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苏教版平面向量习题精选含答案详解

时间:2013-08-03


(2012 年兴化)如图, A, B, C 是直线 l 上三点, P 是直线 l 外一点, 若 AB ? BC ? a , ?APB ? 90 0 , ?BPC ? 45 0 , 则 PA ? PC = ▲ .(用 a 表示)

P

l
A B 第 13 题图 C

答案: ?

4 2

a 5

说明:本题有如下几种常见思路: 思路 1: PA, PB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系, A(m,0), (0, n) , C (?m,2n) 以 设 则 D 根据 AB ? BC ? a 可以求出 A, B 两点坐标(用 a 表示) P 思路 2:如图,设点 C 在直线 AP 上的射影为 D,则 ?PDC 为等腰直角三角形,PB 为 ?ADC 的中位线, 则 PC ?
A B C

2 PD ? 2 PA ,再在三角形 APC 中用余弦定理即可求出 PA, PC ;

或根据 2PB ? CD ? PB ? PA ,再在 ?APB 用勾股定理求出 PA ,进而求出 PC 。 本题也可作如下图的辅助线解决 (关键是要充分利用好中点条件和特殊角构造直角三角形) :

P

P D

A

B D

C

A

B

C

(苏锡常二模)已知点 P 在 ?ABC 所在平面内,若 2 PA ? 3PB ? 4 PC ? 3 AB ,则 ?PAB 与 ?PBC 的面积的比值为 .

4 答案: 5
(盐城二模)已知向量 a 的模为 2, 向量 e 为单位向量, 若 ?3 , 则向量 ▲ . a 与 e 的夹角大小为 答案:

? 3

(南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2 ▲ . 答案:0

法一 由 a ? a ? 1 b ? 5 得 a 2 ? 1 a ? b ? 5 ,即 5 ? 1 a ? b ? 5 ,所以 a ? b ? 0 ; 2 2 2 法二 由 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1)得 b = ( ?4 ,2),所以 a ? b ? 0 . 2 ( 苏 州 期 末 ) 在 等 边 三 角 形 ABC 中 , 点 P 在 线 段 AB 上 , 满 足 A P ? ? A B, 若

?

?

? ? ??

? ? ??

? ??? ? ? ?? ? ??? ? ??? C P? A B? P A P B ? ,则实数 ? 的值是___________.
答案: 1 ?

2 2

??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? (天一)9.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = ▲ .

答案:4

(南京三模)6.已知正△ABC 的边长为 1, CP ? 7CA ? 3CB , 则 CP ? AB = 答案: -2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?





( 江 苏 百 校 联 考 ) 11 . 在 ?ABC 中 , AB 边 上 的 中 线 CO ? 2 , 若 动 点 P 满 足

??? 1 2 ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? AP ? sin ? ? AB ? cos2 ? ? AC (? ? R) ,则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是 2
【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积. 【答案】 ?2 解答如下:





? ???? ???? ???? 1 2 ??? sin ? ? AB ? cos2 ? ? AC ? sin 2 ? ? AO ? cos 2 ? ? AC 且 sin 2 ? ,cos 2 ? ? [0,1] , 2 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? 所 以 点 P 在 线 段 OC 上 , 故 ( PA ? PB) ? PC ? 2 PO ? PC , 设 | PO |? t (t ? [0,2]) , 则 ??? ??? ??? ? ? ? ( PA ? PB) ? PC ? 2t (2 ? t ) ? (?1) ? 2t 2 ? 4t ,当 t ? 1 时取最小值 ?2
因为 AP ?

??? ?

(南师大信息卷)已知 ?ABO 三顶点的坐标为 A(1,0), B(0, 2), O(0,0), P( x, y) 是坐

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 标平面内一点,且满足 AP ? OA ? 0, BP ? OB ? 0 ,则 OP ? AB 的最小值为 3 .
??? ??? ? ? 提示:由已知得 AP ? OA ? ( x ? 1, y) ? (1, 0) ? x ? 1 ? 0 , ??? ??? ? ? 且 BP ? OB ? ( x, y ? 2) ? (0, 2) ? 2( y ? 2) ? 0 ,即 x ? 1 ,且 y ? 2 , ??? ??? ? ? 所以 OP ? AB ? ( x, y ) ? (?1, 2) ? ? x ? 2 y ? ?1 ? 4 ? 3 .

( 南 通 三 模 ) 已 知 单 位 向 量 a 、 b 的 夹 角 为 120o , 那 么 | 2a ? xb | ( x ? R) 的 最 小 值 是 ▲ .
2 2

?

?

?

?

解析:考查向量模的运算。常用 a ? a 这一特性;

2a ? xb ? 4a ? x 2 b ? 4 xab ? 4 ? x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 3 ,
答案: 3

2

2

2

( 无 锡 期 末 ) 设 点 O 是 ?ABC 的 三 边 中 垂 线 的 交 点 , 且 AC 2 ? 2 AC ? AB 2 ? 0 , 则

BC ? AO 的范围是



解析:本题考查向量的运算,二次函数在给定区间上的值域。 取 BC 的中点 D, 则 BC ? AO ? BC ? ( AD ? DO) ? BC ? AD ? ( AC ? AB) ?

??? ???? ?

??? ???? ???? ?

??? ???? ?

??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? 1 ( AB ? AC ) ? (b 2 ? c 2 ) , 2 2

又由已知知: b2 ? 2b ? c 2 ? 0 ,得 c2 ? ?b2 ? 2b ,且 0 ? b ? 2 ,

1 1 1 ? [? , 2) ,即 BC ? AO 的范围是 [? , 2) 。 4 4 4 1 (说明,消元时必须考虑相关参数的取值范围,否则易错为 [? , ??) ,前功尽弃) 4
∴ BC ? AO ? b2 ? b ? (b ? )2 ?

??? ???? ?

1 2

(南京市 2012 届高三 3 月第二次模拟考试) 在面积为 2 的 ?ABC 中,
E,F 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, PC ? PB ? BC 的最小值是______________ AC 点 则 【答案】 2 3 解法一:问题可转化为已知 ?PBC 的面积为 1,求 PC ? PB ? BC 的最小值。 设 ?PBC 中点 P, B, C 所对的边分别为 p, b, c , 由题设知 bc sin P ? 2 ,
2 2

??? ??? ??? 2 ? ? ? PC ? PB ? BC ? bc cos P ? (b 2 ? c 2 ? 2bc cos P ) ? b 2 ? c 2 ? bc cos P


? 2bc ? bc cos P ?

2(2 ? cos P) sin P

从而进一步转化为

2 ? cos P 的最小值。 (可数形结合,可用引入辅助角化一个三角函数的 sin P

形式,可用万能公式转化后换元等,下略) 解法二:建立坐标系,立即得目标函数。 由题设知, ?PBC 的面积为 1,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴,过点 B 与直线 BC 垂直的 直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 C (a, 0), P(t , )(a ? 0) , 则 PB ? (?t , ? ), PC ? (a ? t , ? ), ∴ PC ? PB ? BC ? ?t (a ? t ) ?

??? ?

? 2 ??? a

2 a

2 a

??? ??? ??? 2 ? ? ?

4 a 4 3a 2 ? a 2 ? (t ? ) 2 ? 2 ? ? 0?2 3 , a2 2 a 4

当且仅当 t ?

2 4 16 a ,a ? 时取等号,∴ PC ? PB ? BC 的最小值是 2 3 。 2 3

(南京二模)设向量 a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ 为锐角 (1)若 a· b=

13 ,求 sinθ+cosθ 的值; 6

(2)若 a//b,求 sin(2θ+

? )的值. 3

13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= 6 ,所以 sinθcosθ=6. 4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ=3. 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= 3 . (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 所以 sin2θ=2 sinθcosθ= 2 sinθcosθ 2 tanθ 4 =5, 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1

……………… 2 分

……………… 5 分 ……………… 7 分

cos2θ=cos2θ-sin2θ=

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 =-5.……………… 11 分 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1

π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . ……………… 14 分

( 江 苏 最 后 1 卷 ) 已 知 △ ABC 中 , ∠ A , ∠ B , ∠ C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

2a cos B ? c cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小;

(2)设向量 m ? (cos A,cos 2 A) , n ? (12, ?5) ,求当 m ? n 取最大值时, tan( A ?
2

??

?

?? ?

?
4

)的

值.
0

解: (1)由题意, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B
0

所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A .

7

0

1 ? 所以 cos B ? .因为 0 < B < p ,所以 B ? . 2 3 ?? ? (2)因为 m ? n ? 12cos A ? 5cos 2 A
?? ? 3 5

因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 .

3

1

6

所以 m ? n ? ?10cos 2 A ? 12cos A ? 5 ? ?10(cos A ? ) 2 ? 所以当 cos A ? 此时 sin A ?

?? ? 3 时, m ? n 取最大值 5

43 5

4 4 ? tan A ? 1 1 ( 0< A< p ) ,于是 tan A ? ,所以 tan( A ? ) ? ? 5 3 4 tan A ? 1 7 ? ? (2012 年常州期末) 已知 m 、x ? R ,向量 a ? ( x, ?m), b ? ((m ? 1) x, x) 。 当 m ? 0 时, (1)
若 | a |?| b | ,求 x 的取值范围; (2)若 a ? b ? 1 ? m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范 围。

?

?

? ?

18.(2012 年兴化)如图,点 P 是单位圆在第一象限 上的任意一点,点 A(?1,0) ,点 B(0,?1) , PA 与 y 轴 于 点 N , PB 与 x 轴 交 于 点 M , 设

y

P

N
A

O

M

x

B

PO ? x PM ? y PN , ( x, y ? R) , P(cos? , sin ? ) .
(1)求点 M 、点 N 的坐标, (用 ? 表示) ; (2)求 x ? y 的取值范围. 解: (1)因为 PA 与 y 轴交与于点 N ,可设 N (0, t ), 由 P 、 N 、 A 三点共线,设 AN ? ? AP , ? ? R ①

又 A(?1,0) , P(cos? , sin ? ) , 所以 AN ? (1, t ) , AP ? (cos? ? 1, sin ? ) ,代入 ①, 有

1 ? ? (cos? ? 1), t ? ? sin ? ,
因为点 P 是单位圆在第一象限上的任意一点,所以 cos? ? 0, sin? ? 0, 且 0 ? ? ?

?
2



sin ? sin ? ,此时 N (0, ), 1 ? cos? 1 ? cos? cos? 同理 M ( ,0) . 1 ? sin ?
所以 t ? 说明:可以用直线方程或比例等其他方法求解 (2)由(1)知 PO ? (? cos? ,? sin ? ) ,

…………………………4 分 …………………………7 分

cos? ? sin ? cos? PM ? ( ? cos? ,? sin ? ) ? ( ,? sin ? ) , 1 ? sin ? 1 ? sin ? sin ? ? sin ? cos? PN ? (? cos? , ? sin ? ) ? (? cos? , ), 1 ? cos? 1 ? cos?
代入 PO ? x PM ? y PN ,得:

………………9 分

? cos? ? ?

sin ? cos? x ? (? cos? ) y ,整理得 sin? ? x ? (1 ? sin? ) y ? 1 ? sin? 1 ? sin ? sin ? cos? ? sin ? ? ? sin ? ? x ? y , 整理得 (1 ? cos? ) x ? cos? ? y ? 1 ? cos? 1 ? cos?

② ③

②+③,解得:

x? y ?

2 ? sin ? ? cos? 1 ? 1? ? 1? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? ? cos?

1 1 ? 2 sin(? ?

?
4

,……12 分

)

由0 ?? ? 所以 1 ?

?
2

,知

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 , 2 4

2 sin(? ?

?
4

) ? (2,1 ? 2 ] ,

即 x ? y ? [1 ?

1 3 ,1 ? ) ,故 x ? y 的取值范围为 [ 2 , ) . 2 2 1? 2

1

………………15 分


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