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如何教授“含绝对值不等式的求解”


如何教授“含绝对值的不等式的求解”
B03151331 杨莹玮 对于高一学生而言,要掌握含绝对值的不等式的求解,并不十分容易,学生往往不能妥 善处理绝对值,对于这种含有绝对值符号的不等式的形式比较陌生。 首先,教师在教授“含绝对值的不等式的求解”这一节之前,可以先根据典型例题和相 应习题的观察,对含绝对值的不等式进行分类,然后由浅至深、由易至难,层层推进地进行 教授,这

样,学生的掌握能力才能逐步得到提升。再次,我将含绝对值的不等式分为以下几 类: 第 1 类: f ( x) ? a 或

f ( x) ? a ,其中 f ( x) 为整式, a 为大于零的常数;

第 2 类: 于零的常数;

f ( x) f ( x) ?a 或 ? a ,其中 f ( x) 、 g ( x) 为整式, g ( x) ? 0 ,且 a 为大 g ( x) g ( x)

第 3 类: f ( x) ? g ( x) ? a ,其中 f ( x) 、 g ( x) 为整式, a 为大于零的常数; 第 4 类: f ( x) ? g ( x) 或

f ( x) ? g( x) ,其中 f ( x) 、 g ( x) 为整式。

上述四类含绝对值的不等式的求解难度是层层递进的。 对于含有绝对值的不等式, 求解的关键是如何合理地把绝对值符号去掉, 而去绝对值符 号的方法又有多种,这些方法的基本思想是把原本含有绝对值的不等式“转化”为新的不含 有绝对值的不等式,值得强调的是“转化”过程中的等价性,因为只有两个不等式等价,它 们的解集才是相等的。 对于“含绝对值的不等式的求解”这一章节内容,每位教师都有其不同的教授风格,在 此,我主要以个人的教学经验和听课感受为基础,谈谈该如何教授这一章节的内容,以期提 高教学质量,获得较好的教学效果。

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引入

可以先让学生回忆 x 的几何意义。因为学生的“数形结合”的思想还没有形成,往 往对 x 的几何意义并不明确。此时,教师可以指出 x 表示数轴上一点 x 到原点的距离,并 通过简单的例子加以强调,比如:问:若 x ? 1 ,则 x 的值是什么?此时的几何意义又是 什么?答: x ? ?1 或 x ? 1 ,它代表的几何意义是在数轴上到原点的距离为 1 的点所对应
1

的数值是 1 ,? 1 。 若学生对这一等式 x ? 1 的几何意义有了一定的理解, 那么运用 “类比” 的方法,把等号改为不等号,如: x ? 1 ,则此时 x 的取值又该如何?几何意义又如何?此 时,学生先得出该不等式的几何意义是数轴上到原点的距离小于1 的点集,然后可以通过对 数轴的观察得出这时 x 的取值范围为 ? 1 ? x ? 1 。同理,学生也可以较自然地归纳出 接着, 教师可以将具体数值改为字母参数, 即将不等式改为 x ? a (a ? 0) , x ? 1 的情况。 此时,由于学生的思维层层提升,所以能较轻松地通过比较得出结论: ? a ? x ? a 。这样 “阶梯式”的引入完成后,再教授第一类型 f ( x) ? a , ( a ? 0 )的不等式的求解就比较自 然顺利了,相比于直接给出形如“ f ( x) ? a ( a ? 0 ) ? ?a ? f ( x) ? a ”这样的等价不 等式,这种“引入”——“类比”的方法更强调对不等式求解的理解,而不只是单纯地对如 何去绝对值符号写出等价不等式的记忆。 学生也可以通过自己类比得出所需结论, 激发学习 的兴趣提高正确处理这类问题的信心。

2

平方法

对于第二类型

f ( x) f ( x) ? a, ? a ,其中 f ( x) 、g ( x) 为整式,g ( x) ? 0 ,且 a 为 g ( x) g ( x)

大于零的常数,首先,我们可以直接运用第一类型问题的求解方式,根据以下等价关系: (1)

f ( x) f ( x) f ( x) ? ?a , ?a? ?a 或 g ( x) g ( x) g ( x)

(2)

f ( x) f ( x) ? a ? ?a ? ?a, g ( x) g ( x)

进行求解;其次,我们注意到该不等式的绝对值符号内所呈现的是分式,由于 g ( x) ? 0 , 则 g ( x) ? 0 , 所 以 我 们 可 以 将 问 题 转 化 为 求 解 如 下 不 等 式 : f ( x) ? a g ( x) 或

f ( x) ? a g ( x) ,其中 g ( x) ? 0 。此时,我们可以进一步根据不等式的乘方性质得出:
f ( x) ? a 2 g ( x)
2 2



f ( x) ? a 2 g ( x) ,且 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) 2 ? a 2 g ( x) 2 或

2

2

f ( x) 2 ? a 2 g ( x) 2 ,且 g ( x) ? 0 。
在教授“平方法”的过程中,值得强调的是:

2

(1)分式中的分母部分不为零,即:

f ( x) ? a ? f ( x) 2 ? a 2 g ( x) 2 ,且 g ( x) ? 0 ; g ( x) f ( x) ? a ? f ( x) 2 ? a 2 g ( x) 2 ,且 g ( x) ? 0 。 g ( x)
学生在具体运用过程中往往只注重去分母后平方,而忽视了去分母的根据是分母不为零。 (2)当遇到第二类型不等式时,平方法并不适用于每一种情况,因为“平方”运算在 去掉绝对值符号的同时, 也提高了未知数 x 的次数, 而对于高次不等式进行求解是比较麻烦 的,所以一般情况下, “平方法”只适用于该分式的分子、分母中的未知数 x 的次数不大于1 的情况。

3 零点分段法
对于第三类不等式,由于在不等式中含有两处绝对值,所以想要试图用“平方法”或其 他方法解决这类问题都是不可行的。这时,较为适宜的方法就是“零点分段法”——即对未 知量 x 的取值进行分段讨论,然后再求解不等式。 在教授过程中, 要把各个求解步骤介绍清楚并不困难, 教授的关键点是要向学生交代清 楚使用这一方法的原因。具体教授过程可以如下进行:在求解含有绝对值的不等式时,解题 的关键点是去绝对值符号, 而要稳妥地去绝对值符号, 就必须明确绝对值符号内整式的正负 性 。 以 下 题 为 例 : x ?1 ? x ? 2 ? 5 , 对

x ? 1 , 当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 时 ,

x ? 1 ? x ? 1 ;当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 时, x ? 1 ? ?( x ? 1) ;同理,对 x ? 2 ,当
x ? 2 ? 0 即 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? 2 ; 当 x ? 2 ? 0 即 x ? 2 时, x ? 2 ? ?( x ? 2) ;
所以,可以发现,要稳妥地去掉该例题中的绝对值符号,就必须先找出关键点,即令

x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 的点: x ? ?1 , x ? 2 ;然后根据这些关键点,对未知数 x 的取值范
围进行分段, 讨论 x 取不同范围时, 所得出的新的不等式的解集, 最后才求解出原题的解集。 所以在介绍“零点分段法”的时候,必须强调这样解题的原因:因为要去绝对值符号, 所以要对 x 的取值范围进行分段讨论;而因为要正确分段,所以要先找出关键的“零点” 。

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等价不等式的推导

对于第四类型的不等式的求解,学生往往对
3

f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? g( x) 或 f ( x) ? ? g ( x)
这样的等价关系的等价原因不易理解。以 f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为例,可 以 通过“ 类比” 的思想加 以教授 :对不 等式

f ( x) ? a , 我 们知道 :若 a ? 0 ,则

? a ? f ( x) ? a ;若 a ? 0 ,则解集为 ? ;所以, f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a ,其中
a ? 0。 同理, 由类比可以发现: 对 f ( x) ? g ( x) , 若 g ( x) ? 0 , 则 ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;
若 g ( x) ? 0 , 则解集为 ? ; 所以, f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) , 且 g ( x) ? 0 。 又由

? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 得 : ? g ( x) ? g ( x) , 所 以

g ( x) ? 0 。 所 以 最 终 ,

f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) 。
这样的教授过程, 使得等价不等式的推导过程简单易懂, 学生不会因为遇到抽象的数学 关系而对等价关系的理解产生怀疑和困惑。 综上所述,在教授“含绝对值的不等式的求解”过程中,关键点并不是教授学生机械地 掌握各类不等式求解的方法, 而是使学生理解适当运用各求解方法的内在原因是什么, 使学 生掌握“等价转化”的思想,理解各不等式之间等价的原因,毕竟,知道“为什么这样做” 比知道“应该怎么做”对学生的帮助更大。

【教师点评】对高中生来说,含绝对值的不等式是一个难点。本文对四类常见的含绝对值的 不等式的解法做了总结,对实际课堂教学很有参考价值。实习使本文作者学会反思、总结, 收获不小哦!

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