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【精品】导数放缩必备题型

时间:2015-02-22


上次发贴介绍了下 2014 年课标 1 卷的放缩做法,发现很多人不太懂放缩,而且吧里似乎没有专门讲解放 缩的贴子。鉴于本人是河北人,研究过一些导数里较难的题,比如数列不等式,所以斗胆在此发表一些自 己的心得,希望大家能获益。数学老手,贴吧新手,发帖有什么不好的地方请轻喷。 此贴思路是这样的,先介绍放缩的思想、应用及注意事项,然后简单提下数列中的放缩,再重点介绍函数 与导数中的放缩

,拓展一些知识,附上一些例题。 从最简单的例子开始比如我们要证明 π>e,我们知道 π>3,3>e。我们可以把要证的不等式 π>e 左边 的 π 缩小为 3,3 比 e 大是对的,π 比 e 大就得证。同理也可把右边的 e 放大为 3。 上面的例子太过简单,真到复杂的情况,可能你似懂非懂的了解了放缩但还是应用不上,真的理解还是要 靠题目。直接来到高大上的题,搞清了就理解放缩了。

第一问略过(等号左边的取对数易证,等号右边把帖子看完就知道多好证了) 第二问说思路,首先这个式子太过庞大,有指数有三角,而且不管怎么变形求导,都无法消除其中一种, 所以常规法是很难做甚至是不可做的。再看第一问有放缩的提示,所以考虑放缩。 如果 1-x≥g(x)这时求得 a≤-3,那么这个范围内 f(x)≥g(x)的,或者说这个范围就是一个充分条件, 我们只须论证其必要性。 也就是证 a>3 时 f(x)≥g(x)不成立,即 g(x)>f(x) ,这时再把 f(x)放大为 1/(1+x)与 g(x) 比较,在 a>3 时,作差求导得出 g(x)>f(x) ,所以 a≤-3 为充要条件。 详答不放,重要的是思路,计算过程现在都可以不算,只要把这个思路倒腾清楚,放缩思想基本就有了, 而且不局限在证明不等式了。 注意事项: 第一:放缩要注意尺度,比如证 π>e,你要是想到了 π>2,然后想用 2>e 来证明,那当然不行,你放 缩的尺度太大了,复杂题中,有时这尺度不容易把握。 第二:看清楚不等号及放缩方向,有时你做着做着就蒙了,就看不清了。比如你要证 π>e,你想到了 e >2,一看 π>2,以为自己证出来了,其实呢,你已经晕了。这个例子你看着滑稽,自己做难题时这种情 况而正常。 第三:注意有放有留,在数列中常用,我们通常把数列的第一项或者前两项不进行放缩,只放缩后面的, 借此来控制放缩的尺度(因为有时前面的项放缩会尺度过大) 。更高端的,我们可以把数列的后面的拿出 n 项来,只对后面的 n 项放缩,而不放缩前面的(因为有时后面的放缩会尺度过大) 。 第三条中更更高端的,我们可以借项。比如数列 an=n,其前 n 项和本应为 1+2+3+4+……+n 我们可以写为 1+2+3+4+……+n+【 (n+1)+(n+2)+……2n】-【 (n+1)+(n+2)+……2n】 ,就是加上 n 项再减去 n 项,然后对减去的 n 项或加上的 n 项进行放缩(之所以要放缩减去的那些项,是因为有时候 不等号方向和你已知的放缩式子可能不合适,但如果放缩减号后的那些项可以解决这个问题) 现在来介绍下数列中的放缩,河北数列难度小,所以我了解的不如导数多,只举三个例子吧。 第一,脑筋急转弯型放缩,平凡之中暗藏坑爹,此类题题号靠前,难度不大,却可以很坑爹。 例:求证 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......1/(n+n)<1 难吗,有没有发现左边 n 个式子每一项都比 1/n 小,那 n 个合起来当然比 1 小了,这不这么显然吗?如果 你考试时做不出来,请拿出小学生考你脑筋急转弯你答不出来的心态来。

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第二条较常用(导数中有道数列不等式也要用它,在此只举一例) 这类放缩就是朝裂项相消方向靠拢。 很显然的, 我们有 1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1) (原谅我不会把平方打成角标) 。 当然我们有更加强版的 1/n^2 <1/(n+1)(n-1)。 如此只要有平方倒数,我们可以考虑用这些不等式将其放缩为能裂项相消求和的式子,举个,而是否用加 强版的放缩,要看题里的条件,用那个式子更美观,加强版不见得是好的。 例如 an=1/n^2, 求证 Sn<2, 我们可以将 a1 保留 (显然放缩之中 a1 没有定义) , 从 a2 开始放缩为 1/n(n-1), 熟悉的裂项求和求出, 后面部分的和是小于 1 的。 用加强版一定也可以, 但是那个计算起来要稍微麻烦些, 没必要。 第三是一个指数型的放缩,具体题目我忘了,是个老题,没必要过分纠缠,做法很多,我只取我自己独创 的做法,觉得还是比较好的,至少比老师讲的简单些。 an=3^n-2^n,求 Sn 小于什么还是大于什么我忘了,反正显然是要放缩,这个尺度不好把握,我是这么来 把握的。 an=[(3/2)^n-1]*2^n,然后令二分之三的指数 n=1,2,3 等某个定值,再等比求和。因为二分之三是比一要大 的,其指数函数是递增的,把 n 限制为某个值,他一定变小了,控制 n 的值就一定程度控制了放缩尺度。 为什么能想到这呢,其实你对题有研究的精神,有兴趣,没事多想想,就肯定能有灵感,能超越老师的思 路,这个谁都可以有。 首先,我来提一个高大上的东西,就是高数里面的泰勒公式,这个只是背景,了解就行,感兴趣的可以找 百科或者高数书。就是从某个点 X0 处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值,如 果这个点是 0,就是形式比较简单的麦克劳林级数。 简而言之,它的功能就是把坑爹的超越式近似表示为幂函数。

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然后给出高中阶段常用的放缩的不等式,推荐背过,题里一般会提示,若无提示,用这些也有可能让题目 简单。 e^x≥x+1 x-1≥lnx≥1-1/x √1+x ≤1+x/2(根号不会打……,平方下就知道这式子怎么来的了。 ) 1-x^2/2≤cosx≤1-x^2/4(在-π 到 π 上) 对实数 x>-1,在 n≥1 时,有 (1+x)n≥1+nx 成立;在 0≤n≤1 时,有(1+x)^n≤1+nx 成立(伯努利不等式) 重点研究前两个,十道导数题八道与它有关,其中两道就要用它们,另外两道用它们会简化题目。 很容易发现 e^x≥x+1 ,这是取的麦克劳林级数的前两项。 我们对该式两边取以自然对数,得到 x≥ln(x+1) ,用 x-1 替换 x 就得,lnx≤x-1。在这个式子中,用 1/x 替 换 X 就 可 以 得 到 -lnx≤ ( 1/x ) -1 即 lnx≥1-1/x 。

从图像中也可以看出 x+1 和 x-1 正好是切线,这样凭这个图像很容易就记住了这两个不等式

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当然将指数对数稍作平移,切线都变为 x 看着似乎更有趣,两个图像有公切线,然而切点是不同的 第三道 2014 课标 1,我知道可以不用放缩,但此帖就是在讲放缩。

求证

>1,显然 e^x-1/x 是>1 的,但它的系数为 2,你要是直接弄成>2

就错了,f(x)是大于

的,证这个大于 1,两边都有 1 可消掉,成了证明

大于 0,那就好多了,都除以 e^x-1, 等号不同时取,所以是大于。

就成了证它>0,求导求最小值,恰好是 0,

第四,我忘了原题了,原题要复杂,我只编个简单点的说明下这个灵活的思想吧。跟我思路来。 求证:x^2+(lnx)^2>1/2。x≥lnx+1,所以只须证(lnx+1)^2+(lnx)^2>1/2,令 t=lnx+1, (换元成 2 次函 数) ,则转化为证 2t^2-2t+1>1/2。二次函数求最小值,就是 1/2 其实就是告诉大家,一定一定要很灵活,我们的思路都是转化为幂函数,这个题,却将幂转化为对数(受 不等号方向的限制) ,然后又通过大家熟知的换元法转化为简单的二次函数。 接下来讲下一类数列不等式简单证法。 看题。求证 1+1/2+1/3+1/4+……+1/n>ln(n+1) ,这种题,数学归纳法是可以的,但步骤未免有些繁琐, 我们有简化的证法。 把这个不等式看作关于 n 的式子,复制一个 n-1 的式子 1+1/2+1/3+1/4+……+1/(n-1)>ln(n)用上式减下式,得 1/n>ln(1+1/n) (上面的不等式可证明,令 x=1/n) 1/n>ln(1+1/n)分别求和就可证出上面的式子。
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所以遇见数列不等式,先复制 n-1 的式子,如果不等号两边都是某数列的前 n 项和,这样就可以找到两个 数列的通项,由通项的大小就可以证明前 n 项和的大小。

2014 石家庄质检二,第一问不用说,看着也很眼熟吧,a≤1 自己算。 第二问,这个不等式首先也不可能 作差,需要一定的变形。说下思路,首先应该把(3n)^n 除到左边来,观察 这个式子肯定是某个以 e 为 公比的等比数列前 n 项和(很多题都是等比,因为等比后面的次数挂上 n 的可以忽略) 考虑不等式 e^x≥x+1,令 x=什么可以有等比呢?观察除过去后的左边,通项[(3i-2)/3n]^n 注意搞清 i 和 n,经尝试 得令 x+1=(3i-2)/3,e^x 是一个等比数列,求和后可与比较。 然后再看 [(3i-2)/3n]^n 中括号里的式 子比 1 小,所以把 n 次幂的 n 改为 1 可以放大, (3i-2)/3n 中,把分母的 n 改为 1,,可将式子放大,然后 就是上面我们尝试的式子。

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