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高一数学竞赛一


高一数学竞赛试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分. 以下每道小题均给出了代 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选 项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)
3 2 1.设 a ? 7 ? 1 ,则 3 a ? 12 a ? 6 a ? 12 ? (

)

/>
A.24.

B. 25.C. 4 7 ? 10 .D. 4 7 ? 12 .
(1 ? a )
2

2.已知 a ? b ? 2 , A.1.
2

b

?

(1 ? b ) a

2

? ?4

,则 ab 的值为 C. 2 .
? 1

(
1

)

B. ? 1 .

D. 2 .

( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4 .如图,菱形 ABCD 中, AB ? 3 , DF ? 1 , ? DAB ? 60 ? , ? EFG ? 15 ? , FG ? BC ,则 AE ? ( ) A. 1 ?
2.

3.方程 | x ? 1 |? ( 4 ? 2 3 )( x ? 2 ) 的解的个数为

D F

C

B. 6 .
G A E B

C. 2 3 ? 1 . D. 1 ? 3 . 5.在△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且 AB=7,AC =8,则 BC= ( )

A. 7 2 .B. 10 .C. 105 .D. 7 3 . 6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,以 BC 为直径在矩形内作半圆, 自点 A 作半圆的切线 AE,则 sin ? CBE= ( )
6

A

D

2

1

10
B

E

A. 3 .B. 3 .C. 3 .D. 10 . 7.设正方形 ABCD 的中心为点 O,在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成 的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( )
3 3 1 4

C

A. 14 .B. 7 .C. 2 .D. 7 . 8.将一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷出的点数为 b ,则使关于 x,y
? ax ? by ? 3, ? x ? 2y ? 2 的方程组 ? 只有正数解的概率为( 1 2 5 13

).

A. 12 B. 9 C. 18 D. 36 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)
2 9.已知 t 是实数,若 a , b 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? t ? 1 ? 0 的两个非
2 2 负实根,则 ( a ? 1)( b ? 1) 的最小值是___________.

10. 设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,作 DE//BC 交 AC 于点 E,作 DF//AC 交 BC 于点 F, 已知△ADE、 △DBF 的面积分别为 m 和 n , 则四边形 DECF 的面积为_____.
BC 11. 在△ABC 中, 已知 ? B ? 2 ? A , ? 2 , AB ? 2 ? 2 3 , ? A ? __________. 则

12.二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象的顶点为 D,与 x 轴正方向从左至右依次 交于 A,B 两点,与 y 轴正方向交于 C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形 (O 为坐标原点),则 b ? 2 c ? _________.
2

13.能使 2 ? 256 是完全平方数的正整数 n 的值为_____. 14.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过
n

C

点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交于点 F,如果 三、解答题(共 16 分)

DE ?

3 4

CE


A B E O

AC ? 8 5 ,D 为 EF 的中点,则 AB=_____________.

15.在平面直角坐标系 xO y 中,我们把横坐标为整数、纵坐
2 标为完全平方数的点称为 “好点” 求二次函数 y ? ( x ? 90) ? 4907 , 的图像上所有“好点”的坐标.

D

F

1.A 9.-3

2.B 3.C 10. 2 mn
2

答案 4.D 5.C
11. 15 12 .2
2 2

6.D
13.11

7.B

8.D

?

14. 24

15.解:设 y ? m , ( x ? 90) ? k ,m,k 都是非负整数,则
k ? m ? 7 ? 701 ? 1 ? 4907 ,
2 2

即 则有 解得

( k ? m )( k ? m ) ? 7 ? 701 ? 1 ? 4907 .
? k ? m ? 701, ? ? k ? m ? 7;
? k1 ? 354, ? ? m1 ? 347;

? k ? m ? 4907, ? ? k ? m ? 1.
? k 2 ? 2454, ? ? m 2 ? 2453.

所以 故“好点”共有 4 个,它们的坐标是:

? x3 ? 2544, ? x1 ? 444, ? x 2 ? ? 264, ? x 4 ? ? 2364, ? ? ? ? ? y1 ? 120409; ? y 2 ? 120409; ? y 3 ? 6017209; ? y 4 ? 6017209.

(444, 120409) , ( ? 264, 120409) , (2544, 6017209) , ( ? 2364, 6017209) .


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