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第二章 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)

时间:2010-02-15


(人教 A 版《必修一》 )高考数学函数章节分类试题

第二章
一、选择题
1.设 f ( x) ? ?

基本初等函数、函数的应用测试

?2e x ?1 x?2 ? ,则不等式 f ( x) ? 2 的解集为 2 ?log 3 ( x ? 1) x ? 2 ?
(B) ( 10, ??) (C) (1, 2) ? ( 10, ??) (D) (1, 2)

(A) (1, 2) ? (3, ??)

2.设 P ? log 2 3 , Q ? log3 2 , R ? log 2 (log3 2) ,则 A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. Q ? R ? P D. R ? P ? Q

3.已知 0 ? a ? 1,log a m ? log a n ? 0 ,则 (A) 1 ? n ? m (B) 1 ? m ? n (C) m ? n ? 1 (D) n ? m ? 1

4.与方程 y ? e2 x ? 2e x ? 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y ? x 对称的曲线的方程为 A. y ? ln(1 ? x ) C. y ? ? ln(1 ? x ) B. y ? ln(1 ? x ) D. y ? ? ln(1 ? x )

5.已知函数 y ? e x 的图像与函数 y ? f (x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 (A) f (2 x) ? e 2 x ( x ? R) (C) f (2x) ? 2e x ( x ? R) (B) f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0) (D) f (2 x) ? ln x ? ln 2( x ? 0)

6.函数 y ? f ( x) 的图像与函数 g ( x) ? log2 x( x ? 0) 的图像关于原点对称,则 f ( x ) 的表达 式为 (A) f ( x) ?

1 ( x ? 0) log 2 x

(B) f ( x) ?

1 ( x ? 0) log 2 (? x)

(C) f ( x) ? ? log2 x( x ? 0) 7.已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

(D) f ( x) ? ? log2 (? x)( x ? 0)

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
(B) (0, )

1 3

(C) ( , )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

8.已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 则
2 2

(A)n<m<1 9.设 f ( x) ? lg

(B)m<n<1

(C)1<m<n

(D)1<n<m

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x A.( ? 4,0) ? (0,4) B.( ? 4, ? 1) ? (1,4) C.( ? 2, ? 1) ? (1,2) D.( ? 4, ? 2) ? (2,4)

10.已知 f ( x) ? ?

1 ?(3 ? a) x ? 4 a, x< , 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
B.( ? ? ,3) C. ? ,3 ?

A.(1,+ ? )

?3 ?5

? ?

D.(1,3)

11.已知集合 M ? {x | x ? 3}, N ? ?x | log2 x ? 1 ,则 M ? N ? ? (A) ? (B) ?x | 0 ? x ? 3? (C) ?x |1 ? x ? 3? (D) ?x | 2 ? x ? 3?

12.函数 y ? 1 ? a x (0 ? a ? 1) 的反函数的图象大致是

13. 设函数 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过点 (2,1) , 其反函数的图像过点 (2,8) , 则 a ? b 等于 A. 6 B. 5 C. 4 14.函数 y ? ln( x ? 1)( x ? 1) 的反函数是 (A) f ?1 ( x) ? e x ? 1( x ? R) (C) f ?1 ( x) ? e x ? 1( x ? 1)

D. 3 (B) f ?1 ( x) ? 10x ? 1( x ? R)

(D) f ?1 ( x) ? e x ? 1( x ? 1)

x 15. 已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象关于直线 y ? x 对称,

记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的 取值范围是 A. [2,??) 16.函数 y ? A. y ? C. y ? B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1)

1 2

1 2

D. (0, ]

1 2

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是 x 2 ? 2 x ( x ? 0) x 2 ? 2 x ( x ? 2)
B. y ? ? x2 ? 2 x ( x ? 0) D. y ? ? x2 ? 2 x

(x ? 2 )

17.设 函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f (2 x? 1)的 图像过点 ( 1 ,1) , 则 2

y ? f ?1 ( x) 的图像必过
1 1 (B) (1, ) (C) (1, 0) (D) (0,1) 2 2 18.函数 y ? ex?1 ( x ? R) 的反函数是 A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) B. y ? 1 ? ln x( x ? 0)
(A) ( ,1) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 19.函数 f ( x) ? A. (? , ??) 20.函数 y ? ? D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是

1 3

B. (? ,1)

1 3

C. (? , ) 的反函数是

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

? x ? x ,x ?0 ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ? ? ,x ?0 ? A.y ? ? 2 B.y ? ? C.y ? ? 2 D.y ? ? ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ? ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ? x ( x ? 1) 的反函数是 21.函数 y ? log 2 x ?1
(A) y ?

2x ( x ? 0) 2x ? 1

(B) y ?

2x ( x ? 0) 2x ? 1

2x ? 1 ( x ? 0) (C) y ? 2x
22. 函数 y ?

2x ? 1 ( x ? 0) (D) y ? 2x

x ( x ? ?1) 的反函数是 x ?1 x ( x ? 1) (A) y ? 1? x x ?1 ( x ? 0) (C) y ? x

(B) y ?

x ( x ? 1) x ?1 1? x ( x ? 0) (D) y ? x

23 .

. 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x)? l gx设

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c
24.函数 y ?

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

log2 x ? 2 的定义域是
B. [3,??) C. (4,??) D. [4,??)

A. (3,??)

25.函数 y ? ln x ? 1( x ? 0) 的反函数为 (A) y ? ex?1 ( x ? R) (C) y ? e x?1 ( x ? 1) (B) y ? ex?1 ( x ? R) (D) y ? e x?1 ( x ? 1)

y 4 2
y ? f ?1 ( x)

26.函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0, 2)(如图 2 所示) 则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上 , 的根是 x ? A.4

?1
B.3 C.2 D.1

O

3

x

图2 27.函数 f ( x) ? (A)190

? x ? n 的最小值为
n ?1

19

(B)171

(C)90

(D)45

二、填空题
1.不等式 log2 ( x ? 2.设 g ( x) ? ?

1 ? 6) ? 3 的解集为 x
则 g ( g ( )) ? __________。



? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

1 2

3.方程 log( x?1) ? 2 ? log( x?1) 的解为____________。 2 2 4.方程 log3 ( x2 ?10) ? 1 ? log3 x 的解是 。

5.设 a ? 0, a ?1 ,函数 f ( x) ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 有最小值,则不等式 log a ( x ? 1) ? 0 的解 集为 。
2

6.设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? alg( x

?2 x?3)

2 有最大值,则不等式 log a x ? 5 x ? 7 ? 0 的解

?

?

集为_______________________________。 7. 若函数 f (x) = a ( a >0, a ≠1) 且 的反函数的图像过点 (2, -1)则 a =_____________. , 8.设 f ( x) ? log3 ( x ? 6) 的反函数为 f
?1
x

( x) ,

? f ?1 (m) ? 6 ? ? ? f ?1 (n) ? 6 ? ? 27 ,则 f (m+n) ? _______________ ? ? ? ?
9.已知函数 f ( x) ? a ?

1 ,若 f(x)为奇函数,则 a=___________。 2 ?1
x

三、解答题
1. 已知函数 y ? x ?

数,在 ? a , ?? 上是增函数。

?

?

a 有如下性质:如果常数 a ? 0 ,那么该函数在 0, a ? 上是减函 ? x

?

(1) 如果函数 y ? x ?

2b ( x ? 0) 在 ? 0, 4? 上是减函数, ? 4, ??? 上是增函数, b 的值。 在 求 x

c (1 ? x ? 2) 的最大值和最小值; x c n (3)当 n 是正整数时,研究函数 g ( x) ? x ? n (c ? 0) 的单调性,并说明理由。 x
(2)设常数 c??1, 4? ,求函数 f ( x) ? x ?

2. 设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)

1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

选择题与填空题答案
一、选择题
1.C 8.D 15.D 22.A 2.A 9.B 16.D 23.D 3.A 10.D 17.C 24.D 4.A 11.D 18.D 25.B 5.D 12.A 19.B 26.C 6.D 13.C 20.C 27.C 7.C 14.A 21.A

二、填空题
} 1. (?3 ? 2 2 ,?3 ? 2 2 ) ? {1
5. (2, ??) 6. ? 2,3? 7. 2.

1 2
8.2

3. 5 9.

4.5

1 2

1 2

【解】 (1)由已知得 2b ? 4 , (2)∵c??1, 4? , 于是,当 x ?

∴ b ? 4。

∴ c ? ?1, 2?

c 时,函数 f ( x) ? x ?
c?2 , 2

c 取得最小值 2 c 。 x

f (1) ? f (2) ?

当 1≤c≤2 时,函数 f ( x ) 的最大值是 f (2) ? 2 ?

c ; 2

当 2≤c≤4 时,函数 f ( x ) 的最大值是 f (1) ? 1 ? c 。 (3)设 0 ? x1 ? x2 , g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x2 ?
n

c c c n ? x1n ? n ? ( x2 ? x1n )(1 ? n n ) n x2 x1 x1 x2
? ?

当 2n c ? x1 ? x2 时, g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,函数 g ( x) 在[ ? 2 n c , ?? ? 上是增函数; 当 ? ? x1 ? x2 ? 2n c , g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,函数 g(x)在 ?0, 2 n c ? 上是减函数。

?

?

当 n 是奇数时, g ( x) 是奇函数, 函数 g ( x) 在 ? ??, ? 2 n c ? 上是增函数,在 ? ?2 n c , 0? 上是减函数。

?

?

?

?

当 n 是偶数时, g ( x) 是偶函数。 函数 g(x)在 ? ??, ? 2 n c ? 上是减函数,在 ? ?2 n c , 0? 上是增函数.

?

?

?

?

【解】 【考点分析:本题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和 综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力】

(I)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 ∵ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2,4] ,且 t ? 0 ……① 由①得: 1 ? x ?
2

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] 。

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 。 2 2 2 1 2 (II)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2 1 1 2 ∵直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴, a 2
∴可分以下几种情况进行讨论: (1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a) ? m(2) ? a ? 2 ; a

(2)当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2; (3)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

1 2 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 2 1 1 1 2 1 ,? ] 时, g (a) ? m(? ) ? ?a ? , ? ( 2 ,2] 即 a ? (? a a 2a 2 2

若t ? ? 若t ? ?

1 1 ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a) ? m(2) ? a ? 2 。 a 2

? ? a?2 ? 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? 2a ? ? 2 ? ?
(III)当 a ? ? 当?

1 (a ? ? ) 2 2 1 , (? ? a ? ? )。 2 2 2 (a ? ? ) 2

1 3 时, g (a ) ? a ? 2 ? ? 2 ; 2 2

1 2 1 1 2 1 2 ? a ? ? 时, ? a ? [ , ),? ?( ,1] ,∴ ? a ? ? , 2a 2 2 2 2 2a 2

g (a) ? ?a ?

1 1 2 时, g (a ) ? 2 ; ? 2 (?a) ? (? ) ? 2 ,故当 a ? ? 2 2a 2a

1 1 1 ? 0 ,由 g (a) ? g ( ) 知: a ? 2 ? ? 2 ,故 a ? 1 ; a a a 1 1 1 当 a ? 0 时, a ? ? 1 ,故 a ? ?1 或 ? ?1 ,从而有 g (a) ? 2 或 g ( ) ? 2 , a a a
当 a ? 0 时, 要使 g (a ) ? g ( ) ,必须有 a ? ? 此时, g (a) ?

1 a

2 1 2 2 , ?? ,即 ? 2 ? a ? ? , 2 a 2 2

1 2 ? g( ) 。 a

2 1 综上所述,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 或 a ? 1。 a 2


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