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高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.1第1课时排列与排列数公式


1.2 排列与组合 1.2.1 排 列 第 1 课时 排列与排列数公式

1.问题导航 (1)排列的概念是什么?两个排列是相同排列的条件是什么? (2)排列数的定义是什么?什么是排列数公式? 2.例题导读 (1)例 1 是排列数的计算,请试做教材 P20 练习 2 题. (2)例 2、例 3、例 4 是排列的实际问题,请试做教材 P20 练习 5、6 题.

r />
1.排列 (1)一般地, 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素, 按照________一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素________完全相同,且元素的________排 列顺序也相同. 2.排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有________不同排列的个数叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数,用________Am n 表示. n! (2)排列数公式 Am ; n =________n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= (n-m)! 特别地,An (m,n∈N*,且 m≤n),0! n=________n×(n-1)×(n-2)×?×3×2×1=n! =________1.

1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)a,b,c 与 b,a,c 是同一个排列.( ) (2)同一个排列中,同一个元素不能重复出现.( ) (3)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( ) (4)从 4 个不同元素中任取三个元素,只要元素相同得到的就是相同的排列.( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.下列问题属于排列问题的是( ) ①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地; ②从 10 个人中选 2 人去扫地; ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队; ④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算.

)

A.①④ B.①② C.④ D.①③④ 答案:A 3.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲 C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙 答案:C 2 4.A4 =________,A3 3=________. 答案:12 6

)

1.排列定义的两个要素 一是“取出元素”,二是“将元素按一定顺序排列”,这是排列的两个要素. 2.对排列数公式的说明 (1)这个公式是在 m,n∈N*,m≤n 的情况下成立的,m>n 时不成立. (2)公式右边是 m 个数的连乘积,形式较复杂,其特点是:从 n 开始,依次递减 1,连 乘 m 个. 3.排列与排列数的区别 排列与排列数是两个不同的概念,一个排列就是完成一件事的一种方法,不是数;排列 m 数是指所有排列的个数,它是一个数.符号 Am n 中,m,n 均为正整数,且 m≤n,An 是一个 整体.

排列的概念 判断下列问题是否为排列问题: (1)北京、 上海、 天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)选 2 个小组分别去植树和种菜; (3)选 2 个小组去种菜; (4)选 10 人组成一个学习小组; (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班 40 名学生在假期相互通信. [解] (1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所 以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.

(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于 排列问题. (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题. 判断一个具体问题是否为排列问题, 就看取出元素后排列是有序的还是无序的, 而检验 它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来 决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.

1.(1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们 的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两 数字位置无关,故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题. (2)判断下列问题是否是排列问题. ①从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不 同的点的坐标? ②从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法? ③某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方 式共有多少种? 解: ①由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标, 哪一个数作纵坐标的顺序有 关,所以这是一个排列问题. ②因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序,所以这不 是排列问题. ③因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题. 综上,①、③是排列问题,②不是排列问题.

“树形图”解决排列问题 四个人 A,B,C,D 坐成一排照相有多少种坐法?将它们列举出来. [解] 先安排 A 有 4 种坐法,安排 B 有 3 种坐法,安排 C 有 2 种坐法,安排 D 有 1 种 坐法,由分步乘法计数原理,有 4×3×2×1=24 种. 画出树形图.

由“树形图”可知, 所有坐法为 ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. [互动探究] 本例条件再增加一条“A 不坐排头”,则结论如何? 解:画出树形图

由“树形图”可知, 所有坐法为 BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA, 共 18 种坐法. “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时, 是一种比较有效的表示方式. 在操作中 先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准,进行分类,在每一类中再按 余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素,再按此元素分类,依次进行,直到完 成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.

2. (1)从 1, 2, 3, 4 这四个数字中任取两个不同的数字, 则可组成不同的两位数有( A.9 个 B.12 个 C.15 个 D.18 个 解析:选 B.用树形图表示为:

)

由此可知共有 12 个. (2)将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人,每人一束,共有多少种 不同的分法?请将它们列出来. 解:按分步乘法计数原理的步骤:

第一步,分给甲,有 3 种分法; 第二步,分给乙,有 2 种分法; 第三步,分给丙,有 1 种分法. 故共有 3×2×1=6 种不同的分法. 列出这 6 种分法,如下: 甲 玫瑰花 玫瑰花 月季花 月季花 莲花 莲花 乙 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 丙 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 月季花 玫瑰花

排列数公式的应用
4 (1)计算 2A3 4+A4; 4 5 4A8+2A8 (2)计算 8 ; A8-A5 9 x 1 (3)求 3Ax 8=4A9 中的 x. 4 [解] (1)2A3 4+A4=2×4×3×2+4×3×2×1=72.


5 4 4A4 4A4 4+8 4 8+2A8 8+2×4A8 (2) 8 = = . 5 4 4= A8-A9 4×3×2A8-9A8 24-9 5

3×8! 4×9! x-1 (3)原方程 3Ax = , 8=4A9 可化为 (8-x)! (10-x)! 即 3×8! 4×9×8! = ,化简, (8-x)! (10-x)(9-x)(8-x)!

得 x2-19x+78=0, 解得 x1=6,x2=13.
?x≤8, ? 由题意知? 解得 x≤8. ? ?x-1≤9,

所以原方程的解为 x=6. (1)排列数的第一个公式 Am n =n(n-1)?(n-m+1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的 含有排列数的方程和不等式;在运用该公式时要注意它的特点. (2)排列数的第二个公式 Am n= n! 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等 (n-m)!

式等, 在具体运用时, 应注意先提取公因式, 再计算, 同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*, ” m∈N 的运用.

3.(1)4×5×6×?×(n-1)×n 等于(

)

4 A.A4 B.An n n n-3 C.n!-4! D.An 解析:选 D.4×5×6×?×(n-1)×n 中共有 n-4+1=n-3 个因式,最大数为 n,最小 数为 4, n-3 故 4×5×6×?×(n-1)×n=An . 6 5 4 (2)A6-6A5+5A4=________. 6 5 5 解析:原式=A6 6-A6+A5=A5=5×4×3×2×1=120. 答案:120 +2 x (3)解不等式:Ax 8 <6A8. 解:原不等式可化为


8! 8! <6× , (8-x-2)! (8-x)! 即 x2-15x+50<0,即(x-5)(x-10)<0. 得 5<x<10,
?x+2≤8, ? 又? ?x≤8, ?

∴5<x≤6,x∈N*,∴x=6.

易错警示


因忽视 Am n 中的隐含条件而致误

x 2 解不等式:Ax 9>6A9 . 9! 6·9! [解] 原不等式即 > , (9-x)! (9-x+2)!

由排列数定义知?

?0≤x≤9, ? ? ?0≤x-2≤9,

∴2≤x≤9,x∈N*. 化简得(11-x)(10-x)>6, ∴x2-21x+104>0, 即(x-8)(x-13)>0, ∴x<8 或 x>13. 又 2≤x≤9,x∈N*, ∴2≤x<8,x∈N*. 故 x=2,3,4,5,6,7. [错因与防范] 求解本题易忽视 0≤x≤9,0≤x-2≤9.解含排列数的方程或不等式时, * 要注意排列数 Am n 中,m,n∈N ,且 m≤n 这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式 中未知数的取值范围.

4 3 4.解方程:A2 x+1=140Ax .

? ?2x+1≥4, 解:因为? ?x≥3, ?

所以 x≥3,x∈N*, 3 由 A4 2x+1=140Ax 得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得,4x2-35x+69=0, 23 解得,x1=3,x2= (舍). 4 所以方程的解为 x=3.

1.

A3 4 等于( 5!

) . . 12 5 1 10

1 A. 20 1 C. 5

4×3×2 A3 1 4 解析:选 C. = = . 5! 5×4×3×2×1 5 2.在 A、B、C、D 四位学生中,选出两人担任正、副班长,共有选法( ) A.4 种 B.12 种 2 C.4 种 D.24 种 解析:选 B.这是一个排列问题,即从四个不同元素中选出两个元素的排列数,由公式 2 知 A4=4×3=12,故选 B. 3.一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的 4 个节目的基础上再添加 2 个小品节目, 且 2 个小品节目不相邻,则不同的添加方法共有________种. 解析:从原来 4 个节目形成的 5 个空中选 2 个空排列,共有 A2 5=20 种添加方法. 答案:20 4.某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1,a2,a3,a4,a5,4 种退热药 b1,b2,b3,b4, 现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但 a1,a2 两种药或同时使用或同时 不用,a3,b4 两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法. 解:如图,

由树形图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2, a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共 14 种.

[A.基础达标季花 丙 莲花 月季花 莲槐 求-b2,p个元素名给甲参5,学和物理组; (5)选 0 个季花 莲槐 求-b2,p个元素名学校参5一项活动邮 3 c 与 b#琩 A,字母 m(m≤做加字母; x字 53,4 四个剩7 五中,任选(m≤n式,位置个篮球队三( A:如其必惺题,②不
4 9 B.2 C12 个 .15 个 式,解析:觯貉 B.用树形①问题,②不是?x≥学去学校参5上灶动与 关,艘哉慌帕形侍猓

“尸 ?x≥学去学校参5上灶动与 关9什皇虎哿形侍猓

“时有为两数组成加字母与 关9什皇积字问题,②不是?x≥两数组成加位置还需要按成一列, 叫做耘帕幸呀4×2 B___2&c同的3 C5!

).2 C.3 10个 D 解析

选 B.用树形蜕已4+1)?(n-m__2&c同, n+6(n-&c3 解怠郷__2213.___n-1 4 去浣. 3.一次演形式n)个(2x8(2璵+(20)可:

)
B某夷骋B.Am n n (20 21 210个 (20 解析 =20 选 C. = =有 1为 n,鍪򛉨能坠依唇必惺 21 个连续中任取下载时有而可:

)
21 (20鈃 .给数组题是 A,关系唇必点是中正确是尸位①从 1)! 特别地)! 18-xm)原穖)原发賜 =_② 5 驶③n =原 适用适樱1)A! 1=___0-x)詎8-x)n40Ax8-x④! D4 440AB.2 C.3 D.4 解析:选 B.因为加.④. (2)宫鸢福 (2)公5.时, *×2 B__ 1ㄔn7饧

8
).2{n| 1n5} n n{3,4 四个蕔0个 {母鍪}解析{蕔降仁 B.因为C.幽两, *×! 1ㄔn7解淡x)n-2)?(n-mㄔn7解嫡恚1)+64n-6,得 x1=6 1n5≤x∮形 4 解2蔔*, ” m∈, n∈N蔔*, ” m∈≥3,用󃟗3.___从中排列, *×2福 1ㄔn7饧

8{母鍪}喝6、乙 c 与 b#琩,e 五中取出 m每傣不 式兀灰煌腳_种,自 b 为首:
砑臃绞题.一个们给甲是__种. 絖_种. 絖_种. 絖_种. 絖_原不 B.倚瓮

状图a1a2b1 x有 12 . (2)交个们给甲是 tar街謅d街謅e街謈c 与cd街謈e街謉c 与dr街謉e街謊c 与er街 b",a12 6

)

tar街謅d街謅e街謈c 与cd街謈e街謉c 与dr街謉e街謊c 与er街b",A4 A7故 4 5 7.若-18N*.的3 ____. 6 5 5 1 n祝 5瓁)! 740Ax8 1 n 4 5 不 B.业慕馕蟊撸4 4 An

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8)n-10)n-6) 4 18N*., n+611n-60解得 x1=6__2513.___n4 4 去浣x≤n∈7蔔*, ” m∈N15>7 换律? 解福20 4.258.用 1、3、4 矢鍪种腥稳〔恢拿郑郑恢糜腥( A_种. 2)将( 应恢茫

) 不 B.腋雠帕形侍猓创铀氖ㄒ逯 知 所有撞煌4 解3=12, 1 痔恚忽C郑郑置无有三( A8:20 4.4·9胁惶馐欠裎痉ㄎ猓本 上海」阒荨⒛舷海「雒褛目形城市信. [后数应脯故不同的不同夯6A5、D 四位学生筚-b2A校 接卸嗌僖夂笞宰笙蛴2 峙磐酚姓剑珻磐酚姓允2 V植煌某槿》教猓 ③某商图,5× 6 种性俑銎鸬悖 盏闳范ǎ 纪妓 (

故m n? 解下曰同掷次赢冶 上海阒 DI虾z南虾 DI虾z个民是2阒荨舷 D2阒荨雒袷2阒荨上阂院舷 →个民是南虾zI虾以合虾z广州 D个民zI虾以个民z广州 D个民z南虾 D2 . (馕觯涵6A有为古磐酚姓剑姓轿幌氯范ㄖ分法类(可乙 D 四位学两名选一人排浣岫耸奔 梗任2 耕,排下:方成写出

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程的 n? 解下法为题. n 吭 xBCAD,BBADCCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBDA,CDAB,CDACBBAC, DBCA,DCAB,DCBA 种坐 画出树>6 1,2,5跫髅菰槿苏境杀尽⒁医等筚-b2R皇脖径嗌僦 不同凳髅莞“树 2 4润-b2U嵋幌畋热悖爸法1 种凡煌谋热阍谡庑 ①由1,2,5跫髅菰槿苏境杀尽⒁医等筚-b2R皇析本多题,上列问2,5踉刂醒 出 m选不同的排列数,由所 以苍2 5J髅莞“式20 种添加方觯涵6A4润-b2U嵋幌畋热悖爸法1 种龅拿涡虻模允枪识2,同元素中在前面〔籲式,排列数,由所 以2 5=2解3=解析1热阍谡庑 先B.能力提升]∈绷题是各唇必数有关的 An 相等) ①从 1_0-1 C)! 特0Ax8-xn n)(n-2)?(n-m+1)= B_校琺 1# 1)= (
时 解析1躰·粒 1蚝鍪觃0-选 D.4×5×∵n = 故 璵)! 特别地)! 18-x_0-m)原范信虱 适 故·粒 1-1)· [)! 18-x)訟x8]0-x# 特别20 时 ∴絥(n-1A省ち! 1-. 3.D C.解方5, {排列若5×1 11A52A53 4 5 ? 4 , {*.的3S( AW症俅樱28 n n5D.4 解析0 n1仁 B.因为C.∵闲∈5闪⑶一福( AP 得 2,S( AH【鲇 A,,由公十x≤1逾方5A52排򨖫 4 5 3母. 3.= m次演若集2.1P={x|3,____运*}*.的集2.1P齙_____种. 剑灰时祷 B.矣形3,____程的5=脑擞*n,An 从中.解方5≥3,P谇懊嫖盼觯=1且唬=选 B唬=唬=5

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