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2014年第七届全国高中数学青年教师优秀课:函数与方程的思想课件(湖北武汉十一中苏敏)


武汉市第十一中学
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苏 敏

第一环节:回眸历史,感悟思想.

第一环节:回眸历史,感悟思想.

分析数据
1 GMm 2 ? ?1 ? e cos ? ? 2 r l
极坐标椭圆方程

开 普 勒 第 一 定 律

构造方程

方 程 的 思 想

预测未知

第一环节:回眸历史,感悟思想.

开 普 勒 第 二 定 律
对于每一个行星而言,太阳和行星的 联线在相等的时间内扫过相等的面积.

第一环节:回眸历史,感悟思想. 面积相等

找等量关系

S AB ? SCD
k V? R sin ?

列方程

方 程 的 思 想

解方程

第一环节:回眸历史,感悟思想.

S AB ? SCD
转化

k V? R sin ?
根据行星半径 计算运行速度

函 数 与 方 程 的 思 想

找V和R的关系

构造函数

解决问题

函 数 的 思 想

第一环节:回眸历史,感悟思想.

分析数据关系 行星运动的半径的三次方和它公转 周期的二次方为定值. 函数的思想 3 构造函数 ——开普勒第三定律 a

T

2

?k

解决问题

第一环节:回眸历史,感悟思想.

1 GMm ? ?1 ? e cos ? ? 2 r l
V?

2

k R sin ?

1 GMm ? ?1 ? e cos ? ? r l2

2

k V? R sin ?
a ? k 2 T
3

函 数 与 方 程 的 思 想

第二环节:回溯解法,提炼思想.

问题:已知实数a, b分别满足 a ? 3a ? 5a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5,
3 2 3 2

求a ? b的值.
方案一 方案二 方案三

第二环节:回溯解法,提炼思想.

a, b分别满足 +2 ?? ?? ? 问题:已知实数 ? +2=0 方程的思想
3

分析数量关系

a ? 3a ? 5a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5,
3 2 3 2

从问题的数量关系入手, 求a ? b的值. 运用数学语言将问题中 的条件转化为方程(组) 构造方程 问题,然后通过解方程 (组)或者通过方程的 令f ?性质去分析问题、转化 x ? ? x3 ? 2x+2 单调递增 解方程 f ? a ? 1? ? f ?1 ? b ? 问题,从而使问题获解 .
? a ? 1 ? 1 ? b, ?a ? b ? 2

第二环节:回溯解法,提炼思想.
3 令f问题:已知实数 x ? x ? 2 x ? 2 a, b分别满足 ? ?

用运动和变化的观点来分 析和研究问题中的数量关 用运动变化的 系,并用函数的形式把这 观点研究问题 化静为动 种数量关系表示出来,再 利用函数的性质和图像去 3 令f ? x ? ? x ? 2x+2 单调递增 用函数的性质 分析问题,转化问题,从 用运动变化的 f ? a ? 1? ? f ?1 ? b ? 解决问题 而使问题获解。 观点研究问题
? a ? 1 ? 1 ? b, ?a ? b ? 2

函数的思想 3 2 3 2 f? ?5 0 a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5, ? ?a a 3? a1? ? ?构造函数 ? f 1 ? b ? 0 ? ? ? ? 求a ? b的值.

第二环节:回溯解法,提炼思想.

问题:已知实数a, b分别满足
相互转化 3 2

a ? 3a ? 5a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5, 求a ? b的值.
方程问题 函数问题

函数与方程的关系 3 2

函数与方程是相互联系 不可分割的,涉及这两 个方面的问题可以相互 转化.许多方程问题常 常可以运用函数思想去 3 解决,而不少函数问题 令f ? x ? ? x ? 2x+2 单调递增 f ? a ? 1? ? f ?1 ? b ? 又往往须转化为方程来 . 1 ? b, ?求解 a ?1 ? ?a ? b ? 2

第二环节:回溯解法,提炼思想.
函数与方程的思想
函数的思想
用运动和变化的观点来 分析和研究问题中的数 量关系,并用函数的形 式把这种数量关系表示 出来,再利用函数的性 质和图像去分析问题, 转化问题,从而使问题 获解。

方程的思想
从问题的数量关系入 手,运用数学语言将问 题中的条件转化为方程 (组)问题,然后通过 解方程(组)或者通过 方程的性质去分析问题、 转化问题,从而使问题 获解.

函数与方程的关系
函数与方程是相互联系 不可分割的,涉及这两 个方面的问题可以相互 转化.许多方程问题常常 可以运用函数思想去解 决,而不少函数问题又 往往须转化为方程 来求解.

第二环节:回溯解法,提炼思想.

问题:已知实数a, b分别满足 a ? 3a ? 5a
3 2 3 2 构造函数 ? 1和b ? 3b

求a ? b的值.

函 ? 5b ? 5, 数 运用奇偶性 的 思 想

第二环节:回溯解法,提炼思想.

问题:已知实数a, b分别满足 构造函数 a ? 3a ? 5a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5, 函
3 2 3 2

求a ? b的值.

对称中心

数 的 思 想

第二环节:回溯解法,提炼思想.

第二环节:回溯解法,提炼思想.

问题:已知实数a, b分别满足 构造函数 a ? 3a ? 5a ? 1和b ? 3b ? 5b ? 5, 函
3 2 3 2

求a ? b的值.

对称中心

数 的 思 想

第三环节:回味总结,体验思想.
问题1:找出其中哪些地方用到了函 数与方程的思想?

问题2:题中哪些关键信息会诱发我 们想到利用函数与方程的思想解题?
问题3:运用函数与方程的思想解决 问题的常见类型和基本步骤?

第三环节:回味总结,体验思想.
4. ? 2012年湖北理科高考19题改编? 如图(1),?ACB=45 , BC ? 3, 过点A作AD ? BC , 垂足D在线段BC上且异于点B, 连接AB,沿AD将?ABD折起,使?BDC=90 (如图(2) 所示).当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大?
3

x 3 2 V ? x? ? ? x ? x 6 2
求最大值
(1) (2)

第三环节:回味总结,体验思想.

1.证明下列不等式:e ? x.
x

f ? x? ? e ? x
x
求最小值

第三环节:回味总结,体验思想.
2.当a为何值时方程 lg ? 3 ? x ? ? lg ? x ? 1? ? lg ? a ? x ? 有两解?

f ? x ? ? ? x +5x ? 3
2

函数图像

第三环节:回味总结,体验思想.
3.等差数列的前n项和为Sn , 且S p ? S q

? p ? q, p, q ? N ? , 求S p? q .

Sn ? an ?bn
2

函数图像

第三环节:回味总结,体验思想.
x a 2 5.已知函数f ? x ? ? ? ? x ? 2 x ? a ? R ?, 3 2 1? ? 若过点 ? 0,- ? 可作函数y ? f ? x ?图象的 3? ? 三条不同切线,求实数a的取值范围.
3

第三环节:回味总结,体验思想.
x2 y2 6 6.椭圆C: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ?的离心率为 ,短轴一个 a b 3 端点到右焦点的距离为 3. ?1? 求椭圆C的方程;

? 2 ? 设存在斜率的直线l和椭圆C交于A、B两点,坐标原点
3 O到直线l的距离为 ,求?A0B面积的最大值. 2

第三环节:回味总结,体验思想.

f ? x? ? e ? x
x

f ? x ? ? ? x +5x ? 3
2

求最小值

函数图像

Sn ? an ?bn
2

x 3 2 V ? x? ? ? x ? x 6 2
求最大值

3

函数图像

第三环节:回味总结,体验思想.
……
求取值 范围 方程的根 分布

运动和变 化的过程

函数与 方程的 思想

函数
求参数 的值

求变量的 最值

第四环节:回顾经验,分享思想.

以回首访谈总结成果

……
立体几何 数列

函数与 方程的 思想

函数与方程 的思想广泛 与数学的各 个模块.

解析几何

导数

第五环节:回首探讨,总结思想

方程思想 分析数量关系 构造方程
解方程

函数思想

步骤

分析数量关系 意识 构造函数
解决问题
建模

解模

第五环节:回首探讨,总结思想
运用函数与方程思想解题基本流程

意识

建模

解模

第五环节:回首探讨,总结思想

变量等式常相依, 函数方程本一体。 隔裂分家失价值, 相互结合显威力。

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