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(题目而已)深化余弦定理教学的探讨


推导 凸 多 边形 内 外 角 和 的新 途径
哈家定

( 山 东 济 宁教 育 学院 )
在 几何 教 学 中 通 常先 推 出 凸 多 边形 内 角 和 再 推 出 外 角和
, ,
.

,

,

n

·

8



,

而 外 角和 为
=

3 60

0

,

所以

现 在 给 出 一 个新 途 径 即 先 推 出外
凸 几 边形 内角和
1800
.

角和 再 推 出 内角 和 这个 途 径 的优 越 性是 外 角 和 恰 好 构 成 一 个 形 象 的周 角
, ,

n

·

18 0 0 一 3 6 0 0 =

(。

一 2

·

)


具有 强 烈 的直 观性 (其实
,

质 是 反 映 了 凸 多 边 形 封 闭性 的 本 质 ) 接 受井 记 得 更 牢 固

. .

由此 又 可十
ù
ù


分 简 便地 推 出 内角和 从 而 比 原来 更 易 于为 学 生 所
定 理 1 任意 凸
n










` 刁

边 形 的外 角 和 等 于
I

360

,

.

设凸



图顺 次延 长 各边 得 到 各 外 角 点 尸
,

边形 为 A 姓 A A A … A 如 在 平 面上 任 选一
2 3 4 5
,

z 月 儿

过 尸 依 次 作 尸 B : }}A : A Z 尸 场 }}A Z A 3 尸 B 3 !}A 3 A ` … P B 。 !}A o A I 并 使 各 组 平 行 射 线 1 … 乙。 = 分 别 同 向 于 是 匕1 = 匕 1 乙2 = 乙 2
, , ,
.

,

-

1 J全 刁


二 _

_

·

,

,

,

匕n

,

.

显然
凸。

,

` ` 匕 1 十 乙2 +



+ 乙。

`

=

3 60

0

,

所以
.

边形 外 角和 任意 凸

二 乙1+ 匕 2 + .
n

二+

匕。



6 0 3
一 2
·

定理 2
1800
.

边 形 内角 和 等 于 (。

)


18 0
,

因为每一个 内角与它的相邻外 角之和为

故凸



边 形 的 内角 和 与 外 角 和 的 和 等 于

深 化 余弦 定理 教 学 的探 讨
刘桦 (福建 省 松溪 一 中)
余 弦 定理 表 达 了 三 角形 的边 角关 系 , 它 内涵 丰 富 用途广泛
, , ,
.

1

, 视余 弦 定 理 ( 公 式 ) 的 变式 训 练

是 中学 数 学 中的重 要 定 理 之 一 在
,

,

余 弦定 理
·

e Z

=

a

Z+
c
,

b Z 一 Za b
a
, ,

e o s

C

教 学 过 程 中 教 师 除 了 要求 学 生熟 记 余 弦定 理 及会 用 余 弦 定理 解 三 角形 外 还 必 须 引导 学 生 对 余 弦 定 理 进 行 全方 位 的审视
·

(1 ) (仅 以
,

此 为 例 ) 的本质 是 反 映
:
,

b C 四 个 元 素 间的 动 态
.

,

多 角 度 的探 讨
,

,

以增 强 学 生
,

结 构 教 学 中 应 不 受 定 势 思 维 的 束 缚 要变 单 向 思 维 为 多 向思 维 尽 量让 定 理 (公式 ) 产 生 多 种 变 礴 式
.

灵 活 运 用 余 弦 定 理解 题 的 能 力 达 到 深 化余 弦 定理 教 学 的 目 的 下 面 就深 化 余 弦 定理的趁 学 谈 一些

以 适 应 新情 况 的需 要


.

做法

·

如对 ( l ) 式 作 移 项 配 方 等 变形 可 得 到 一 系列 新 的关 系 式 : 1 a Z + b Z 一 e Z = Z a b c o s e ;
0

,

数学 通 报

199 3

年 第

5



20
a

a



be

o s

c



+ b

,

e

笋=

o; 3
e Z

0

(
2

Ze

+

aZ

)(

e



Z

.

3

若 方 程 无 实 数根
.

,

则 此三 角 形 无 解
,

.

)

二 b b一 Za (

e o s

0 C ); 4

a Z+ c Z

b Z一

=

4 Setg c

(S

表 示 三 角形 的面 积 )
e o s

; s

s a

声 (
s

a




s



a Z

b(1 士

从 以 上 的分 析 可 以 看 出 由于 边长 不 能 为 负数 和 零 一 因此 一 元 二 次 方程 有 几 个 正 实根 有几 个 解
:.

C ); 6

o

s

i

n Z

A+

in Z B一 2

in

A

in

B

e o s

C =

s i

n Z

C

,

·

… …
, ,
.

这 个 结 论 容 易 记忆
,

,

三 角形 就 且使 用 方 便
.

,

熟 悉 了余弦 定 理 上 述 的各 种 变 式 就 能 自如 地 捕捉 运 用 余 弦 定 理 的 信 息 使 一 些 间 题 迎 刃 而 解
例 1 设 乌 互 c 是 △ A B C 的三 边
,
,

例 2 根 据 下列 条 件 判 断 △ A B C 是 否 有 解 ?

如有 解

,

有几个解 ?


(l) 求 证
; e Z
,

恤)
产 、 `. 、

=

2


,

,

b = 2 b =
·


.

,

A =

5 4



;

方 程 护护

+

(护

+

夕一

c Z 二

)

+

护 二
a Z

0

无 实数根

(2 ) 若 三 角形 的面 积 为
C 二
介 一 4
;

+ bZ 二
4
,

S =


求证
60

Q r山 3

、. 产 声

.

.

a


=


5
,


,

。 刀 一 6。

`

a

(

3)


:



二 4,
.

十b = 8

且 乙C
b Z二 2 +

=

b =

4 5,

0 B = 120

.

试求 △A B C 的面积 略 解 (证 )
bZ 一
e Z 二
.

( ) 由变 式
i
,

10

,

(

a Z

+
=

c o s

2 2 解 : ( ]L) … ( 2 涯 ) = ( 2 办 ) + c Z一 2 e c 450 冷 而 十4 = o … =

e Z

办 士 而 涯> 0
2


一 2

·

e

·

,

)

+

a Z

=

bZ二 2 +
a Z s

Za b

e o s



·



+

“ 2

故此三

(`



+
.

a

eo s

c

)

2

+

in

Z

C >

o

,

故 原方程无 实
a Z
.

形 有两 解 年 。
/
`

·



2

数根

(2)
( 2 ) 由 题设 及 变 式 4
0
,

:




45 =

+ bZ 一

e Z

=



4S c t gC - -

,



,



… ”

t g C = 1 即有 C = 寸 c 一
,
’ 一

2 s o 厢 ;一
C

60
>

0

= 卜
,

2e 2 一 2斌 6e +

z c (瞥立 +
e Z
,




0
.




2

一 2


e Z

3 =

,

e ;

=

=









,

4

O 故 此 三 角 形 只有 一 解

.

(3 )
c o s
.

由变 式
,

50
,
.

,

C 2
` 、

=
.



(
2

a

+

石 )

2

一 Za

b(1 +
二:

2

灯 少井

~



[ “

, 尸 口 ,

a 。



; 二 ; - , - - 甲几 ; 下 ` Ll 一 c o s 肠 )
a



`

64 一 16
=


2 (1+ ,6


:

,
.

~







,

。 , in 。 一




) 丢
4

16 ,

(3 )
s
: i

4 52 =

.

+


52 一 2

x

s

e

·

e o s

1 20
.

0


,

e

+ 4 75 = o
e Z




△ =
0
,

52 一 4
=

x
.

4 75 > o
>





`



.

.

+

=

一5

<

e i e Z

4 75

0

2

, 视 余 弦定 理对

在 教科 书 中 解 三 角形 握
.

的 间 题 是 采 用 正 弦 定理 进 行讨 论 这 种
,

讨 论颇 为 罗 嗦 事实 上
,

这类 解三 角 形 间 题 用余 弦 定 理 来 探
.




解三角形

的问 题 的 讨 论
,

已 知 两 边和 其 中一 边 的对 角

且 讨 论 的结 果 也 不 易被 学 生 所 掌
,



,

往 往 显得 特 别 的方 便

在 △ A B C 中汤 已 知 a ` 和 乙 A 我 们可 以 用 余 弦 定 理 列 出 关 于 第三 边 为 未 知数 的 一 元
,
,

以 改变学 生 的 错 误认 讥 完 善

二 次 方 程 .a Z 产 一 渺 c。。 ) A


=


护 十 户

一 Zb c c

s A o

,

整理 得

强 学 生 变通 定理 的 能 力
·

.



的 认 知结 构

,



千护 一

。 ,

共 0

.

3 考察 以 上 余 弦 定 理 式 的 变 式 o

:



这样 就 可 以 根 据 该 一 元 二 次 方 程 的 解 来 判 断 三角形的解
· .

(



+

) ( a

c



a )
理 理
,
.

二 b 伪一

o a Z c

o

C

) 它 酷似 相 交 弦 定 理 或 割 线 定
,


1

若 此 方 程 有 不 相等 的 两 实数 根
c: e: c:

c l

,

自:
, ,


·

由此 联 想 到用 相 交 弦

割 线定 理 证 明 余 弦 定
C

(l ) (2 )


> 0
>

,

c :

>

0

,

则 此三 兔形 有 两 解

o

,

e: c Z

5 0 则 此三 角形 有 一 解
,

(3 )
.

兰 o

,

三0

,

则 此三 角形 无 解
c :

.

2

若 方 程 有 两个 相 等 的实 数 根
c: c、

=
,

2 且 c

(l) (2)

=

cZ c:

>

0 ,
,

则此 三 角形 有一 解
.


如 图 (l ) 在 会入B c 中 B 以 为 圆 心 c 为 半径 作 圆 若 B 则 G 点 与 圆 B 的关 系 有 如 下 三 种 清况
, ,
`
.

,

,



=

三 O 则 此 三 角 形 无解

图 ( 1)

数学 通 报

19 9 3

年 第

5



C 点 在 圆 B 内 (如 图 2 C ( ) ) 过 B 作 直 径 E F 延长 , A C 交 圆 于 刀 延长 A B 交 圆

o l

矛 ` 匕

勺 阳 叫 才 、 /
`.

、 闷 、 卜 l卜 勺
产 电 卜 ó 峪 ,


理 讨
4



托 勒迷 定 理 的 变通

,

限 于 篇幅 这 里 就 不作 探
“ ”
.

,

,

.

声 户 、 . J 卜 盯 、

.

于 G

,

连 D G
A =

,




,

c o s
,


bx
e o s

在 t R 〔 华设

△AD G

, 视 余 弦 定理 在 数 形转 换 中的 桥 梁 作 用
,

艺C

D c

-

当 余 弦 定 理 是 反 映 三 角 形 三 边 关 系 的一 种 性 质时


)

(2)
一 …
a Z

, 而 把 三 角形 的某 一 边 看 作未 知 它是 形 量 时 余 弦 定 理 则 是 一元 二 次 方程 的 形 式 它 又 是
, ,






a

工 e

= +
e Z

Ze
a

eo s

A 一 b

.

.

又 由相 交 弦 定 理 有 c (
b(
Ze e o s



)(

)



A 一 b)

,



,

.

可见
、 ,

,

余 弦 定 理 是 一个 数 形 兼备 的 定 理
,

,



=

具 有 沟通
,

价+

e 一 2石

A

转换 数 形关 系 的特 殊功 能 在 余 弦 定理 教 学 中 教 师要 有意 识 地激 发 学 生作 数 形转换 的动
机 不失 时 机地 揭 示 数与 形 的 内在 关系 以 促 使学 生 的抽 象 思 维与 形 象 思 维 协调 发 展
.

Z o

C 点 在 圆 B 外 (如 图 (3 ) )
,

,

设圆 B 交 A C 于 D D C = 二 过 A B 作 直径 A E △AE D 中 连 DE 则在 R 亡
,
,



,

,

例 3 在正 方形 A B C D 的

e o s

A
e o s



b一 Ze
,

劣 劣

=

b 一

外接 圆 劣 弧 A D 上 任 取 一 点 尸 求证 尸 A 十 尸 C = 梅尸 B
, ,

Ze

F


,

延长 C B 交 圆 B 于 由割 线定 理
A
,

尸A

·

尸 C = 尸B
,

Z



AB

Z二

图 (3 )

·

b
a

=
e

(
a

a e


,

e

)(

a

+
a Z

一 一 ) c
Z

(b ))



Ze

e o s

A
.

)



: 分 析 此 题 单 从 平 几 知识 去证 明 其 繁 难 程 度 是 可 想 而 知的
.


图 (6)
` ”

(



)(

+

) 故有

b + c 2 一 Zb

e e o s

A

但是

,

,

采 用 数 形 转 换 的 策略
,

3 o
,

C 点 在 圆 B 上 (如 图 (4
, ,

过 A B 作 直径 A D 连 C D △ A刀 C 中 则 在 丑忿
e o s

妙 的思考
·

变 形 的研 究 为 则 只 要 利 用 韦达 定 理 就 可 将 原 题结
,

,

论 转 化 为 证 明 尸注

b
A 2
a
二二

e

井 b

co s

A 二
c o s


Ze
=





bZ
e Z

C
,

b

A

+

e Z 一 a Z






尸 C 是 一 元 二 次 方程 砂 一
0

梅p

·

B



+

证 明等 式
和 P C“


A P
,

护 一 A护 = Z 一 仍护 刀 p A
p
·
·

的两个根


,

亦即
Z

十 尸刀 2 一 A B
Z
.

二 。



涯P

B

P C 十 尸B

A B

Z

=

O 都成

即有 护
.

=





一 Zb e
.

2e

e o s

A
。 2

(4 )
s

这 在 △ A 尸 B 和 △ 尸 B C 中 (如 图 (6 ) ) 分别 运 用 余 弦定 理 即 可 证得 证 明过 程 略 二
,

同 理 可 证得 护 二
a Z

+

c Z

一 Za

c

o c

B

,

尸 =

例 4


已知
+ 夕=
2



,

,

,

:

为 正数
25
,

,



且 满 足 方 程组

,

+

bZ 一 Za b e o

s

.

C

3 1
一 ,
:

证 出 了 余 弦 定理 教 师 可 进 一 步 反 间 : 能 否 应 用余 弦 定 理 证 相 交 弦 割线 定 理 呢 ? 然 后 引导 学 生 分 析 相 交 弦 的基 本 图形 (如 图 5 ) )


,



麟 丈夕
图 ( )
5

`

连 尸O
尸0
2

,

AO

,

在 △A O 尸 中
Z

,

由余 弦 定 理
s
,
.

,

.

的值 简析 略 解 : 这 是 一道 代 数 题 试 图通过 消元 法解 出 二 难 度较 大 若 是 注 意 到 原 方 程 组 即是
:
, ,
.

试求

{
,


+ +

2 2

=



护+ 部
.



4 4 1

图 (7)
0

+ 夕 = 13
2

二 A 尸2 +

AO

一 ZA 尸
,

·

AO c o

A

延长 A O 交 圆 于 E 中
,

连 BE
=


在 R t △A B E
B只 于是 B 尸)
.

有 ZA O c o
2

s

A
2

=

AB
Z
,

A P +

则 只要 根 据 余 弦 定 理
·

{
,
二 Z

+ +

:

2

一 2,

:

e e
,

s 6 o 0

= 52

多 2

忿 2 一

2 名念

0 s 12 0 = 1 2 2 o

就 可 将 原 间 题转 化 为求 图
5 , 十 12 久 二
=
_ 、 _

有 尸0
A尸
.

=

A尸

+


A O



A尸 (A 尸 +
二 C P
·

,


=
,

Bp =
Z

A0
,

2

尸0

2
·

同理 可 证 c 尸 , . 尸D
P D

) ( v

二=

丫 中 的 c 刀 的长 乙A c B 二 9 由 s△A B c 0
。 ,

13



-

A O Z一 P O

故有 A尸 尸 B
.

这样



1

_


_

_




A c D

+


.


B c D
_ 七 ~ z

l

X

6
`

x

12

=


;

军 s l
’ .


二 名
=

n b U

+



育劣名

1

s ln l

U

我 们就 证 得 了相 交 弦 定 理
,

另 外 还可 启 发学 生 去 探索 余 弦 定理与 正弦 定



`

(,

+





0 4



,

数学通报



0 而 4 万了

19 9 3

年 第

5



对 于含 有
0 ,
一 2 < k




,

+

k二 , +



,


,

尹 (二

,

,

,

:

>

设 运动
, ,





变化



的情景

,

引导 学 生 全 面 地 认 识 定
,

<

对 结 构 的 代 数 间题 均 可通 过 余 弦
.

理 探 索定 理 的 内在规 律

扩展 定 理 的 使 用 范 围
,

,

定 理 转 化 为 几何 间 题 来解
,

这 样 就 能 有 效 地 发挥 余 弦 定 理功 能 性 的 作 用 提
,

总 之 在 余 弦 定理 的教 学 中 应 努 力 改变 那种


高余 弦 定理 的 教学 价值

.

一 背 二 套 公 式 加 例题 的传 统 教学 模 式 善于 创
,

,

,

球 体积 推 证 中的 “ 类辅 助体
张 家瑞

(苏 州 市 四 中 )
立 体 几 何 课 本 在介 绍 应 用 祖 呕 原 理 推 导球 的 体 积 公 式 时 设 计 了 一 个 圆柱 内挖 去 一 个 倒 放 的
,

其中
丑 ) (几 _ RZ
_

1

谁一 璐
凡)
_
_
· , ’



Z 砂 又R
,

=

一 R鑫
i
,


R
Z




(凡 +
Ro = 此
,





:


_
,

R
1

Z _

+


丑。

`

=
-

R
·

的 圆 锥 的 剩 余 部 分 作 为 球 的辅 助 体 下
,

,

如果 深 究 一
.

下下

,

是 否 还 有 别 的辅 助 体 呢 但 有 一 个 问 题 嵘须 搞 清
, ,

?
,

回 答 是 肯定 的

I t

1

十是

V

=

二 介允 ( 允 J
.

+ 允1

) 分 R
1

R

2



介二3

即应 用 祖 呕 原理 求
?

即为 半 球 体 积 定理证 毕

一 个 新 的几 何 体 的 体积 时 应设 计 一 个 易午求 出 体

积 的辅 助 体 那 么 设计 这 类 辅助 体 有 什么 标 准 呢 一 般 说来
,

满 足 条 件 (A ) 和 (B ) 的大 圆 台 内挖 去 一个 小 圆 台后 的剩 余 部 分 能
“ 否作 为球 的祖 呕 辅 助 体 ? 即 是 否 满 足 三 等 条
`


,

还 需 验 证 的是

,

,

这 类 辅 助 体 应 满 足 下 列 三个 条 件
.

:

) 辅 助 体 与 新 的几 何 体 必 须 等 高 (l (2 ) 辅 助 体与 新 的 几 何 体 必 须 有 相 等 的底 面
积 体
,
.



?

事实上
1
.

,

此几 何体 的高 为 R 条件之 (
1)
.

,

与半球等高


,

故满足


(

3)

当 用 一个 与 底 面 平行 的平 面 截此 两 个 儿 何
.



三等

,,

所 得 的两 个 截 面 面 积 必 须 处 处 相 等 满足这

,


2 丫

.

一 R = R R鑫 名

Z,

.

. ,

一 R鑫



= R合
,

R“

,

三等 条 件 ( 等 高 辅助体可称为祖 呕 辅助体
.

等底
.



等截面) 的

即 此 几 何体 的底 面 积与 半 球 的底 面 积 相等 故 满足


三 等 条 件之
,
.

本 文 介 绍 一 类 球 的 祖 唯 辅 助体
:
,
,
.

(2 )

.

定 理 高 为 R 的 圆 台 A B C D 的上 下 底 面 半
1 在 此 大 圆 台挖 去 一 个 小 圆 台 径分 别 为 丑 R Z C DE F 其 下底 面 在大 圆 台 的 下底 面 内 上底 面
, ,
.



与大 圆 台的 上 底 面 重合
Rl
,

.

且 下底 面 半 径 为

.

R 0
_

,



峨 ~

列 条件 O 满足下 R _ 。 2 朴 川 一 说 二 角 : 0 A :) 瑕 瑞 尸 ( B ) R ( O
RZ
t
.

,

,

.

+




n





lR
。 亡
.

此 儿 何 体 是 否 满 足 三 等’ , 条件之 (3 ) ? 现 用 一 个 与底 面 相 距 l 且 与 底 面 平 行 的 平面 截 此 几 何 体 (图 l ) 设大 小 圆 台 的截 面 半 径 分 别 为 吸 叱 则
3



问 题 的关 键 是

,



一一返人 /
`

\生}



,

,

图 ( 1)

(其 中

R 是 球 半径 ) 那 么 大 圆 台 内挖去 一 个小 圆 台
,

后 的剩 余 部 分 的体 积 与 半 球 体 积相 等
证明
v

:

二丁 f
J

2

*
r l

!

+
.

如图

侧 余部分的体积
3

玖 凡 二几 生 + R + R IR: R ( 犷 若
_
,

1 V 二

,

大 圆 台 内挖 去 小 圆 台 后 的 剩

,





_

J L+


R 一 l

二2
=

l (R

I



R Z) + R R , R

一丁 一

一 R 一 R , 2 R空 而) 合


R 一 l _ R i + 一 了一 场 =
,

( l



r 允 7 亏 l ( 瓦 支一

1

_



_



`

_

_

,

允 6) + 允 , (允 2 一 允 0
5

)」

1 十

R 二 l l

R l



R ) 士R o 0 R

数学 通 报

19 3

年 第




余弦定理教学案例分析

本节课是 正弦定理、余弦定理教学的第二节课,其主要任务是引入并证明余弦...实践说明,这种将教材中的例题、 题作为素材改造加工成情境,是创设情境的一条...

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数学:1.1《正弦定理与余弦定理教案(新人教版必修 5)(原创) 余弦定理 一、...、4(2) 组第 2 题;B (六)课后作业:课本第 10 页 A 组 3(2) 课后...

余弦定理练习题(含答案)

余弦定理练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。余弦定理练习题源网 1 1.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 AC 等于( ) 3 A.6 B.2 6 C....

1.2 余弦定理教学点评

建构并应用余弦定理. 在探讨解决测量不可及两点间距离的方法时,学生共提出三种...迅速将教学重点引入本节课的主 题. (实际上,可以对其它方案作简明的评述,给...

教案设计《余弦定理》

教案设计《余弦定理》_数学_高中教育_教育专区。教案...边”问题;深化与细化方程思想,理解余弦定理的本质。...定理等与本课紧密联系的内容,使余 弦定理的探讨有...

正余弦定理练习题(含答案)

余弦定理练习题(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理 1.在△...执业医师实践技能考试模拟试题 1028988份文档 教学总结精品范文 小学五年级英语...

正余弦定理课后反思

余弦定理课后反思_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。课 后 反 思 关于正余弦...所以想到,1、今后每节课较好的解决一个问 题就行,要多给学生留消化时间,不...

余弦定理

五、重点难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理...题加强计算器的运算 功能,同时,巩固好 正弦定理,余弦...继续深化正弦、余弦 知识 深化 (2)应用余弦定理 a...