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9.2.条件概率与事件的独立性


9.2.条件概率与事件的独立性(学案) 【概念与方法】 1.定义:设 A , B 是两个事件,且 P( A) ? 0 ,称 P( B | A) ?

姓名 为在事件 A 发生的条件

P( AB) P( A)

下,事件 B 发生的条件概率。 特别注意 : P( AB) 是指 A、B 同时发生的概率,①当 A、B 为互相

独立事件时 P( AB) = ....

P( A) ? P( B) ;②当事件 A 与事件 B 有公共部分,或有包含关系时,就要单独算 P( AB) 。
2.相互独立事件 ①定义:设 A , B 是两个事件,如果 P( AB) ? P( A) P( B) ,则称事件 A 与事件 B 相互独立. ②性质:如果事件 A 与事件 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也都是相互独立的。 【题组一:条件概率】 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(l)第 1 次抽到 理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理科题的概率.

2.一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取 钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.

3.袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取 2 次,求:(1)第二 次才取到黄色球的概率. (2)在发现其中之一是黄色的条件下,另一个也是黄色的概率

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年气象记录,知道甲、乙两市一年中雨天占的比例 分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,求: (1)乙市为雨天时,甲市也为雨天的概率; (2)甲市为雨天时,乙市也为雨天的概率.

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【题组二:事件的独立性】 5.甲, 乙两人同时向敌机发射导弹,已知甲击中敌机的概率为 0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌 机被击中的概率.

6.设 A、B、C 三人投篮命中的概率分别为 0.9、 0.8、0.7,且他们相互之间投篮是没有影响的。 现在每人各投篮一次,求以下问题发生的概率: ① 三人都投进; ② 三人都没投进; ③ 三人中恰有一个投进; ④ 三人中至少有一个投进; ⑤ 三人中至多有一个投进

7.一个元件能正常工作的概率 r 称为该元件的可靠性。由多个元件组成的系统能正常工作的概率 称为系统的可靠性。 今设所用元件的可靠性都为 r(0<r<1), 且各元件能否正常工作是互相独立的。 试求下列各系统的可靠性。

【课堂练习】 练 1.将三颗骰子各掷一次,设事件 A=“三个点数都不相同” ,B=“至少出现一个 6 点” ,则概率

P( A B) 等于
练 2.在10个各不相同球中有6个红球和4个白球,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次摸出 红球的条件下,第二次也摸到红球的概率为 练 3.甲、 乙两人独立地对同一目标各射击一次, 其命中率分别为 0.6, 0.5, 现已知目标被击中, 则 它是甲射中的概率是 ( ) (A) 0.45 (B) 0.6 (C)0.65 (D)0.75 . 练 4.甲,乙,丙 3 人参加面试抽签,每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的 10 个 试题签中有 4 个是难题签,按甲先,乙次,丙最后的次序抽签。试求 1)甲抽到难题签,2)甲 和乙都抽到难题签,3)在甲没抽到难题签的条件下乙抽到难题签,4)甲,乙,丙都抽到难题签 的概率。

练 5.打靶时甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次,可中靶 7 次,若两人同时射击一个目标, 则它们都中靶的概率是 . 练 6.甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都是 0.6。计算: (1)两人都击中目标 的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率;
2

9.2.条件概率与事件的独立性(作业) 1.若 A 与 B 相互独立,则下面不相互独立事件有 A.A 与 A B.A 与 B C. A 与 B

姓名 ( )

D. A 与 B 1 2.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率 9 相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是 ( ) 2 1 1 2 A. B. C. D. 9 18 3 3 3.袋中共有 5 个球,其中 3 个新球,2 个旧球,每次取 1 个,无放回地取 2 次,则第二次取到新 球的概率是 ( ) . A.

3 5

B.

3 4

C.

1 2 1 D. 8

D.

3 10
)

4.一枚硬币任意掷两次, 事件 A={第一次出现正面}, 事件 B={第二次出现正面}, P(B|A)=( 则

1 A. 4

1 B. 2

1 C. 6

5.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为 译出的概率为

1 1 1 、 、 ,则此密码能 5 3 4
( )

3 A. 5

2 B. 5

59 C. 60

1 D. 60

6.4 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 4 名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中 奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是 ( ) 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 4 7.盒中装有 6 件产品,其中 4 件一等品,2 件二等品,从中不放回地取产品,每次 1 件.取两次, 已知第二次取得一等品,则第一次取得的是二等品的概率是 ( ) 2 3 1 3 A. B. C. D. 5 5 2 10 8.设有 10 件产品,其中有 4 件次品,依次从中不放回地抽取一件产品,直到将次品取完为止.则 抽取次数为 7 的概率为 .

9.甲、乙两班共有 70 名同学,其中女同学 40 名.设甲班有 30 名同学,而女生 15 名,问在碰到 甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率是 。

10.从 1—100 个整数中,任取一数,已知取出的—数是不大于 50 的数,求它是 2 或 3 的倍数的 概率是 .

11.袋中有 5 个红球,3 个白球,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 个.已知第一次抽出的是红球,则 第 2 次抽出的是白球的概率为 。

12.从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽出 2 张, 将其中 1 张放在验钞机上检验发现是假钞, 则第 2 张也是假钞的概率为____ ____.
3

13.抛掷一枚骰子,观察出现的点数,记 A={出现的点数为奇数}={1,3,5},B={出现的点数不 超过 3}={1,2,3}.若已知出现的点数不超过 3,则出现的点数是奇数的概率为________. 14. 在一段时间内,甲去某地的概率是

1 1 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之间没 4 5

有影响,那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是 15.当掷五枚硬币时,已知至少出现两个正面向上,则正好出现 3 个正面向上的概率为 16.某单位订阅杭州日报的概率为 0.6, 订阅钱江晚报的概率为 0.3, 则至少订阅其中一种报纸的 概率为____ __.

17. 两人同时向一敌机射击,甲命中的概率为 0.2,乙命中的概率为 0.25,则两人中至有一人命 中敌机的概率是 。

18.1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球, 号箱中有 5 个白球和 3 个红球, 2 现随机地从 1 号箱中取出 一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问(1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少?(2)从 2 号箱取出红球的概率是多少?

19.盒子中有 10 张奖券,其中 3 张有奖,甲、乙先后从中各抽取 1 张(不放回) ,记“甲中奖” 为 A, “乙中奖”为 B.(1)求 P(A) ,P(B) ,P(AB) ,P(A|B) (2)A 与 B 是否相互独立, ; 说明理由.

20.甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投 3 球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投进的 概率为 ,乙投进的概率为 ,求: (1)甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率; (2)在甲第一次投篮 未投进的条件下,甲最终获胜的概率.
4 5 1 2

21.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中 6 题,乙能答对其中 8 题.若规定每次考试分别都从这 10 题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题算合格.(1)分 别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.

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