 = = ,因此命题 p 为真命题;双曲线 - =1 的左焦点为(- a 2 4 5
2 2 1 x y 3,0), 抛物线 y=4x2 的准线方程为 y=-16, 因此双曲线 4 - 5 =1

1 的左焦点到抛物线 y=4x 的准线的距离为 , 故命题 q 为假命题, 16
2

因此 p∨q 为真命题.

【答案】 A

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【典例 2】

(2014· 湖北八校联考)已知抛物线 y2=2px(p>0)

x2 y2 的焦点 F 恰好是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲 线的交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( A. 2+1 C. 2 B.2 D. 2-1 )

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【解析】 由抛物线与双曲线的对称性知,两条曲线的交点 p 的连线与 x 轴垂直,而焦点 F 的坐标为(2,0),代入抛物线方程 p 可得其中一个交点的坐标为 A( ,p),则|AF|=p,设双曲线另一 2 个焦点为 F1,则|FF1|=p,|AF1|= 2p,所以 2c=p,2a= 2p-p 2c p =( 2-1)p,故离心率 e= = = 2+1. 2a ? 2-1?p
【答案】 A

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【典例 3】

(2014· 十堰市五校联考)已知 k 为如图所示的程
k

1n 序框图输出的结果,若二项式(x +x ) 的展开式中含有 x 项,则正 整数 n 的最小值为( A.3 B.4 ) C.5 D.6

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【解析】

运行程序框图结果如下:S=0+20=1,k=1;S

=1+21=3,k=2;S=3+23=11,k=3;S=11+211=2 059,k 1n =4.跳出循环,输出 k=4,于是二项式为(x +x ) ,它的展开式的
4

通项为

r 4 r 1 n-r 5r-n Tr+1=Cn(x ) · ( ) =C r x .若展开式中含有 n

x

x 项,则 5r

-n=1,即 n=5r-1,当 r=1 时,可知正整数 n 的最小值为 4, 故选 B.

【答案】 B
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【探究】 本题考查程序框图、数列的求和及二项展开式的 通项等基础知识,考查考生的运算求解能力.解题时首先需要理 解程序框图的意义, 通过数列求和的条件求出程序中的输出值 k, 并将 k 值代入二项展开式,然后利用二项展开式的通项求出满足 条件的正整数 n 的最小值.

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π π 【典例 4】 (2014· 荆州质检Ⅱ)若 α∈( , π), 且 3cos2α=sin( 2 4 -α),则 sin2α 的值为( 1 A. 18 17 C.18 1 B.- 18 17 D.-18 )

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【解析】 方法一

π 由 3cos2α=sin( -α), 得 3(cos2α-sin2α) 4

2 2 = 2 (cosα - sinα) , 即 3(cosα + sinα)(cosα - sinα) = 2 (cosα - π 2 sinα).由于 α∈( ,π),所以 cosα-sinα≠0,cosα+sinα= , 2 6 1 17 两端平方,得 1+sin2α=18,所以 sin2α=-18.

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方法二

π π π 由 3cos2α=sin( -α), 得 3sin( -2α)=sin( -α). 由 4 2 4

π π π π 二倍角公式,得 6sin(4-α)cos(4-α)=sin(4-α).由于 α∈(2,π), π π 1 π 2 π 所以 sin(4-α)≠0,cos(4-α)=6.sin2α=cos(2-2α)=2cos (4-α) 17 -1=- . 18

【答案】 D

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【探究】 本题考查正、余弦函数的二倍角公式的应用,考 查简单的三角恒等变换能力及灵活运用知识分析问题、解决问题 的能力.

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3 【典例 5】 设数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且满 2 18 S2n 8 足 2an + 1 + Sn = 3(n ∈ N ) ,则满足 17 < S < 7 的所有 n 的和为 n
*

________.

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【解析】 由 2an+1+Sn=3,得 2an+Sn-1=3(n≥2).两式相 an+1 1 减,得 2an+1-2an+an=0,化简得 2an+1=an(n≥2),即 a =2 n 3 a2 1 (n≥2).由已知求出 a2=4,易得a =2,所以数列{an}的首项为 1 3 1n 2[1-?2? ] 3 1 1n a1=2, 公比为 q=2的等比数列, 所以 Sn= 1 =3[1-(2) ], 1-2

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1 2n 18 S2n 8 1 1n 1 S2n=3[1-( ) ]代入 < < . 可得 <( ) < ,解得 n=3 或 4, 2 17 Sn 7 17 2 7 所以所有 n 的和为 7.

【答案】

7

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【探究】 本题主要考查等比数列及前 n 项和、不等式等有 关知识.解题时,先根据已知等式推出数列的通项公式,写出前 n 项和的表达式,再代入已知不等式进行求解即可.

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【典例 6】 (2014· 日照模拟)定义:min{a1,a2,a3,?,an} 表示 a1,a2,a3,?,an 中的最小值.已知 f(x)=min{x,5-x, x2-2x-1},且对于任意的 n∈N*,均有 f(1)+f(2)+?+f(2n-1) +f(2n)≤kf(n)成立,则常数 k 的取值范围是________.

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【解析】

∵f(x)=min{x,5-x,x2-2x-1},

∴当 n=1 时,f(1)=-2,f(2)=-1. 3 ∴f(1)+f(2)≤kf(1),即-3≤-2k,解得 k≤ ; 2 当 n=2 时,f(3)=min{3,5-3,32-2×3-1}=2,f(4)=1,

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∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)≤kf(2),即-2-1+2+1≤k×(-1), 解得 k≤0. 由以上可知 k 为非正数. 当 n≥3 时,{f(n)}是以 2 为首项,-1 为公差的等差数列, f(1)+f(2)+?+f(2n-1)+f(2n)≤kf(n), 2+5-2n 即-2-1+ ×(2n-2)≤k(5-n),2n2-9n+10≥k(n 2 -5).

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又 2n2-9n+10≥2×32-9×3+10=1,k(n-5)≤k(3-5)= 1 -2k,∴k≥-2. 1 综上所述,常数 k 的取值范围是[- ,0]. 2

1 【答案】 [-2,0]

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【探究】 本题主要考查对函数概念的理解与综合应用,突 出考查分类讨论思想与运算能力,属于难题.解决本题的关键是 得到 n≥3 时,{f(n)}是以 2 为首项,-1 为公差的等差数列,即 可求得常数 k 的取值范围.

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专题集训?作业(五)

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等价转化法

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类型二

等价转化法

等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围内可 解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转 化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转化过程中,一定 要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化,则需附加约束条 件.

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第一部分

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【典例 1】

(2014· 襄阳五校联考)已知函数 f(x)=ax-x2-

lnx,a∈R,若函数 f(x)在定义域上为减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A.( 2,+∞) C.(-∞, 2) B.[2 2,+∞) D.(-∞,2 2)

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第一部分

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【解析】

由题意得函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)

2x2-ax+1 1 =a-2x-x =- ,因为函数 f(x)在定义域上为减函数, x 所以 f′(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,即 2x2-ax+1≥0 在(0,+ ∞) 上 恒 成 立 , 所 以 2x2 + 1≥ax 在 (0 , + ∞) 上 恒 成 立 , 即 2x2+1 1 1 a≤( x )min=(2x+x )min,x∈(0,+∞).又 2x+x≥2 2,当且

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第一部分

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2 仅当 x= 时等号成立,所以 a≤2 2,所以 a 的取值范围是(- 2 ∞,2 2].

【答案】

D

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第一部分

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【典例 2】 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2, AA1=3, 点 M 是 BB1 的中点, 则三棱锥 C1-AMC 的体积为( A. 3 C.2 2 B. 2 D.2 3 )

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【解析】

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取 BC 中点 D,连接 AD.在正三棱柱 ABC-A1B1C1,△ABC 为正三角形, 所以 AD⊥BC, 又 BB1⊥平面 ABC, AD?平面 ABC, 所以 BB1⊥AD,而 BB1∩BC=B,所以 AD⊥平面 BCC1B1,即 AD ⊥平面 MCC1,所以点 A 到平面 MCC1 的距离就是 AD.在正三角 形 ABC 中,AB=2,所以 AD= 3,又 AA1=3,点 M 是 BB1 的 中 点 , 所 以 1 = 2 ×2×3 = 3 , 所 以 1 =3×3× 3= 3. A
第一部分 专题5

【答案】
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x2 y2 【典例 3】 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分 a b → → 别为 F1,F2,A,B 是 C 上两点,AF1=3F1B,∠BAF2=90° ,则 椭圆 C 的离心率为( 1 A. 2 1 C.4 ) 2 B. 2 3 D. 2

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第一部分

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→ → → 【解析】 由AF1=3F1B,可知 A,B,F1 三点共线.设|F1B| → =x, 则|AF1|=3x.由椭圆的定义可知|AF2|=2a-3x, |BF2|=2a-x, 在 Rt△ABF2 中有(4x)2+(2a-3x)2=(2a-x)2, 整理得 x(3x-a)=0, a 即 x=3.在 Rt△AF1F2 中有|F1F2|=2c,(3x)2+(2a-3x)2=4c2,将 x
2 a c 1 2 2 2 2 = 代入得 a +(2a-a) =4c ,即 2= ,故 e= . 3 a 2 2

【答案】 B

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第一部分

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【典例 4】

若点 P 在直线 l1:x+my+3=0 上,过点 P 的

直线 l2 与圆 C:(x-5)2+y2=16 只有一个公共点 M,且|PM|的最 小值为 4,则 m=________.

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第一部分

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【解析】 由题意知,圆 C 的圆心为(5,0),圆心到直线 l1 的 |5+0+3| 8 距离 d= = 2 , 设圆 C 的半径为 r, 结合图形可知(图 2 m +1 m +1 略),|PM|min= d -r =
2 2

64 -16=4,解得 m=± 1. 2 m +1

【答案】 ± 1

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第一部分

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【典例 5】

→ → 两个不共线向量OA,OB的夹角为 θ,M,N 分

→ → → 别为线段 OA, OB 的中点, 点 C 在直线 MN 上, 且OC=xOA+yOB (x,y∈R),则 x2+y2 的最小值为________.

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【解析】

→ 由 M,N 分别为线段 OA,OB 的中点,知OA=

→ → → → → → 2OM, OB=2ON, 所以OC=2xOM+2yON.由点 C 在直线 MN 上,
2 ? x + y ? 1 1 2 2 知 2x+2y=1,即 x+y= ,所以 x +y ≥ = . 2 2 8

1 【答案】 8

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5 【典例 6】 已知 α 是第一象限角,sinα= ,tan(β-α)= 5 1 -3,则 tan(β-2α)的值为________.

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第一部分

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5 2 5 【解析】 由于 α 是第一象限角, sinα= , 所以 cosα= , 5 5 tan?β-2α?+tanα sinα 1 tanα = cosα =2 .由 tan(β - α) =tan(β - 2α+ α) = 1-tan?β-2α?tanα 1 =- ,解得 tan(β-2α)=-1. 3

【答案】 -1

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专题集训?作业(六)

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特值、特例法
类型三 特值、特例法

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1.特例法是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对某 一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判断形式出 现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不真,则它在一 般情况下也不真”, 利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策 略.

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2.当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的 结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以 将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 (或特殊函 数,或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程, 特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化 推理、论证的过程.

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第一部分

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【典例 1】 a2x +?+a2 014x a2 014 + 2 014=( e A.e C.-1 )
2

(2014· 合肥四校联考)若(1+ex)2

014

=a0+a1x+

2 014

a1 a2 (x∈R, e 为自然对数的底数), 则- e +e2 -?

B.1 D.-e

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1 a1 a2 a2 014 【解析】 先令 x=- ,可得 0=a0- + 2 -?+ 2 014,再 e e e e a1 a2 a2 014 令 x=0,可得 a0=1,所以- e +e2 -?+e2 014=-1.

【答案】 C

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【典例 2】 不等式|x+3|-|2x-1|>0 的解集是( A.(-∞,-4) 2 B.(- ,4) 3 2 1 C.(-∞,-4)∪(-3,2) 2 D.(-∞,-4)∪(- ,4) 3

)

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【解析】 方法一 特值法: 令 x=-5, 得-7>0 不合题意. 故 选 B. 1 方法二 由|x+3|-|2x-1|>0, 得当 x≥ 时, x+3-(2x-1)>0, 2 1 1 所以 x<4,故2≤x<4;当-3<x<2时,x+3+2x-1>0,所以 x>- 2 2 1 ,故- <x< ;当 x≤-3 时,-(x+3)+2x-1>0,所以 x>4,故 3 3 2 2 无解.所以不等式|x+3|-|2x-1|>0 的解集为(-3,4).

【答案】 B
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【典例 3】 已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b =i+λj,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是( 1 A.(-∞,-2)∪(-2, ) 2 1 B.( ,+∞) 2 2 2 C.(-2, )∪( ,+∞) 3 3 1 D.(-∞, ) 2 )

第54页

第一部分

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【解析】

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方法一 特值法:令 λ=-2,则 a,b 同向.不

合题意,显然-2 附近的数都合题意.故选 A. 方法二 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a· b=1-2λ= 5· 1+λ2 1-2λ cosθ ,即 cosθ = 2 . 因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 5· 1+λ 1-2λ 1 0< 解得 λ<2, 且 λ≠-2, 故实数 λ 的取值范围是(- 2<1, 5· 1+λ 1 ∞,-2)∪(-2, ). 2

【答案】
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A
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【典例 4】 若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程 为( ) A.(x-2)2+(y± 2)2=3 B.(x-2)2+(y± 3)2=3 C.(x-2)2+(y± 2)2=4 D.(x-2)2+(y± 3)2=4

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【解析】 D. 方法二

方法一

特殊点法:将(1,0)点代入各选项,知选

设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).则由题

意可得(1-a)2+(0-b)2=r2,|a|=r,r2=b2+1,解得 a=2,r=2, b=± 3,所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y± 3)2=4.

【答案】 D

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第一部分

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【典例 5】 已知集合 An={1,3,7,?,2n-1}(n∈N*),若从 集合 An 中任取 k(k=1,2,3,?,n)个数,其所有可能的 k 个数的 乘积的和为 Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记 Sn=T1 +T2+T3+?+Tn.例如当 n=1 时,A1={1},T1=1,S1=1;当 n =2 时,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7. 则 Sn=( )

第58页

第一部分

专题5

高考调研
n?n+1? A.2 -1 2 C.2n-1

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

B.2n(n-1)+1-1 D.22n-1-1

第59页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】

当 n=3 时,A3={1,3,7},T1=1+3+7=11,T2

=1×3+1×7+3×7=31,T3=1×3×7=21,所以 S3=11+31 +21=63.由于 S1=21-1,S2=23-1,S3=63=26-1,所以猜想 Sn=2
1+2+3+?+n

n?n+1? -1=2 2 -1.

【答案】 A

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第一部分

专题5

高考调研

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【典例 6】

在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,

就称点(x,y)为整点.给出下列四个结论: ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②若 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整 点;

第61页

第一部分

专题5

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④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是 k 与 b 都是有理数. 则正确结论的序号是( A.①② C.②③ B.①③ D.②④ )

第62页

第一部分

专题5

高考调研

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1 【解析】 ①正确,令 y=x+2满足①;②错误,若 k= 2, b= 2,此时 y= 2x+ 2过整点(-1,0);③正确,设直线 l:y= kx 经过整点(x1,y1),(x2,y2),则有 y1=kx1,y2=kx2,两式相减, 得 y1-y2=k(x1-x2),则点(x1-x2,y1-y2)也在直线 y=kx 上,通 过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点,通过上下平移 y =kx 得到 y=kx+b 也成立;④错误,当 k 与 b 都是有理数时,令 1 y=x+2,显然不过任何整点.

【答案】
第63页

B
第一部分 专题5

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【探究】 本题是一道新定义题,考查直线的相关知识,考 查考生运用所学知识来解决问题的能力.解题时,可通过列举特 殊方程快速求解.

第64页

第一部分

专题5

高考调研

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【典例 7】

设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直

→ → 线交于 A,B 两点,则OA· OB=________. 【答题模板】 本题隐含所求的值为定值,即与直线的倾斜 角 α 无关,故可取特殊直线.

第65页

第一部分

专题5

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【解析】

第66页

第一部分

专题5

高考调研

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→ → 本题的隐含条件是OA· OB的值为定值,即与直线的倾斜角 α
?1 ? ?1 ? 1 无关,∴令过焦点的直线为 x= ,求出交点 A?2,1?,B?2,-1?, 2 ? ? ? ?

3 → → 计算可得OA· OB=-4.
【答案】 3 -4

第67页

第一部分

专题5

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【典例 8】 已知函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,且对任 意的 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为________.

第68页

第一部分

专题5

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【解析】

方法一

特殊函数法:令 f(x)=3x+5,则由 3x

+5>2x+4,得 x>-1. 方法二 令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f′(x)-2>0,

因此 g(x)在 R 上为增函数. 又 g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0, 所以原不等式可化为 g(x)>g(-1),由 g(x)的单调性可得 x>-1.
【答案】 (-1,+∞)

第69页

第一部分

专题5

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专题集训?作业(七)

第70页

第一部分

专题5

高考调研
数形结合法
类型四 数形结合法

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1.“ 数 ” 与 “ 形 ” 是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下 可以互相转化.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出 草图,然后参照图形的做法、形状、位置、性质,综合图像的特 征,得出结论.

第71页

第一部分

专题5

高考调研

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2.对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的 特点,作出符合题意的图形,做到数中思形,以形助数,并通过 对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结果.

第72页

第一部分

专题5

高考调研

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【典例 1】 (2014· 青岛自评)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, π π π ω>0,|φ|<2)的部分图像如图所示,若 x1,x2∈(-6,3),且 f(x1) =f(x2),则 f(x1+x2)=( )

A.1

1 B. 2

2 C. 2

3 D. 2
第一部分 专题5

第73页

高考调研
【解析】

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

T T π π 2π 由图像可知 A=1, = -(- )= ,所以 =T 2 3 6 2 ω

π π =π, ω=2.将(-6, 0)代入 y=sin(2x+φ), 得-3+φ=kπ(k∈Z). 又 π π π π π |φ|<2, 所以 φ=3.y=sin(2x+3), 其图像对称轴方程为 2x+3=2+ π kπ π π kπ(k∈Z),x= + (k∈Z).因为 x1,x2∈(- , ),f(x1)=f(x2), 12 2 6 3 π π π 2π 3 所以 x1+x2=6,得 f(x1+x2)=sin(3+3)=sin 3 = 2 .
【答案】
第74页

D
第一部分 专题5

高考调研

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【典例 2】 (2014· 广州调研)某教育机构随机抽查某校 20 个 班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的 茎叶图,以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20), [20,25),[25,30),[30,35),[35,40)时,所作的频率分布直方图如 图所示,则原始的茎叶图可能是( )

第75页

第一部分

专题5

高考调研

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第76页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 由频率分布直方图知,各组频数统计如下表: 分 [0, [5, 组 5) 10) 频 数 [10 [15 [20 ,15 ,20 ,25 ) 4 ) 2 ) 4 [25, [30, [35, 30) 35) 40)

1

1

3

3

2

结合选项中茎叶图的数据可知选项 A 正确.

【答案】 A
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第一部分

专题5

高考调研

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【典例 3】 (2014· 沈阳质检Ⅱ)已知函数 f(x)满足:①定义域 为 R;②对任意 x∈R,有 f(x+2)=2f(x);③当 x∈[-1,1]时,f(x) = 1-x .若函数
2 x ? ?e g(x)=? ? ?lnx

?x≤0?, 则函数 y=f(x)-g(x)在区 ?x>0?, )

间[-5,5]上零点的个数是( A.7 C.9 B.8 D.10

第78页

第一部分

专题5

高考调研
【解析】

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

函数 y=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点个数即

为函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像的交点个数.根据函数 y=f(x)的 性质可知: 当 x ∈ [1,3] 时 , x - 2 ∈ [ - 1,1] , ∴ f(x) = 2f(x - 2) = 2 1-?x-2?2. 当 x∈[3,5]时,x-2∈[1,3],∴f(x)=2f(x-2)=4 1-?x-4?2. 1 1 当 x ∈ [ - 3 ,- 1] 时, x + 2 ∈ [ - 1,1] ,∴ f(x) = f(x + 2) = 2 2 1-?x+2?2.
第79页

第一部分

专题5

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1 1 当 x∈[-5,-3]时,x+2∈[-3,-1],∴f(x)= f(x+2)= 2 4 1-?x+4?2. f(0)=g(0)=1,f(1)=g(1)=0,在同一坐标系内画出两个函数 的图像, 如图所示. 观察图像可知 y=f(x)与 y=g(x)的图像交点个 数为 10,故选 D.

第80页

第一部分

专题5

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【答案】 D

第81页

第一部分

专题5

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【典例 4】 (2014· 临川一中模拟)如图,半径为 2 的圆内有 两条半圆弧, 一质点 M 自点 A 开始沿弧 A-B-C-O-A-D-C 做匀速运动,则其在水平方向(向右为正)的速度 v=g(t)的图像大 致为( )

第82页

第一部分

专题5

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第83页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 由题图可知,沿 A-B-C 和 C-O 所走的弧长不 一样,所以用的时间也不一样,且沿 A-B-C 用的时间长,沿 C -O 用的时间短,对于 A 选项,这两段用的都是 2 个单位时间, 时间一样长,不符合题意;对于 B 选项,第一段用的是 2 个单位 时间,第二段用的是 1 个单位时间,符合题意;对于 C 选项,第 一段用的是 1 个单位时间,第二段用的是 2 个单位时间,不符合 题意; 对于 D 选项, 这两段用的都是 1 个单位时间, 时间一样长, 不符合题意,故选 B.

【答案】
第84页

B
第一部分 专题5

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【典例 5】

(2014· 江 西 九 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) =

1-|x-1|,x∈[0,2], ? ? k ?1 若 x>0 时,f(x)≤x恒成立,则实数 k f?x-2?,x∈?2,+∞?, ? ?2 的取值范围是________.

第85页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 当 0≤x≤1 时, f(x)=1-|x-1|=x, 当 1<x≤2 时, f(x) = 1 - |x - 1| = 2 - x. 又 由 题 意 知 k>0 , 于 是 画 出 f(x) = 1-|x-1|,x∈[0,2], ? ? k ?1 与 y= , x∈(0, +∞)的图像如图所示. x f?x-2?,x∈?2,+∞? ? 2 ?

第86页

第一部分

专题5

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k 结合图像易得 f(2n-1)= n-1,n∈N .要使当 x>0 时,f(x)≤ x 2
*

1

恒成立,只需要对于任意的正整数 n,当 x∈[2(n-1),2n]时,均 k k 1 有 f(x)≤ 恒成立.结 合图像知, f(2n - 1)≤ ,所以 n-1 x 2n-1 2 2n-1 2n-1 2n+1 2n-1 k ≤ , 所以 k≥ n-1 .令 bn= n-1 , 则 bn+1-bn= 2n - n-1 2n-1 2 2 2 3-2n = 2n , 当 n=1 时, bn+1-bn>0, 所以 bn+1>bn, 即 b2>b1; 当 n≥2

第87页

第一部分

专题5

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时,bn+1-bn<0,所以 bn+1<bn,即 b2>b3>?.所以(bn)max=b2 3 3 =2,所以 k≥2.

3 【答案】 [2,+∞)

第88页

第一部分

专题5

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【典例 6】 (2014· 湖北八市联考)记集合 A={(x, y)|x2+y2≤4} 和集合 B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别 为 Ω1 和 Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 Ω2 的概率为________.

第89页

第一部分

专题5

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【解析】

如图,区域 Ω1 对应的面积 S1=4π,作出平面区

1 域 Ω2,即△OAB,则对应的面积 S2=2×2×2=2.根据几何概型 的概率公式可知,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在 S2 2 1 区域 Ω2 的概率 P=S =4π=2π. 1

第90页

第一部分

专题5

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1 【答案】 2π

第91页

第一部分

专题5

高考调研

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【典例 7】 已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不 ?x-3y+1≤0, ? 等式组?x+y-3≤0, ?x-1≥0, ? 值为________. → → 设OA与OB的夹角为 θ,则 tanθ 的最大

第92页

第一部分

专题5

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2 【解析】 不等式组对应平面区域的三个顶点分别为(1, ), 3 (1,2),(2,1),结合图形(图略)知,当 A,B 两点的坐标分别为(1,2), → → OA· OB (2,1) 时 , tanθ 取 到 最 大 值 , 此 时 cosθ = → → = |OA||OB| 1×2+2×1 4 3 sinθ 3 = ,所以 sinθ=5,tanθ=cosθ=4. 12+22× 22+12 5

3 【答案】 4
第93页

第一部分

专题5

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【典例 8】

x2 y2 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作 a b

→ 一条渐近线的垂线, 垂足为点 A, 与另一条渐近线交于点 B, 若FB → =2FA,则此双曲线的离心率为________.

第94页

第一部分

专题5

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b 【解析】 方法一 双曲线的渐近线方程是 y=± x,设过右 a b 焦点 F(c,0)的直线 l 与渐近线 y=ax 垂直,A(x1,y1),B(x2,y2), a 则直线 l 的方程即 y=-b(x-c),联立两直线方程解得点 A 的纵 ab a b 坐标 y1= ; 把方程 y=- (x-c)与方程 y=- x 联立, 解得点 B c b a

第95页

第一部分

专题5

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abc → → 的纵坐标 y2= 2 .由于FB=2FA,即(x2-c,y2)=2(x1-c,y1), b -a2 abc 2ab 2 2 2 2 2 由此得 y2=2y1,故 2 = ,即 2( b - a ) = c ,即 2( c - 2 a ) c b -a2 =c2,解得 c=2a,故所求的双曲线的离心率是 2.

第96页

第一部分

专题5

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方法二

第97页

第一部分

专题5

高考调研

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如图,由题意知,渐近线 OA 是线段 FB 的垂直平分线,设 π ∠yOA=∠yOB=θ, 则∠FOA=∠BOA=2θ.又 θ+2θ=2, 所以 2θ π b π c = , =tan = 3,e= = 3 a 3 a b2 1+? ? =2. a

【答案】 2

第98页

第一部分

专题5

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专题集训?作业(八)

第99页

第一部分

专题5

高考调研
构造、模型法
类型五 构造、模型法

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

1.物以类聚,题以群分,每道题都可以归入一个“群”,一 个特定的“群”.每个“群”都有通性通法,这个通性通法也就 是模型法.利用模型法,可以节省大量的保贵时间,为解答题提 供充足的思考空间!

第100页

第一部分

专题5

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2.构造法解填空题,需要利用已知条件和结论的特殊性构 造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学 问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积累, 需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比, 从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感, 构造出相应的函数、 概率、 几何等具体的数学模型,使问题快速解决.

第101页

第一部分

专题5

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【典例 1】

(2014· 十堰市五校联考)某四面体的三视图如图

所示,其正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则此 四面体的外接球的表面积为( )

第102页

第一部分

专题5

高考调研

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3 A. π 2 4 C.3π

B.π D.3π

第103页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 由于四面体的正视图、侧视图、俯视图都要边长 为 1 的正方形, 所以此四面体一定可以放在棱长为 1 的正方体中, 于是可以在该正方体中寻找此四面体,易知此四面体的外接球即 3 为该正方体的外接球.因为其外接球的半径为 R= 2 ,所以外接 32 球表面积为 S=4π·( 2 ) =3π.故选 D.

【答案】 D

第104页

第一部分

专题5

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【典例 2】

(2014· 马鞍山市质检)若三角形的三个内角的弧

4 1 度数分别为 α,β,γ,则α+ 的最小值为________. β+γ

第105页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 因为三角形的三个内角的弧度数分别为 α,β,γ, 所以 α+β+γ=π.所以 4 1 4 1 4 1 1 1 α + = + =( + )[α + (π - α)] = [4 + + α β+γ α π-α α π-α π π π-α 4?π-α? 4?π-α? 9 α 2π α +1]≥π,当且仅当π-α= α ,即 α= 3 时取等号.

9 【答案】 π

第106页

第一部分

专题5

高考调研
【典例 3】

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

1 设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a· b=-2, 〈a )

-c,b-c〉=60° ,则|c|的最大值等于( A.2 C. 2 B. 3 D.1

第107页

第一部分

专题5

高考调研

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→ → → 【解析】 如图, 构造AB=a, AD=b, AC=c, ∠BAD=120° , ∠BCD=60° ,所以 A,B,C,D 四点共圆,分析可知当线段 AC 为直径时,|c|最大,最大值为 2.

【答案】 A

第108页

第一部分

专题5

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【典例 4】

已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数,其导

函数记为 f′(x),若对于任意实数 x,有 f(x)>f′(x),且 y=f(x)- 1 为奇函数,则不等式 f(x)<ex 的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e4) B.(0,+∞) D.(e4,+∞) )

第109页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】 f′?x?-f?x? <0. ex

f′?x?· e -f?x?· e f?x? 令 g(x) = x , 则 g′(x) = = e ?ex?2

x

x

∴g(x)在 R 上是减函数.又 y=f(x)-1 为奇函数,∴f(0)-1 f?x? =0,∴f(0)=1,g(0)=1,∴原不等式等价于 g(x)= ex <1=g(0), ∴x>0,故选 B.

【答案】 B

第110页

第一部分

专题5

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【典例 5】 平面 α 外有两条直线 m 和 n,如果 m 和 n 在平 面 α 内的射影分别是直线 m1 和直线 n1,给出下列四个命题:① m1⊥n1?m⊥n;②m⊥n?m1⊥n1;③m1 与 n1 相交?m 与 n 相交; ④m1 与 n1 平行?m 与 n 平行. 其中不正确的命题是________.

第111页

第一部分

专题5

高考调研

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【解析】

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD1,AB1,B1C,DC 在底面上的射影分别是 A1D1,A1B1,B1C1,D1C1.

第112页

第一部分

专题5

高考调研

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A1D1⊥A1B1,但 AD1 不垂直于 AB1,故①不正确;AD1⊥B1C, 但 A1D1∥B1C1,故②不正确;A1D1 与 D1C1 相交,但 AD1 与 DC 异面,故③不正确;A1D1 与 B1C1 平行,但 AD1 与 B1C 异面,故 ④不正确.

【答案】 ①②③④

第113页

第一部分

专题5

高考调研

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【典例 6】

在数列{an}中,an+an+1+an+2 为定值,且 a13

+a15+a17=3,前 n 项和为 Sn,给出以下结论: ①数列{an}一定为常数列; ②数列{an}不可能为等比数列; ③a1+a2+a3=3; ④a1 有无数个值; ⑤S3n=3n. 其中结论正确的为________.(写出所有正确结论的序号)
第一部分 专题5

第114页

高考调研

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【解析】 设定值为 t,即 an+an+1+an+2=t,于是有 an+1+ an+2+an+3=t,两式相减,得 an+3=an,即数列{an}是以 3 为周期 的周期数列,所以①错误;当所有项都为 1 时,数列{an}为特殊 的等比数列,故②错误;显然 a17=a14,所以 a13+a14+a15=3, 得 a1+a2+a3=3,故③正确;从 a1+a2+a3=3 及 an+an+1+an+2 为定值,可以看出,首项 a1 的值是不能确定的,有无数个值,故 ④正确; S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+?+(a3n-2+a3n-1+a3n) =3+3+?+3=3n,故⑤正确.

【答案】 ③④⑤
第115页

第一部分

专题5

高考调研

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专题集训?作业(九)

第116页

第一部分

专题5

高考调研
排 除 法
排除法

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

类型六

1.排除法也叫淘汰法, 就是充分运用选择题中单选题的特征, 即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设 条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择 支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得 正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”,即四个选项 中有且只有一个答案正确.
第117页

第一部分

专题5

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题,当题目中的 条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的 予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这 样逐步筛选,直至得出正确的答案.排除法也常与特值法、图解 法等结合使用,是解高考选择题的常用方法之一.

第118页

第一部分

专题5

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2.多选型填空题是指:给出若干个命题或结论,要求从中 选出所有满足题意的命题或结论.这类题不论多选还是少选都是 不能得分的,相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的推 理过程,而是要求从结论出发逆向探究条件,且结论不唯一.此 类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此,要求同 学们有扎实的基本功,能够准确的阅读数学材料,读懂题意,根 据新的情景,探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必 须通过推理证明, 而判断命题是假命题, 举反例是最有效的方法.

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【典例 1】 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调 递增的是( A.y=ex C.y= x ) B.y=sinx D.y=lnx2

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【解析】

函数是偶函数,排除 A,B,C.

【答案】 D

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【典例 2 】

(2014· 武昌调研 ) 已知全集为 R ,集合 A = )

{x|log2x≤1},集合 B={x|x2-4x-5<0},则(?RA)∩B=( A.(0,2] C.[2,5) B.(-1,0]∪(2,5) D.(-1,0)∪[2,5)

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【解析】 方法一

由 log2x≤1=log22,得 0<x≤2,则 A=

(0,2];由 x2-4x-5=(x-5)(x+1)<0,得-1<x<5,则 B=(-1,5), 所以(?RA)∩B=(-1,0]∪(2,5). 方法二 排除法:易知 2∈A,∴2??RA,故选 B.

【答案】 B

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【典例 3】

在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对 )

的边, B 是 A 和 C 的等差中项, 则 a+c 与 2b 的大小关系是( A.a+c>2b C.a+c≥2b
【答案】 D

B.a+c<2b D.a+c≤2b

【解析】 不妨令 A=B=C=60° ,则可排除 A,B,再令 A =30° ,B=60° ,C=90° ,可排除 C,故选 D.

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【典例 4】 (2014· 九江二模)

定义在区间[0,a]上的函数 f(x)的图像如图所示,记以 A(0, f(0)),B(a,f(a)),C(x,f(x))为顶点的三角形的面积为 S(x),则 S(x) 的导函数 S′(x)的图像大致是( )

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【解析】

1 设点 C 到边 AB 的距离为 d,则三角形的面积为2AB· d,由于 边 AB 的长为定值,所以三角形的面积 S(x)随着 d 的变

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化而变化,如图所示,当点 C 从 A 运动到 D 时,面积 S(x)逐渐增 大,所以 S′(x)>0,排除 C;当点 C 从 D 运动到 E 时,面积 S(x) 逐渐减小,所以 S′(x)<0,排除 A;当点 C 从 E 运动到 F 时,面 积 S(x)逐渐增大,所以 S′(x)>0,排除 B,故选 D.

【答案】 D

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1 【典例 5】 已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+ 4 a2a3+?+anan+1=( A.16(1-4 n)


) B.16(1-2 n)


32 - C. 3 (1-4 n)

32 - D. 3 (1-2 n)

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【解析】

a5 1 1 ∵q = = ,∴q= ,a1=4,a3=1,令 n=1, a2 8 2
3

a1a2=8,排除 A,D;令 n=2,a1a2+a2a3=10,排除 B,故选 C.

【答案】 C

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【典例 6】 若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx -m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( 3 3 A.(- , ) 3 3 3 3 C.[- 3 , 3 ] 3 3 B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 D.(-∞,- 3 )∪( 3 ,+∞) )

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【解析】

曲线 C1 是圆,其标准方程为(x-1)2+y2=1.圆心

为(1,0),半径为 1.曲线 C2 是两条直线.一条为 x 轴:y=0.另一 条为过点(-1,0),斜率为 m 的直线.当 m=0 时不合题意,排除 A,C.当|m|较大时,如 m=2,不合题意,排除 D.故选 B.

【答案】 B

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【典例 7】

已知两条直线 m,n,两个平面 α,β.给出下面

四个命题:①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β. 其中正确命题的序号是________.

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【解析】

由 α∥β,m?α,n?β?m∥n 或 m,n 异面,∴

②错,由 m∥n,m∥α?n∥α 或 n?α,∴③错,故①④正确.

【答案】 ①④

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【典例 8】 四个命题:

对于函数

? ?sinx,sinx≤cosx, f(x)=? ? ?cosx,sinx>cosx,

给出下列

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1; 5π ③该函数的图像关于 x= 4 +2kπ(k∈Z)对称;

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π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________. (请将所有正确命题的序号 都填上)

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【解析】 在直角坐标系中画出 f(x)在一个周期[0,2π]上的图 3 像.由图像知,函数 f(x)的最小正周期为 2π,在 x=2π+2kπ(k∈ Z)和 x=π+2kπ(k∈Z)时, 该函数都取得最小值-1, 故①②错误; 5 π 由图像知, 函数图像关于直线 x=4π+2kπ(k∈Z)对称, 在 2kπ<x<2 2 +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .故③④正确. 2

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【答案】 ③④

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专题集训?作业(十)

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