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挖掘隐含条件解题例1

时间:2013-12-25


挖掘隐含条件解题例说
黑龙江省讷河市进化中心学校 刘桂兰
有是有的问题只用题目中的已知条件可能解法太繁或无从下手, 因 而需从题目中挖掘隐含条件,依次,问题便会很容易解答,请看下面 几例。 例 1、甲对乙说: “当我是你现在年龄时,我的年龄是你年龄 的 2 倍。 ”乙对甲说: “当我是你现在年龄时,你已经 36 岁了。 ”甲 乙二人现在年龄各是多少岁? 分析并

解答:设甲、乙现年分别为x、y岁。当甲的年龄是乙 的现在年龄 y 岁时,乙的年龄是 y 岁,当乙的年龄是甲的现在年 龄 x 岁时,甲的年龄是 36 岁,由于几年前或几年后甲乙的年龄差 不变,于是有 y- y=x-y 36-x=x-y 整理并解得: x=27 y=18 答:略。
1 2

1 2

※ 注: “几年前或几年后二人的年龄差不变”是解题的隐含条 件。 解法二:当甲是乙现在年龄 y 岁时,甲的年龄减少(x-y)岁, 乙的年龄也减少(x-y)岁,这时乙的年龄是[y-(x-y)]岁;当乙是 甲现在年龄 x 岁时,乙的年龄增加了(x-y)岁,甲的年龄也增加了

(x-y)岁,这时甲的年龄是[x+(x-y)]岁,依题意有: y=2[y-(x-y)] x+(x-y)=36 解:略。 ※ 注: “几年前或几年后甲乙二人的年龄都减少或增加的年龄 相同”是解题的隐含条件。 例 2、已知 x ?2 2

x

2

? 4 =2,求 x ?2 +

2

x
2

2

? 4 的值。

分析并解:若解已知方程求 x 的值,非常麻烦,我们注意到 (x?-2)- (x?-14)=12 为常数,因而设 x ?2 + 列方程组,巧妙求 a 的值。
x ?2 x ?2 +
2 2

x

2

? 4 =a,通过解下

x x

2

? 4 =2 ? 4 =a

??(1) ??(2)

2

(1)× (2)得,2a =12, ∴ a=6 即, x ?2 +
2

x

2

? 4 =6

※注: “(x?-2)- (x?-14)=12 为常数”是解题的隐含条件。 例 3、已知等腰三角形两腰上的中线互相垂直,求等腰三角形的底与 腰的比。 解:设等腰三角形 ABC 的底为 a,腰为 b,中线 BD 与 CE 相交于点 O,则点 O 是△ABC 的重心. 设 OD=x,由重心性质可知, OB=OC=2x 在直角三角形 BOC 中和直角 三角形 COD 中,由勾股定理分别得

(2x)?+(2x)?=a?
1 2

??(1)

x?+(2x)?=( b)? ??(2) 由(1) 、(2)得,a:b= 2 : 5 ∴ 底:腰= 2 : 5 ※ 注:这里“点 O 是三角形的重心”是解题的隐含条件。 例 4、已知直角△ABC 的三边分别为 a、b、c(c 为斜边),求 的取值范围。 解:易知 a+b>c, ∴
a?b >1 c a?b c

又由(a-b)?≥0 得,a?+b?≥2ab, ∵ a?+b?=c?, ∴a?+b?+c?≥a?+b?+2ab 即,(a+b)?≤2c?
a?b ≤ 2 c a?b a?b 故, 的取值范围是:1< ≤ 2 c c



a+b>0, ∴a+b≤ 2 c,

想一想,等号成立的条件是什么? ※ 注: “对于实数 a、b,有(a-b)?≥0”是解题的隐含条件。 例 5、已知直角三角形的斜边为 25,内切圆半径为 3,求直角三角 形的面积。 解:设直角三角形的三边分别为 a、b、c(c 为斜边),内切圆半径 为 r。 由 r=
a?b?c 得,a+b=c+2r 2

a?+2ab+b?=c?+4cr+4r? 2ab=4cr+4r?=4×25×3﹢4×3?=336

1 ab=84, 即 S△ABC=84 2

※ 注: “直角三角形三边 a、b、c 与内切圆半径 r 的关系式 r=
a?b?c ”是解题的隐含条件。 2

例 6、在一个两位数中间插入两个数字后,使这个四位数恰好等 于原两位数的平方,求插入后的四位数。 解:设所求四位数为 axyb,不难知道,b 值能是 0、1、5 或 6. (1) (2) 若 b=0,则 axyb 不可能为 10a 的平方 若 b=1,则 axy1=1000a+10xy+1=(10a+1)?

整理得,xy=a(10a-98),没有满足条件的 a 值。 (3) 若 b=5,则 axy5=1000a+10xy+5=(10a+5)?

整理得,xy=10a(a-9)+2 只有 a=9 满足条件,这时 xy=2,即 xy=02 9025=95? (4) 若 b=6,则 axy6= 1000a+10xy+6=(10a+6)?

整理得,xy=a(10a-88)+3 所以,也只有 a=9 满足条件,这时 xy=21 9216=96? 因此,插入后的四位数是 9025 或 9216. ※注: “已知两位数的个位数字只能是 0、1、5 或 6”是解题题隐 含条件 通过以上几例,我们可以看出,发现题中的隐含条件,对解题至 关重要。


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