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2015届高考调研文科9-4

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 4 课时

直线与圆、圆与圆的位置关系

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1.能 根 据 给 定 直 线 、 圆 的 方 程 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ; 能 根 据 给 定 两 个 圆 的 方 程 判 断 两 圆 的 位 置 关 系 . 2. 能 用 直 线 和 圆 的 方 程 解 决 一 些 简 单 的 问 题 . 3. 初 步 了 解 用 代 数 方 法 处 理 几 何 问 题 的 思 想 .

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请注意!
直线与圆,圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点,主要 考查: 1 ( ) 方 程 中 含 有 参 数 的 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 判 断 ; 2 ( ) 利 用 相 切 或 相 交 的 条 件 确 定 参 数 的 值 或 取 值 范 围 ; 3 ( ) 利 用 相 切 或 相 交 求 圆 的 切 线 或 弦 长 .

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1.直 线 与 圆 的 位 置 关 系 交 ? > 0?相 ? 判 别 式 切 ? = 0?相 ――→ 2 Δ=b -4a c? 离 ? < 0?相 d和 圆 半 径 r的 大 小 关 系 :

1 ( ) 代 数 法 :

2 ( ) 几 何 法 : 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离

d<r? 相交 ,d=r? 相切 ,d>r? 相离 .

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2.求直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、 弦 半 径 及 半 径 构 成 直 角 三角形计算.

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3.圆 与 圆 的 位 置 关 系 的 判 定

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设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 0 ) , 1(r1> ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 0 ) , 则 有 : 2 ( r2 > |C1C2| > r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相 离 ; |C1C2| = r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外 切 ; |r1-r2| < |C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相 交 ; |C1C2| = |r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内 切 (r1≠r2); |C1C2| < |r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内 含 .

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4.过圆上一点的切线方程 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2(r> 0 ) 上 , 则 以 x0x+y0y=r2 为 . P 为切点的切线方程

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1.(课本习题改编)直线 y=ax+1 与圆 x2+y2-2x-3=0 的 位置关系是( A.相切 C.要离
答案 B

) B.相交 D.随 a 的 变 化 而 变 化
在圆(x-1)2

解析

∵直线 y=ax+1 恒过定点1 0 ) ( ,

, 又 点 1 0 ) ( ,

+y2=4 的 内 部 , 故 直 线 与 圆 相 交 .

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2.2 ( 0 1 3 ·

陕西)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外 , 则 直 )

线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( A.相切 C.相离
答案 B

B.相交 D.不确定

解析 ∵点 M(a,b)在圆 x2+y2=1 外, ∴点 M(a,b)到圆心0 ) ( , 而圆心0 ) ( , 的距离要大于半径,即 a2+b2> 1 .

1 到直线 ax+by=1 的距离为 d= 2 2<1, a +b

∴直线与圆相交.
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3. 2 ( 0 1 2 ·

福建)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A, ) B.2 3 D.1
B

B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 C. 3
答案

解析

圆心0 ) ( ,

到 直 线

x+ 3y-2=0 的距离为 1, 所 以 |AB|

=2 4-1=2 3,应选 B.

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4.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处 的 切 线 方 程 为 A.x+ 3y-2=0 C.x- 2y+4=0
答案 D

(

)

B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

解 析

圆 的 方 程 为

(x-2 ) 2+y2=4, 圆 心 坐 标 为 y- 3=k(x-1 ),

0 2 ) ( ,

, 半 径 为

2, 点 P在 圆 上 , 设 切 线 方 程 为

|2k-k+ 3| 即 kx-y-k+ 3=0,∴ =2, 解 得 2 k +1 ∴切 线 方 程 为

3 k= 3 .

3 y- 3= 3 (x-1 ), 即 x- 3y+2=0 .
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5.圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-2x-2y+1=0 的 公 共 2 5 弦所在直线被圆 C3 : (x - 1 ) + (y - 1 ) = 4 所截得的弦长为
2 2

_ _ _ _ _ _ _ _


答案 23

解析 圆 C1 的方程减圆 C2 的方程, 即 得 公 共 弦 所 在 的 直 线 l 的方程为 x+y-1=0, 圆 C3 的圆心为1 ) ( , 23 由条件知,r -d = 4 ,∴弦长为 23.
2 2
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1 , 其 到 l 的距离 d= , 2

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例1 m为 何 值 时 , 直 线 1 ( ) 无 公 共 点 ; 2 ( ) 截 得 的 弦 长 为 2;

2x-y+m=0 与圆 x2+y2=5.

3 ( ) 交 点 处 两 条 半 径 互 相 垂

直.

【思路】 1 ( ) 无公共点即相离, 用点到直线的距离 d>r 判断; 2 ( ) 充 分 利 用 直 角 三 角 形 ; 3 ( ) 两 半 径 互 相 垂 直 , 形 成 等 腰 直 角 三 角 形 .

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【解析】 1 ( ) 由 已 知 , 圆 心 为 直线 2x-y+m=0 的 距 离

O0 ) ( ,

, 半 径

r= 5, 圆 心 到

|m| |m| d= 2 . 2= 5 2 +?-1?

|m| ∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 > 5. 5 ∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点.

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2 ( )

如 图 , 由 平 面 几 何 垂 径 定 理 知

2 m r2-d2=12.即 5- 5 =1.

得 m=± 2 5. ∴当 m=± 2 5时,直线被圆截得的弦长为 2.

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3 ( ) 如 图 , 由 于 交 点 处 两 条 半 径 互 相 垂 直 ,

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∴弦 与 过 弦 两 端

的 半 径 组 成 等 腰 直 角 三 角 形 .

2 |m| 2 ∴d= 2 r, 即 = 2 · 5, 5 5 2 5 2 解 得 m=± 2 .故 当 m=± 2 时 , 直 线 与 圆 在 两 交 点 处 的 两 条 半 径 互 相 垂 直 .

5 2 【答案】 1 ( ) m>5 或 m<-5 2 ( ) m=± 2 5 3 ( ) m=± 2
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探究 1 1 ( ) 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 可 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 , 也 可 利 用 直 线 的 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 后 得 到 的 一 元 二 次 方 程 的 判 别 式 来 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 . 2 ( ) 勾 股 定 理 是 解 决 有 关 弦 问 题 的 常 用 方 法 . (3 )两 半 径 互 相 垂 直 也 可 利 用 两 直 线 垂 直 时 斜 率 k1· k2 = -1 .

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思考题 1 1 ( ) 2 ( 0 1 2 · +y2=2 有 公 共 点 , 则 实 数 A.[-3,-1] C.[-1 3 ] ,

安徽)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2 a 的取值范围是( B.[-3 1 ] , D.(-∞,-3]∪[1,+∞) )

【解析】 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有 公 共 点 , 只 需 使 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 圆 的 半 径 |a-0+1| 解 得 - 2 2≤ 2,化简得|a+1|≤2, 1 +?-1?
【答案】 C
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2即 可 , 即 3≤a≤1.

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2 ( ) 若过点 A0 4 ) ( ,

的 直 线

l 与曲线(x-2)2+y2=1 有 公 共 点 , ) B.(- 3, 3) 3 3 D.(- 3 , 3 )

则直线 l 的斜率的取值范围为( A.[- 3, 3] 3 3 C.[- 3 , 3 ]

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【 解 析 】 为 直 线 设 直 线 方 程 为 l与 曲 线 (x-2 ) 2+y2=1 有 公 共 点 ,

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y=k(x-4 ) ,即 kx-y-4k=0,因

所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 半 径 3 3 - 3 ≤k≤ 3 . 另 外 , 借 助 于 上 面 的 图 形 也 可 以 判 断

|2k-4k| d= 2 ≤1, 解 得 k +1

C正 确 .

【答案】

C
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例2 点 作 圆

已 知 圆

C:(x-1 ) 2+(y-2)2=2, 点 P(2, -1 ), 过 P PA,PB,A,B 为 切 点 .

C的 切 线

1 ( ) 求 PA,PB 所 在 直 线 的 方 程 ; 2 ( ) 求 切 线 PA 的 长 ;

3 ( ) 求∠APB 的 正 弦 值 .

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【 解 析 】 的 斜 率 为 k. P(2, -1 ), y+1=k(x-2 ), 1 ( ) 如 图 , 易 知 切 线

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PA,PB 的 斜 率 存 在 , 设 切 线

∵切 线 过 点 ∴切 线 的 方 程 为

即 kx-y-2k-1=0 . 又∵圆 心 C2 1 ) ( , , 半 径 r= 2,

由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 得 |k-2-2k-1 | 2= 解 得 2 2 , k +?-1? 所 求 切 线 k=7 或 k= -1 . x+y-1=0 或 7x-y-1 5 =0 .
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PA, PB 的 方 程 分 别 是
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2 ( ) 连 接 AC,PC, 则 AC⊥AP.在 Rt△APC 中,|AC|= 2, |PC|= ?2-1?2+?-1-2?2= 1 0, ∴|PA|= |PC|2-|AC|2= 1 0 -2=2 2. 3 ( ) 连 接 CB, 则 CB⊥BP. 由△APC≌△BPC 知,∠APC=∠BPC, ∴ ∠ APB=2∠APC. ∴n i s ∠APB=n 2 i s ∠APC=n 2 i s ∠APCc o · s ∠APC

2 2 2 4 =2× × = . 1 0 1 0 5

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【答案】 1 ( ) PA:x+y-1=0,PB:7x-y-15=0 2 ( ) 4 3 ( ) 5

2

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探 究 2 1 ( ) 过 圆 外 一 点 的 圆 的 切 线 方 程 一 定 有 两 条 , 一 定 不 要 出 现 遗 漏 现 象 . 特 别 是 当 求 出 的 斜 率 只 有 一 个 , 结 合 图 形 知 识 , 当 斜 率 不 存 在 时 , 不 在 题 设 的 范 围 之 内 , 但 其 也 满 足 条 件 , 也 是 圆 的 一 条 切 线 . 2 ( ) 本 题 的 难 点 在 于 建 立 切 线 长 与 圆 的 半 径 、 点 距 离 之 间 的 关 系 , 解 决 此 类 问 题 应 画 出 草 图 , 根 据 平 面 几 何 中 圆 的 有 关 性 质 进 行 求 解 . 方 法 一 体 现 了 解 析 几 何 的 基 本 方 法 标 法 , 将 问 题 转 化 为 函 数 的 最 值 求 解 ; 方 法 二 体 现 了 平 面 几 何 中 有 关 结 论 和 定 理 的 应 用 , 更 为 简 捷 .
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P 到 圆 心 的

— —坐

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思考题 2 1 ( ) 已知圆 O:x2+y2=4,求过点 P4 2 ) ( , 相切的切线的方程.

与圆 O

【解析】 ∵点 P4 2 ) ( ,

不在圆 O 上,

∴切线 PT 的直线方程可设为 y=k(x-2)+4. |-2k+4| 3 根据 d=r,∴ 2 =2,解得 k=4. 1+k 3 所以 y=4(x-2)+4,即 3x-4y+10=0.

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因为过圆外一点作圆的切线应该有两条, 可见另一条直线的 斜率不存在. 易求另一条切线为 x=2.
【答案】 3x-4y+10=0 或 x=2

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2 ( ) 从直线 l:x+y=1 上一点 P 向圆 C:x2+y2+4x+4y+7 =0 引切线,则切线长的最小值为________.

【思路】 根据圆的切线长、半径、点 P 到圆心的连线构成 直角三角形表示出切线长,可以设出点的坐标,将其转化为函数 的 最 值 求 解 ; 也 可 根 据 平 面 几 何 的 知 识 将 其 转 化 为 圆 心 到 直 线 上 的点的距离的最小值,直接求解.

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【 解 析 】 圆 心 为

方 法 一 : 圆

C的 方 程 化 为 r =1 . P(x,y), 则 由

(x+2 ) 2+(y+2)2=1,

C(-2, -2 ), 半 径 l上 任 意 一 点

设 直 线

x+y=1, 得 y=1-x.

则|PC|= ?x+2?2+?y+2?2 = ?x+2?2+?1-x+2?2 = 2x2-2x+13. 设 过 点 P的 切 线 与 圆 相 切 于 点 Q,则 CQ⊥PQ.

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故|PQ|2=|PC|2-r2=(2x2-2x+1 3 )-1=2x2-2x+1 2 =2 ( x- 12 2 3 所 以 当 2) + 2 , 切 线 长 为 |PQ|= 1 x=2时 , |PQ|2 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2 3 4 6 2= 2 . C的 方 程 化 为 r=1 . Q,则 CQ⊥PQ. (x+2 ) 2+(y+2)2=1, 圆 心 为 C(- 2 3 此 时 2,

方 法 二 : 圆 2, -2 ), 半 径 设 过 点

P的 切 线 与 圆 相 切 于 点

故|PQ|= |PC|2-r2= |PC|2-1. 故 当 |PC|取 得 最 小 值 时 , 切 线 长 最 小 .
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显然,|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 |-2-2-1| 5 2 d= 所 以 切 线 长 的 最 小 值 为 2 2 = 2 , 1 +1 46 = 2 .
【答案】 46 2

5 22 ? 2 ? -1

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例 3 已知点 P5 0 ) ( ,

及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. C 截得的线段长为 4 3, 求l的 方 程 ;

1 ( ) 若直线 l 过 P 且 被 圆

2 ( ) 求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
【 思 路 】 1 ( ) 根 据 弦 长 求 法 , 求 直 线 方 程 中 的 参 数 ; 2 ( ) 由

垂直关系找等量关系.

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【 解 析 】 1 ( ) 如 图 所 示 ,

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AB=4 3,D 是 AB 的 中 点 ,

CD

⊥AB,AD=2 3,AC=4 . 在 Rt△A C D 中 , 可 得 CD=2 . k, 则 直 线 的 方 程 为 y-5=kx, 即 kx

设 所 求 直 线 的 斜 率 为 -y+5=0 .

由 点 C到 直 线 AB 的 距 离 公 式 , 得 |-2k-6+5 | 3 得 k = 4. 2 2 =2, k +?-1? 3 当 k=4时 , 直 线 l的 方 程 为 3x-4y+2 0 =0 .

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又 直 线

l的 斜 率 不 存 在 时 , 也 满 足 题 意 , 此 时 方 程 为 3x-4y+2 0 = 0 或 x =0 . C的 弦 的 中 点 为 D(x,y),

x=0 .

∴所 求 直 线 的 方 程 为 2 ( ) 设 过 P点 的 圆

→· → = 0, 则 CD⊥PD, 即 CD PD ∴(x+2,y-( 6 · ) x,y-5 ) =0, 化 简 得 y2+2x-11y+3 0 =0 .
【答案】 1 3 ( ) +30=0 x-4y+20=0 或 x=0 2 ( ) x2+y2+2x-11y

所 求 轨 迹 方 程 为

x2 +

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探 究 3 坐 标 分 别 为 在 研 究 弦 长 及 弦 中 点 问 题 时 , 可 设 弦 A(x1,y1)、B(x2,y2).

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AB 两 端 点 的

1 ( ) 若 OA⊥OB(O 为 原 点 ), 则 可 转 化 为 合 根 与 系 数 的 关 系 等 代 入 方 程 简 化 运 算 过 程 , 这 在 解 决 垂 直 关 系 问 题 中 是 常 用 的 ;

x1x2+y1y2=0,再结

2 ( ) 若弦 AB 的中点为 (x0 , y0) ,圆的方程为 x2 + y2 = r2 ,
2 2 2 ? ?x1+y1=r , ? 2 2 2 ? ?x2+y2=r ,

y 2 -y 1 x2+x1 x0 ∴k= = - = -y; x2-x1 y2+y1 0

3 ( ) 在 弦 长 及 弦 中 点 问 题 中 常 借 助 圆 的 几 何 性 质 , 如 垂 径 定 理 、 相 交 弦 定 理 等 .
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思考题 3 1 ( ) 直线 l 过点 P5 ) ( ,

, 且 和 圆

C:x2+y2=25 相

交,截得弦长为 4 5,求直线 l 的方程.

【 解 析 】 圆 的 半 径 ,

如 图 所 示 ,

|OH|是 圆 心 到 直 线 Rt△A H O

l的 距 离 ,

|OA|是

|AH|是 弦 长 |AB|的 一 半 , 在

中 , |OA|=5,

1 1 |AH|=2|AB|=2×4 5=2 5, ∴|OH|= |OA|2-|AH|2= 5.

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设直线 l 的方程为 y-5=k(x-5), |5?1-k?| 1 ∴ 2 = 5,解得 k=2或 k=2. k +1 ∴直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.
【答案】 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0

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2 ( ) 已 知 点

P(a,b)(a b ≠0 )是 圆 O:x2+y2=r2(r> 0 ) 内 一 点 , n的 方 程 为 a x+

直 线 m 是以 P 为 中 点 的 弦 所 在 的 直 线 , 若 直 线 b y =r2, 则( ) n与 圆 O相 离

A.m 与 n 重 合 且

B.m⊥n 且 n 与 圆 O相 离 C.m∥n 且 n 与 圆 O相 交 D.m∥n 且 n 与 圆 O相 离

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【 解 析 】

∵点 P(a,b)(a b ≠0 ) 是圆 O:x2+y2=r2(r> 0 ) 内 一 O0 ) ( , 到 直 线 n 的 距 离 m的 斜 率 是 a 选 b,∴m∥n,

点 , ∴a2+b2<r2,∴ a2+b2<r, 又 圆 心

r2 r2 为 2 圆 O相 离 , 又 直 线 2,∴r< 2 2,∴n 与 a +b a +b 直 线 OP 斜 率 的 负 倒 数 , D.
【答案】 D

∴直 线 m 的 斜 率 是 -

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例4

已 知 两 圆

x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-1 0 x-1 2y

+m=0 . 求: 1 ( ) m取 何 值 时 两 圆 外 切 ? 2 ( ) m 取何 值 时 两 圆 内 切 , 此 时 公 切 线 方 程 是 什 么 ? 3 ( ) 求 m=4 5 时 两 圆 的 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 和 公 共 弦 的 长 .

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【解析】 两圆的标准方程分别为 (x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M3 1 ) ( , ,N6 5 ) ( , ,

半径分别为 11和 61-m. 1 ( ) 当 两 圆 外 切 时 , ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m. 解得 m=25+10 11.

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2 ( ) 当 两 圆 内 切 时 , 因 定 圆 的 半 径 故 只 有 6 1 -m- 11=5, 解 得

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11小 于 两 圆 圆 心 间 距 离 , m =2 5 -1 0 11. 4 3.

6-3 3 因 为 kMN= = , 所 以 两 圆 公 切 线 的 斜 率 是 - 5-1 4

设 切 线 方 程 为

4 |3×1+3-b| 4 y= - 3x+b, 则 有 = 11. 42 ?3? +1

1 3 5 解 得 b= 3 ± 3 11.

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容 易 验 证 , 当 故 所 求 公 切 线 方 程 为

1 3 5 b= 3 +3 11, 直 线 与 后 一 圆 相 交 , 舍 去 . 4 1 3 5 y= - 3x+ 3 -3 11,

即 4x+3y+5 11-1 3 =0 . 3 ( ) 两 圆 的 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 (x2+y2-2x-6y-1 ) -(x2+y2-1 0 x-1 2 y+4 5 ) =0, 即 4x+ 3y-2 3 =0 .

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由 圆 的 半 径 、 弦 长 、 弦 心 距 间 的 关 系 , 不 难 求 得 公 共 弦 的 长 为 2× |4+3×3-23| 2 ? 11? -[ ] =2 7. 2 2 4 +3
2

【答案】 1 ( ) m=25+10 11 2 ( ) m=25-10 11 4x+3y+5 11-13=0 3 4 ( ) x+3y-23=0 2 7

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探究 4 1 ( ) 两 圆 间 的 位 置 关 系 判 断 主 要 通 过 圆 心 距 与 半 径 和差比较. 2 ( ) 相 交 时 , 两 圆 方 程 相 减 即 为 公 共 弦 方 程 .
思考题 4 1 ( ) 若⊙O: x2+y2=5 与⊙O1: (x-m)2+y2=2 0 ( m ∈R)相交于 A、B 两 点 , 且 两 圆 在 点 段 AB 的长度是________. A 处的切线互相垂直,则线

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【 解 析 】

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由 题 意 ⊙O1 与⊙O 在 A 处 的 切 线 互 相 垂 直 , 则

两 切 线 分 别 过 另 一 圆 的 圆 心 , ∴O1A⊥OA. 又∵|OA|= 5,|O1A|=2 5, ∴|OO1|=5, 又 A、B 关 于 OO1 对 称 , ∴AB 为 Rt△O A O 边 上 的 高 的 1斜 2倍 .

5×2 5 ∴|AB|=2× =4 . 5 【答案】 4

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2 ( ) 求 以 相 交 两 圆

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C1:x2+y2+4x+y+1=0 及 C2:x2+y2+

2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程.

【 解 析 】 在 的 直 线 方 程 , 显 然 圆 设 所 求 圆 的 方 程 为

两 个 圆 的 方 程 相 减 , 得

2x-y=0, 既 为 公 共 弦 所

C2 的 圆 心 (-1,-1 )不 在 此 直 线 上 , 故 可 x2+y2+4x+y+1+λ(x2+y2+2x+2y+1 ) =

0 ( λ∈R,λ≠-1 ), 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+2 ( +λ)x+(1+2λ)y+(1+λ)=0, 其 圆 心O的 坐 标 为 2+λ 1+2λ (- , - ). 1+λ 2?1+λ?
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2?2+λ? 1+2λ ∵点 O 在直线 2x-y=0 上,∴- + =0. 1+λ 2?1+λ? 7 即 2λ+7=0,得 λ=-2. 5 2 5 2 5 故所求方程为-2x -2y -3x-6y-2=0, 6 12 即 x +y +5x+ 5 y+1=0.
2 2

6 12 【答案】 x +y +5x+ 5 y+1=0
2 2

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1.有 关 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 , 一 般 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 的 大 小 来 确 定 . 数 形 结 合 法 是 解 决 直 线 与 圆 位 置 关 系 的 重 要 方 法 . 2. 当 直 线 和 圆 相 切 时 , 求 切 线 方 程 一 般 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 , 求 切 线 段 的 长 一 般 用 切 线 段 、 半 径 及 圆 外 点 与 圆 心 连 线 构 成 的 直 角 三 角 形 ; 直 线 与 圆 相 交 时 , 弦 长 的 计 算 用 圆 心 距 、 半 径 及 弦 长 一 半 构 成 的 直 角 三 角 形 .
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3. 求 经 过 已 知 点 的 切 线 方 程 时 , 要 分 清 点 在 圆 外 还 是 在 圆 上,并且要注意切线斜率不存在的情况. 4. 分 类 讨 论 及 数 形 结 合 的 思 想 在 本 节 中 有 广 泛 的 应 用 , 在 分类讨论时,应做到不重不漏.

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1. 直 线 系是( )

xn i s θ+yc o s θ=2+n i s θ 与圆(x-1)2+y2=4 的 位 置 关

A.相离 C.相交
答案 B

B.相切 D. 以 上 都 有 可 能
θ-2-n i s θ| 2 2 =2. n i s θ+c o s θ

n i s| 解析 圆心到直线的距离 d= 所以直线与圆相切.

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2.直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没有公共点的充要条件是 ( A.k∈(- 2, 2) B.k∈(- 3, 3) C.k∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞) D.k∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞)
答案 B

)

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解析 由直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没 有 公 共 点 可 知 , 圆 心0 ) ( , 到 直 线 2 | y=kx+2 的距离大于圆的半径,即 2 >1,由 k +1 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没 有 公 共

此解得- 3<k< 3.因 此 , 直 线

点的充要条件是 k∈(- 3, 3),选 B.

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3.2 ( 0 1 3 ·

江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交 △A O B 的 面 积 取 最 大 值 时 , 直

于 A,B 两点,O 为 坐 标 原 点 , 当 线 l 的斜率等于________.

3 答案 - 3

解析 曲线 y= 1-x2的图像如图所示.

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若 直 线 l与 曲 线 相 交 于

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A,B 两 点 , 则 直 线 - 2k d= 2 . k +1

l的 斜 率

k<0,设

l:y=k(x- 2), 则 点 又 S△O A B 1 =2, 当 且 仅 当 2k2 1 = . k2+1 2

O到l的 距 离

1-d +d 1 1 2 2 2 =2|AB· | d=2×2 1-d · d= ?1-d ?· d≤ 2 1 1-d =d ,即 d =2时 , S△O 得 最 大 值 . 所 以 A B 取
2 2 2

2

2

1 3 ∴k =3,∴k= - 3.
2
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4.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆 C 的切线在 x 轴 和 y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.

答案 =0 或2 ( ±
解 析

x+y-3=0 或 x+y+1=0 或 x-y+5=0 或 x-y+1 6)x-y=0
∵切 线 在 两 坐 标 轴 上 截 距 的 绝 对 值 相 等 , ± 1或 过 原 点 . y= - x+b 或 y=x+c, 分 别

∴切 线 的 斜 率 是

①当 k=± 1时 , 设 切 线 方 程 为 代 入 圆 C的 方 程 得

2x2-2 ( b -3 ) x+(b2-4b+3 ) =0

或 2x2+2 ( c-1 ) x+(c2-4c+3 ) =0 .
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由 于 相 切 , 则 方 程 有 等 根 , 即 b=3 或 b= - 1,c=5 或 c=1 . 故 所 求 切 线 方 程 为 :

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x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0 . ②当 切 线 过 原 点 时 , 设 方 程 为 = 2, 得 k=2 ± 6. ∴此 时 切 线 方 程 为 y=2 ( ± 6)x. x+y-3 =0,x+y +1=0, x -y 6)x-y=0 .
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|-k-2| y=kx 即 kx-y=0, 由 2 k +1

综上①②可 得 切 线 方 程 为 +5=0,x-y+1=0,2 ( ±

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