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高一数学竞赛一

时间:2012-10-23


高一数学竞赛试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分. 以下每道小题均给出了代 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选 项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)
3 2 1.设 a ? 7 ? 1,则 3a ? 12a ? 6a ? 12 ? ( ) A.24. B. 25.C. 4 7

? 10 .D. 4 7 ? 12 .

(1 ? a) 2 (1 ? b) 2 ? ? ?4 a 2.已知 a ? b ? 2 , b ,则 ab 的值为 1 ? A.1. B. ? 1 . C. 2 .
3.方程 | x ? 1 |? (4 ? 2 3)(x ? 2) 的解的个数为
2

( ) 1 D. 2 .

( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4 .如图,菱形 ABCD 中, AB ? 3 , DF ? 1 , ?DAB ? 60? , ?EFG ? 15? , FG ? BC ,则 AE ? ( ) A. 1 ? 2 . B. 6 . C. 2 3 ? 1 . D. 1 ? 3 . 5.在△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且 AB=7,AC =8,则 BC= ( ) A. 7 2 .B. 10 .C. 105 .D. 7 3 .
A

D F

C

G E B

A

6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,以 BC 为直径在矩形内作半圆, 自点 A 作半圆的切线 AE,则 sin ? CBE= ( ) 2 1 6 10 A. 3 .B. 3 .C. 3 .D. 10 . 7.设正方形 ABCD 的中心为点 O,在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成 的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( ) 3 1 4 3 A. 14 .B. 7 .C. 2 .D. 7 . 8.将一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷出的点数为 b ,则使关于 x,y ?ax ? by ? 3, ? 的方程组 ? x ? 2 y ? 2 只有正数解的概率为( ). 1 2 5 13 A. 12 B. 9 C. 18 D. 36 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)
2 9.已知 t 是实数,若 a , b 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? t ? 1 ? 0 的两个非 2 2 负实根,则 (a ? 1)(b ?1) 的最小值是___________.

D

E

B

C

10. 设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,作 DE//BC 交 AC 于点 E,作 DF//AC 交 BC 于点 F, 已知△ADE、 △DBF 的面积分别为 m 和 n , 则四边形 DECF 的面积为_____. BC ? 2, AB ? 2 ? 2 3 , 11. 在△ABC 中, 已知 ?B ? 2?A , 则 ?A ? __________.
2 12.二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象的顶点为 D,与 x 轴正方向从左至右依次 交于 A,B 两点,与 y 轴正方向交于 C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形 (O 为坐标原点),则 b ? 2c ? _________. n 13.能使 2 ? 256是完全平方数的正整数 n 的值为_____.

14.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过 3 DE ? CE 4 点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交于点 F ,如果 , AC ? 8 5 ,D 为 EF 的中点,则 AB=_____________. 三、解答题(共 16 分) 15.在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横坐标为整数、纵坐 2 标为完全平方数的点称为 “好点” , 求二次函数 y ? ( x ? 90) ? 4907 的图像上所有“好点”的坐标.

C

A

B E O

D

F

答案 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.D ? 9.-3 10. 2 mn 11. 15 12 .2 13.11 14. 24 2 2 2 15.解:设 y ? m , ( x ? 90) ? k ,m,k 都是非负整数,则 即 则有 解得

k 2 ? m2 ? 7 ? 701 ? 1? 4907 , (k ? m)(k ? m) ? 7 ? 701 ? 1? 4907 .

?k ? m ? 701, ? ?k ? m ? 7;
?k1 ? 354, ? ?m1 ? 347;

?k ? m ? 4907, ? ?k ? m ? 1.
?k2 ? 2454, ? ?m2 ? 2453.

所以 故“好点”共有 4 个,它们的坐标是:

? x1 ? 444, ? x2 ? ?264, ? x3 ? 2544, ? x4 ? ?2364, ? ? ? ? ? y1 ? 120409; ? y2 ? 120409; ? y3 ? 6017209; ? y4 ? 6017209.

(444, 120409),(? 264, 120409),(2544, 6017209),(? 2364, 6017209).


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