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1.3.2二项式定理


1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 " 与二项式系数的性质

?a ? b? 展开式的二项 探究 用计算器计算 式系数并填入下表 .
n

n
1 2 3 4 5 6

?a ? b? 展开式的二项式系
n

通过计算填表 , 你

发现了什么规律 ?

从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对 称性. 除此之外还有什么规律 呢 ? 为了方便, 可将上表 写成如下形式: 表示形 ?a ? b ?1 1 1 式的变 2 ?a ? b? 1 2 1 化有时 3 ?a ? b? 1 3 3 1 也能帮 4 1 4 6 4 1 助我们 ?a ? b ?

1 6 15 20 15 6 1 探究 你能借助上面的表现形 式发现一些新的规 律吗?

发现某 些规律.

?a ? b? 6 ?a ? b?
5

1 5

10

10

5 1

上表中蕴含着许多规律 , 例如 : 在同一行中 , 每行两端都是 1 ,与这两个 1等距 离的项的系数相等 ;
在相邻的两行中 ,除1以外的每一个数都等于 它 " 肩上" 两个数的和.事实上, 设表中任一不 为 1 的数为 Crn?1, 那么它肩上的两个数分 别为 C 及C , 容易证明C
r ?1 n r n r n ?1

?C

r ?1 n

?C .
r n

左积

右积

本积 一 商除 一 一

平方 一 二 一 立方 一 三 三 一
三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一 五乘 一 六 十五二十十五 六 右 命 以 中 裘 廉 藏 实 乃 乘 者 而 隅 商 皆 除 算 之 方 廉


左 裘 乃 积 数

图1.3 ? 1

值得指出的是, 这个 表在我国南宋 数学 家杨辉在1261年所 著的《 详解九章算 法 》 一书里就出现 了 , 所不同的只是这 里的表用阿拉伯数 字表示, 在这本书里 记载的是用汉字表 示的形式(图1.3 ? 1).

这个表称为杨辉三角, 在《 详解九章算法 》 一书 里 , 还说明了表里“一” 以 外的每一个数 都等于它 肩上两个数的和 , 杨辉指出这个方法出于 《 释锁》 算书, 且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪) 已经 用过它 .这表明我国发现这个表 不晚于11世纪, 在欧 洲, 这个表被认为是法国数 学家帕斯卡 (BlaisePas cal,1623 1662) 首先发现的, 他们把这个表叫做 帕斯卡三角 .这就是说, 杨辉三角的发现要比欧 洲早 五百年左右 ,由此可见我国古代数学 的成就是非常 值得中华民族自豪的 .
?

对于?a ? b ? 展开式的二项
n

f ?r ?
20 15 10

式系数 C , C , C , ? ??, C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n

分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f ?r ?, 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 ? 2 义域是 ?0,1 ,2,? ? ?, n? .对于确 定的n, 我们还可以画出它的图 象.例如n ? 6, 其图象是7个孤立点 (图1.3 ? 2).

5

r

请你分别画出 n ? 7,8,9 时的函数图象 .你能看 出它们有哪些异同吗 ?

下面结合" 杨辉三角" 和图1.3 ? 2来研究二项式系 数的一些性质 .

?1?对称性
?m Cn . n 得到

与首尾两端 " 等距离" 的两 个二项式
m n

系数相等 .事实上 , 这一性质可直接由公式C ?
n 直线 x ? 将函数 f ?r ? 的图象分成对称的两部 分, 2 它是图象的对称轴 .

?2?增减性与最大值 因为 n?n ? 1??n ? 2? ? ? ? ?n ? k ? 1? k Cn ? ?k ? 1?! k

?C

k ?1 n

?n ? k ? 1? ,
k

k ?n ? k ? 1? ? 1 ? k ? n ? 1可知,当k ? n ? 1时,二项式 k 2 2 系数是逐渐增大的. 由对称性知它的后半部 分是逐 当 n 是奇数时,中间 渐减小的 , 且在中间取得最大值 ; n?1 n?1 的两项Cn2 .Cn2 相等,且同时取得最大值 . ?3?各二项式系数和 已知

所以C 相对于C

k n

k ?1 n

? n ? k ? 1? 的增减情况由 决定,由

?1 ? x ?

? C ? C x ? C x ? ??? ? C x ? ??? ? C x , 0 2 令x ? 1 ,则2 ? Cn ? C ? Cn ? ? ? ? ? Cn , n . 这就是说
n 0 n n 1 n 2 n 1 n 2 r n r n n

n ?? ?

?a ? b? 的展开式的各个二项式 系数的和等于 2. ???你能用组合意义解释一 下这个" 组合等式 " 吗?
n n

利用这些性质可以解决 许多问题 . 例如, 利用 " 杨辉三角 "中除1 以外的每一个数都 等于它肩上两个数 的 和 这个 性质 , 可以 根据相应于n 的各二项式系数写出相 应 于n ? 1 的二项式系数 .如根据" 杨辉三角 " 中相应于n ? 6 的各二项式系数, 可写出 相应于n ? 7的各二项式系数 1 7 21 35 35 21 7 1 这样, 就可以将二项式系数表 延伸下去 , 从而可根据这个表来求 二项式系数 .

例3 试证 : 在?a ? b? 的展开式中 ,奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的 二项式系数的和 . 分析 奇数项二项式系数的和 为
n

由于?a ? b ? ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? ? ? C b 中的a, b可以取任意实数 ,因此我们可以通过对 a, b 适当赋值来得到上述两 个系数和 . 实际上, a, b 既可以取任意实数 , 也可以取任意多 项式, 还可以是别的 .我们可以根据具体问题 的需 要灵活选取a, b的值.
n 0 n n 1 n ?1 n 2 n?2 2 n

C ? C ? C ? ? ? ?, 1 3 5 偶数项二项式系数的和 为Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ?,
0 n 2 n 4 n

n n n

0 2 ? ? ? ?C b 中, 令a ? 1, b ? ?1, 则得 ?1 ? 1? ? Cn ? C1 ? C n n ? 0 2 1 3 n n 3 即 0 ? C ? C ? ? ? ? ? C ? C n n n n ? ??? , Cn ? ? ? ? ? ?? 1? Cn , n n n n

0 n n ?1 2 n?2 2 证明 在展开式 ?a ? b ? ? Cn a ? C1 a b ? C b ? n na n

?

? ?

?

即在?a ? b? 的展开式中,奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和.
n

0 2 3 所以 Cn ? Cn ? ? ? ? ? C1 ? C n n ? ???

?

? ?

?

实际上, 联想到
0 2 2 k k n n ? Cn ? C1 x ? C x ? ? ? ? ? C x ? ? ? ? ? C n n n nx , n 把它看成是关于 x的函数,即f ?x ? ? ?1 ? x ? 0 2 2 k k n n ? Cn ? C1 x ? C x ? ? ? ? ? C x ? ? ? ? ? C n n n n x , 那么 f ?? 1? ? 0,由此很容易得到要证明 的结果. n

?1 ? x ?

探究与发现

" 杨辉三角 "中的一些秘密

前面借助杨辉三角讨论了二项式 展开式的一些性质 , 实际上, 杨辉三角本身包含了许多有趣的性质.下面就 来探索一下这些性质 . 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 第5行 第6行

? ? ? 第n ? 1行
第 n行

2 1 C1 C n ?1 n ?1

? ? ? ??? C

r ?1 n ?1

?2 Crn?1 ? ? ? Cn n ?1 1

? ?

? ? ?

1.观察图形 , 你能发现每一行的数字 规律吗? 将 你的发现填写在空格上 .

从上述图形可以看到 , 杨辉三角的第n行就是二 项式?a ? b? 展开式的系数,即
n

?a ? b?

n

? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b
0 n n

1 n?1 n

2 n?r r n

n n n

2.观察杨辉三角图形 , 你能发现组成它的相邻 两行的数有什么关系吗? 可以发现 , 这个三角形的两条腰都 是由数字1 组成的 , 其余的数都等于它肩上 的两个数相加 .

3.如图1 , 从连线上的数字 你能发现什么规律?自己 再连一些数字试试 .
根据你发现的规律, 猜 想下列数列的前若干 项的和 : 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? C1 n ?1 ?
2 1 ? 3 ? 6 ? ? ? ? ? Cn ?1 ? 3 1 ? 4 ? 10 ? ? ? ? ? Cn ?1 ? ??????

1 1 1 1 1 1
5
4 2

1 1
3 6

3

1

10

4 1 10 5 1

图1

, , ,

r r r 一般地, Cr ? C ? C ? ? ? ? ? C .?n ? r ? r r ?1 r ?2 n ?1 ? 实际上, 上式等式可以用数学归纳法来证明 .

4.如图2的斜行中 , 杨辉三角图形中 位于前几条斜行 上的数字的和已 经在斜行上末标 出 , 请你在 " ?" 处 标出其余各行的 和, 仔细观察这些 和, 你有什么发现?
1 1
8

1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3

1 2
3 6

1 1 4 1

4
5 10

15 21 35 56

10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2

21 7
56 28 8

1 1

除了这几个数的排列规 律, 你还能再找出其他一些 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !

作业:P37(A组7—8和B组)


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