nbhkdz.com冰点文库

高中数学 矩阵与变换


14.2 矩阵与变换
解答题 ?2 1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A=? ?0 得到曲线 F,求 F 的方程. 解析 设 P(x,y)是椭圆 4x2+y2=1 上的任意一点,点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变 ?x′? ?2 换下变为点 P′(x′,y′),则有? ?=? ?y′? ?0 0? ?x? ?x′=2x, ? ?

?,即? 1? ?y? ?y′=y, 0? ?对应的变换下 1?

?x=x′ 2 所以? ?y=y′
x′
2

.

又因为点 P(x,y)在椭圆 4x2+y2=1 上, 所以 4( )2+y′2=1,

即 x′2+y′2=1. 故曲线 F 的方程为 x2+y2=1. 【点评】 ?x′? ?x? 线性变换是基本变换,解这类问题关键是由 ? ? = A ? ? 得到点 ?y′? ?y?

P′(x′,y′)与点 P(x,y)的坐标关系.
2.已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下,点 A(1,2)变成了点 A′(7,10), 点 B(2,0)变成了点 B′(2,4),求矩阵 M. ?a b? ?a b??1? ?7 ? ?a b??2? ?2? ?,则? ?? ?=? ?,? ? ? ? =? ? , 解析 设 M=? ?c d ? ?c d ??2? ?10? ?c d ??0? ?4?

?c+2d=10, 即? 2a=2, ?2c=4.
a+2b=7, ?1 所以 M=? ?2 3? ?. 4?

?b=3, 解得? c=2, ?d=4.
a=1,

?2 2 2 3.求圆 C:x +y =4 在矩阵 A=? ?0

0? ?的变换作用下的曲线方程. 1?

解析 设 P′(x′,y′)是圆 C:x2+y2=4 上的任一点, ?2 设 P(x, )是 P′(x′, ′)在矩阵 A=? y y ?0 ?x? ?2 则? ?=? ?y? ?0 0? ?x′? ?2x′? ? ? ?=? ?, 1? ?y′? ? y′? 0? ?对应变换作用下新曲线上的对应点, 1?

?x=2x′, 即? ?y=y′,

?x′=x, 2 所以? ?y′=y.
代入 x +y =4,得 +y2=4, 4
2 2

?x′=x, 2 将? ?y′=y
x2 y2

x2

故方程为 + =1. 16 4 ?1 4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x+y+2=0 在矩阵 M=? ?b 作用下得到直线 m:x-y-4=0,求实数 a,b 的值. 解析 在直线 l:x+y+2=0 上取两点 A(-2,0),B(0,-2).

a?

?对应的变换 4?

A、B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于点 A′、B′.
?1 因为? ?b

a? ?-2? ? -2? ? ? ?=? ?,所以点 A′的坐标为(-2,-2b); 4? ? 0? ? -2b?

?1 a? ? 0? ?-2a? ? ? ? ? =? ?,所以点 B′的坐标为(-2a,-8). ?b 4? ?-2? ? -8? 由题意,点 A′、B′在直线 m:x-y-4=0 上, ??-2?-?-2b?-4=0, 所以? ??-2a?-?-8?-4=0. 解得 a=2,b=3. ? 1 5. 求曲线 C: =1 在矩阵 M=? xy ?-1 1? ?对应的变换作用下得到的曲线 C1 的方程. 1?

解析 设 P(x0,y0)为曲线 C:xy=1 上的任意一点,

? 1 它在矩阵 M=? ?-1 ? 1 由? ?-1

1? ?对应的变换作用下得到点 Q(x,y) 1?

1??x0? ?x? ?x0+y0=x, ?? ?=? ?,得? 1??y0? ?y? ?-x0+y0=y.

?x =x-y, ? 2 解得? x+y ?y = 2 . ?
0 0

因为 P(x0,y0)在曲线 C:xy=1 上,所以 x0y0=1. 所以

x-y x+y
2 × 2

=1,即 x2-y2=4.

所以所求曲线 C1 的方程为 x2-y2=4.
?3 3 ? ?1? 6. 已知矩阵 A ? ? ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ?1? ,属 ?c d ? ?? ?3? 于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .求矩阵 A 的逆矩阵. ? ? 2? ?1? ?3 3 ? ?1? ?1? 解析 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? , 可得 ? ? ?1? =6 ?1? , ?1? ?c d ? ? ? ??

即c ? d ? 6;
?3? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? 可得, ?c d ? ? ? 2 ? = ? ? 2 ? , ? ? 2? ? ?? ? ? ?

即 3c ? 2d ? ?2 ,
1? ?2 ? 3 - 2? ?c ? 2, ? 3 3? 解得 ? 即 A=? ? , A 逆矩阵是 ? 1 1 ? . ?d ? 4, ? 2 4? ?? ? 3 2? 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设 k 为

?k 非零实数,M=? ?0

0? ?0 ?,N=? 1? ?1

1? ?,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点 0?

分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值. ?k 解析 由题设得 MN=? ?0 0??0 1? ?0 ?? ? =? 1??1 0? ?1

k?

?. 0?

?0 由? ?1

k??0? ?0? ?0 k? ?-2? ? 0? ?0 k? ?-2?
?? ?=? ?,? 0??0? ?0? ?1 ? ? 0? ? ?=? ?,? 0? ?-2? ?1 ? ? 0? ? ? 1?

? k? ? ?,可知 A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2). ?-2? 计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|,则由题设知|k|=2×1=2. 所以 k 的值为-2 或 2. ?0 8.已知矩阵 M=? ?1 1? ?0 -1? ?,N=? ?.在平面直角坐标系中,设直线 2x-y+1 0? 0? ?1

=0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F,求曲线 F 的方程. ?0 解析 由题设得 MN=? ?1 1? ?0 -1? ?1 ? ? ?=? 0? ?1 0? ?0 0? ?, -1?

设(x,y)是直线 2x-y+1=0 上任意一点, 点(x,y)在矩阵 MN 对应的变换作用下变为(x′,y′), ?1 则有? ?0 0? ? -1? ?x? ?x′? ? ?=? ?, ?y? ?y′?

? x? ?x′? 即? ?=? ?, ?-y? ?y′? ?x=x′, 所以? ?y=-y′. 因为点(x,y)在直线 2x-y+1=0 上,

从而 2x′-(-y′)+1=0,即 2x′+y′+1=0, 所以曲线 F 的方程为 2x+y+1=0.


高中数学 矩阵与变换

高中数学 矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。14.2 矩阵与变换解答题 ?2 1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A=? ?0 得到曲线 F,...

教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换

教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换 选修4-2—矩阵与变换 选修 4-2 数学知识点...

2015年高考数学试题——矩阵与变换

2015年高考数学试题——矩阵与变换_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题——矩阵与变换1.(15 年福建理科)已知矩阵 A = 琪琪 (Ⅰ)求 A 的逆矩阵 A ...

2015年高考数学试题分类汇编:矩阵与变换

2015年高考数学试题分类汇编:矩阵与变换_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题分类汇编:矩阵与变换2015 年高考数学试题分类汇编:矩阵与变换骣 骣 2 1 1 1...

选修4-2矩阵与变换习题

选修4-2矩阵与变换习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中理科选修4-2矩阵与变换习题第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一...

矩阵与变换

矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。矩阵与变换 1.求将曲线 y =x 绕原点逆时针旋转 90°后所得的曲线方程. 2 2.在直角坐标系中,已知△ABC 的顶点坐标为 ...

高考一轮复习:矩阵与变换

高考一轮复习:矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【2015 年高考会这样考】 1.本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算,考题中多考 ...

矩阵与变换

矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。矩阵知识点归纳一、二阶矩阵:了解二阶矩阵的概念 1. 线性变换 ?x′=ax+by, 在平面直角坐标系 xOy 中,形如? ...

《选修4-2矩阵与变换》教案

《选修4-2矩阵与变换》教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版《选修 4-2 矩阵与变换》教案第一讲一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 二阶矩阵、二阶...

矩阵与变换基础

矩阵与变换基础_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2010 届高三数学复习资料 2-- 概念、方法、题型及易误点总结 加试内容 5--选修 4-2 矩阵与变换高考考试说明...