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江苏省盱眙县2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版

时间:2013-03-15


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新马高级中学 2013 届高三上学期期末考试数学试题
一、填空题 1.已知 e1 ? ( 3 , ? 1) , e2 ? ( ,

1 2

3 ) ,若 a ? e1 ? (t 2 ? 3) ? e2 , b ? ?k ? e1 ? t ? e2 ,若 2


a ? b ,则实数 k 和 t 满足的一个关系式是

k ? t2 的最小值为 t



2.已知函数 f(x) =x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,6 ]上递减,则 a 的取值范围是 ▲ . 3.函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在 [2,??) 上为增函数,则 m 的取值范围是 4. 已知对任意实数 x,二次函数 f(x)=ax +bx+c 恒非负,且 a<b,则 值是____。 5.若对于任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x +(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值 范围是 . .
2 2

。 的最小

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? abx? a ? 2b .若 f (0) ? 4, 则 f (1) 的最大值为

? 7. (06 年全国 I)设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 。若 f ( x) ? f ( x) 是奇函数,则

? ? _________.
n 8 . 已 知 s i ? ?( ? sin( ? ? 5? )= 4
.

) ? o s c ?

? c o s ( ?, ?) 是 i 第 三 象 限 角 , 则 ? ? ? s n

3 5

9.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? cos ? ? 10.若 ? 是锐角, cos ? ?

? 1 ,则 sin ? 2 3



11.在△ ABC 中,若角 B ? 60 ? ,则 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan = 2 2 2 2



12. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

2x 的图象上两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若 2x ? 2

OP ?

1 1 ( OP ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 1 2 2

(1),求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; (2),求 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n ?1 n )? f( ) n n
1

(3),记 Tn 为数列 {

1 } 的前 n 项和,若 Tn ? a(Sn?1 ? 2 ) 对一切 n∈N*都 (Sn ? 2 )( Sn ?1 ? 2 )

成立,试求 a 的取值范围。
?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 13.设 e1 , e2 为两个不共线的向量, a ? e1 ? ?e2 , b ? ?(2e1 ? 3e2 ) 且 a // b ,则 ? =___________.

???? ??? ? ??? ? ??? ? 14.已知 S 是△ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点,若 BD = xAB ? y AC ? z AS ,则 x+
y+z=

二、解答题 15 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 e1 , e2 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ,

??? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三点共线,求 k 的值.。

16 . 已 知 : A, B, C

是 ?ABC

的 内 角 , a, b, c

分别是其对边长,向量

2

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m?

? 3, cos?? ? A? ?1?

, n ? (cos(

?
2

? A),1)

,m ? n .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

3 , 3

求 b 的长.

17 . 设 P 表 示 幂 函 数 y ? x c

2

?6c?8

在 ?0,??? 上 是 增 函 数 的 c 的 集 合 ; Q 表 示 不 等 式

x ? 1 ? x ? 4 ? c 对任意 x ? R 恒成立的 c 的集合.
(1)求 P ? Q ; (2)试写出一个解集为 P ? Q 的不等式.

18.(12 分)集合 A 是由具备下列性质的函数 f(x)组成的: ①函数 f(x)的定义域是[0,+∞); ②函数 f(x)的值域是[-2,4);

3

③函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,试分别探究下列两小题: (1)判断函数 f1(x)= x -2(x≥0)及 f2(x)=4-6· ? ? (x≥0)是否属于 集合 A?并简要 说明理由; (2)对于(1)中你认为属于集合 A 的函数 f(x),不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任 意的 x≥0 恒成立?若不成立,为什么?若成立,请说明你的结论.

???x ???

19. (本小题 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且错误!未找到引用源。 (1)求角 C 的大小;
4

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(2)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

20. (12 分)已知如图:平行四边形 ABCD 中,错误!未找到引用源。,正方形 ADEF 所在平 面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点.

5

E

F

H

G

D C B

A

(1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若错误!未找到引用源。,求四棱锥 F-ABCD 的体积.

参考答案

6

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1.本试题主要是考查了向量的数量积公式的运用和函数的 最值的求解。

7 ? t (t 2 ? 3) ? 4k ? 0 , 4 。
【解析】 因为 e1 ? ( 3 , ? 1) ,e2 ? ( ,

1 2

3 若 ) , a ? e1 ? (t 2 ? 3) ? e2 ,b ? ?k ? e1 ? t ? e2 , 2
2

且 有 a ? b , 那 么 数 量 积 为 零 , 即 t (t ? 3) ? 4k ? 0 , 那 么 可 知 k,t 的 关 系 式 ,

k ? t 2 t (t 2 ? 3) ? 4t 2 3 3 7 ? ? t 2 ? 2t ? ,结合二次函数性质可知 t 2 ? 2t ? ? (t ? 1) 2 ? 最小 4 4 t 4t 4
?
值为

7 4。

解决该试题的关键是利用垂直关系得到 k,t 的关系式,然后消元法得到函数关系式进而求 解最值。 2.略 【解析】略 3. 【解析】略 4.3 【解析】略 5.(-∞?1)∪(3,+∞) 【解析】略 6.7 【解 析】略

??
7.

?
6.
f ' ? x ? ? ? sin

【解析】 试题分析:

?

3x ? ?

??
?
3

3x ? ? ' ? ? 3 sin

?

?

3x ? ?

?

h ? x ? ? f ? x ? ? f '? x ? ? ? ? 2 ?cos cos 3 ?

?

3 x ? ? ? sin

?

sin

?

? 3x ? ? ? ?

?

?? ? ? 2cos ? 3 x ? ? ? ? 3? ?

要使 h(x) 为奇函数,需且仅需

??

?
3

? k? ?

?
2

(k ? Z )
,即:

? ? k? ?

?
6

(k ? Z )
.

又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0,从而

??

?
6.
7

考点:本题主要考查导数公式,导数的运算法则,三角函数的奇偶性。 点评:综合题,牢记公式,掌握法则,细心求导。注意题目中对角的限制。 8.

7 2 10

【解析】因为

3 sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? sin( ? ? ) ? ? 5 3 4 ? sin ? ? ? , cos ? ? ? 5 5
因为 ? 是第三象限角, sin( ? ?

5? 2 2 7 2 )?? sin ? ? cos ? ? 4 2 2 10

2 9. 5
【解析】解:因为 tan ? ? 2 则 sin ? cos ? ?

sin ? cos ? tan ? 2 ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

10.

3 3 1 ? ? 3 。 ? 1 ? 2sin 2 ? sin ? 3 2 2 3

【解析】解:因为 ? 是锐角, cos ? ?

11.

3
A 2 C 2 A 3 tan 2 C tan 2

【解析】 tan ? tan ?

? tan

A?C A C A C (1 ? tan tan ) ? 3 tan tan 2 2 2 2 2

? tan

180? ? 60? A C A C (1 ? tan tan ) ? 3 tan tan 2 2 2 2 2

? tan 60? ? 3 .
12.(1)见解析;(2) Sn ?

1 n ?3?2 2 ;(3) a ? . 2 8

【解析】本试题主要考查了函数,与向量,以及数列的知识的综合运用。以函数为模型,确 定点的坐标关系式,进一步结合向量得到结论,并利用倒序相加法求解和,同时利用裂项求 和得到不等式的证明。 (1)由于点在函数图像上,同时满足 OP ?

1 ( OP ? OP2 ) ,那么利用坐标化简得到结论。 1 2
8

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(2)根据 f (x1)+f (x2)=y1+y2=1,f (1)=2- 2 ,结合倒序相加法求解得到结论。 ( 3 ) 根 据 已 知 的 和 式 得 到

1 (S n ? 2 )(S n?1 ? 2 )
学思想得到证明。 (1)证:∵ OP ?

?

1 n?3 n?4 ? 2 2

?

4 1 1 裂项求和的数 ? 4( ? ), (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4

1 ( OP ? OP2 ) ,∴P 是 P1P2 的的中点?x1+x2=1------(2 分) 1 2
2 x1 2 x2 2 x1 21? x1 ? x ? x ? 1? x 2 x1 ? 2 22? 2 21? 2 2 1? 2

∴ y1 ? y2 ? f ( x1) ? f ( x2 ) ?

?

2 x1 2 2 x1 2 ? ? x ? x ?1 x1 x1 1 1 2 ? 2 2? 2 ?2 2 ? 2 2 ? 2
∴ yp ?

1 1 ( y1 ? y2 ) ? .-----------------------------(4 分) 2 2
2 ,

(2) 解 : 由 (1) 知 x1 + x2 = 1 , f (x1) + f (x2) = y1 + y2 = 1 , f (1) = 2 -

1 2 n ?1 n Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) , Sn ? f ( n ) ? f ( n ? 1 ) ? ? ? f ( 2 ) ? f ( 1 ) n n n n n n n n 1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? f (1) 相加得 2Sn ? f (1) ? [ f ( ) ? f ( n n n n n n
? 2 f (1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
(n - 1 个 1)

?n ?3?2 2



Sn ?

n ?3?2 2 .------------(8 分) 2

(3)解:

1 (S n ? 2 )(S n?1 ? 2 )

?

1 n?3 n?4 ? 2 2

?

4 1 1 ? 4( ? ) (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4
------------------∵

Tn ? 4[(
( 10 分 )

1 1 1 1 1 1 n ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] ? 4 5 5 6 n?3 n?4 n?4
Tn ? a(Sn?1 ? 2 )
?

a?

Tn S n ?1 ? 2


?

2n 2 ? 2 16 (n ? 4) n? ?8 n

n?

16 ≥8,当且仅当 n=4 时,取“=” n 1 -------------------(12 分) 8
3 2

2 2 1 ? ? ,因此, 16 8?8 8 n? ?8 n

a?

13. ?

? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3 【 解 析 】 a ? e1 ? ?e2 , b ? ?(2e1 ? 3e2 ) ? ?2e1 ? 3e2 ,? a // b,??2? ? 3,?? ? ? 2

9

14.0

???? 【解析】解:因为 BD =

??? ? ???? ??? 1 ??? ??? 1 ???? ??? ? ? ? ? x AB ? y AC ? z AS ? ( BA ? AS ) ? ( AC ? AB ) 2 2 ??? 1 ???? 1 ??? ? ? ? ? AB ? AC ? AS 2 2 故 x+y+z=0. 15. k ? ?8 【解析】
试题分析:若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?设 AB ? ? BD 即 2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2 ?? ?? ? ?? ? ? 2e1 ? ? e1 由于 e1与e2不共线 可得: ?? ? ?? ? ke2 ? ?4? e2
故 ? ? 2, k ? ?8 考点:向量共线 点评:三点 共线问题转化为向量共线,两向量具有线性关系 b ? ? a 16. (Ⅰ) ? A ? 【解析】 试题分析: I)根据 m?n .可得 (

?

?

?
3

. (Ⅱ) b ?

4 2 。 3

3 sin A ? cos A ?1 ? 0 , 进 一 步 转 化 可 得

? 1 sin( A ? ) ? , 6 2
从而可求出 A 值. (II)再(I)的基础上可知在三角形 ABC 中,已知角 A,B,边 a,从而可利用正弦定理求 b. (Ⅰ) m ?

? 3, cos?? ? A? ?1? = ? 3,? cos A ?1?
= ?sin A,1? ??2 分

??1 分

? ?? ? ? n ? ? cos? ? A ?,1? ? ? ? ? ? ?2

∵ m ? n ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? 0 ∵ 0 ? A ? ? ,? ?

??4 分? sin? A ?

? ?

??

1 ?? 6? 2

??6 分

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ,? A ? ? , 6 6 6

??7 分? A ?

?
3

.??8 分

10

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(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

,a ? 2

, cos B ?

3 3
a b ? , ?? sin A sin B

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
10 分

1 6 ? 3 3

??9 分由正弦定理知:

a sin B =? ?b? sin A

2?

6 3 ?4 2 3 3 2

.? b ?

4 2 ??12 分 3

考点:向量的数量积的坐标表示,两角差的正弦公式, 给值求角,正弦定理. 点评: 掌握向量的数量积的坐标表示是解决此问题的突破口, 再利用两角差的正弦公式可求 得 A 角,然后还要知道正弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两边及一边的对角,二是 知道两角及一边. 17. (1) P ? Q ? ?? ?,3? ? ?4,??? . (2) 一个解集为 P ? Q 的不等式可以是 【解析】 (1)∵幂函数 y ? x c
2

x?3 ?0. x?4

?6c?8

在 ?0,??? 上是增函数, 3分 6分 8分

2 ∴ c ? 6c ? 8 ? 0 ,即 P ? ?? ?,2? ? ?4,??? ,

又不等式 x ? 1 ? x ? 4 ? c 对任意 x ? R 恒成立,∴ c ? 3 ,即 Q ? ?? ?,3? , ∴ P ? Q ? ?? ?,3? ? ?4,??? . (2)一个解集为 P ? Q 的不等式可以是

x?3 ?0. x?4

12 分

18.解:(1)函数 f1(x)= x -2 不属于集合 A.因为 f1(x)的值域是[-2,+∞),所以函数 f1(x)= x -2 不属于集合 A.f2(x)=4-6· ? ? (x≥0)在集合 A 中,因为:①函数

???x ???

f2(x)的定义域是[0,+∞);②f2(x)的值域是[-2,4);③函数 f2(x)在[0,+∞)上是增函 数. (2)∵f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=6· ? ? ? ?

? ? ? x? ? ? ? <0, ??? ? ??

∴不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)对任意的 x≥0 恒成立. 【解析】略

11

19. (1)错误!未找到引用源。; (2)5. 【解析】 试题分析:(1)把已知的等式变形为:

a 2sin A ,并利用正弦定理化简,根据 sinA 不 ? c 3

为 0,可得出 sinC 的值,由三角形为锐角三角形,得出 C 为锐角,利用特殊角的三角函数 值即可求出 C 的度数; ( 2 ) 由 面 积 公 式 求 得 ab=6 , 再 由 余 弦 定 理

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos? ? (a ? b)2 ? 2ab(1 ? cos? ) 求得 a+b 的值..
(1)依题意得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。????3 分 错误!未找到引用源。??????5 分 (2)错误!未找到引用源。?????7 分 错误!未找到引用源。 考点:正余弦定理在解三角形中的应用,面积公式。 点 评 : 解 决 好 本 小 题 的 关 键 是 掌 握 好 余 弦 定 理 的 变 形 形 式 , 如 :

c 2 ? a 2 ? b2 2 ?

ac b? s ? ( a 2b ? 2 a b? o ? ) (? 1

2 c o s ) a ( b ? ) a?. ? ( 1 ? ? b 2

cos

)

20. (1)见解析; (2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。。 【解析】 试题分析: (1)证明 GH∥平面 CDE,利用线面平行的判定定理,只需证明 HG∥CD; (2)证明 FA⊥平面 A BCD,求出 SABCD,即可求得四棱锥 F-ABCD 的体积. 考点:本试题主要考查了线面平行,考查四棱锥的体积,属于中档题 点评:解决该试题的关键是正确运用线面平行的判定。 解:∵错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。且错误! 未找到引用源。 ∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点--------2 分 又∵G 是 FD 的中点 ∴错误!未找到引用源。----------------------------------------4 分 ∵错误!未找到引用源。平面 CDE,错误!未找到引用源。平面 CDE ∴GH∥平面 CDE --------------------------------------------------6 分 (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD. --------------------------------------------8 ∵错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。 又∵错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ∴BD⊥CD----------------------------------------------------------10 分 ∴ 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ---------------------12 分

12


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