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高中数学 (1.1 指数与指数幂的运算 第1课时)示范教案 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象 的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系 ,从而让学生体会建立和研究一个函数模 型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意

义,通过具体实 x 例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握 f(x)=a 的符号 及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象 ,探索并理解指数函数的有关性质 (单调性、值域、特别点),通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理 解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对 数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用 ;通过具体函数, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握 f(x)=logax 的符 号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型 ;能借助计算器或计算机画出具体对数函数 x 的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);知道指数函数 y=a 与 -1 对数函数 y=logax 互为反函数 (a>0,a≠1) ,初步了解反函数的概念和 f (x)的意义;通过实
1

例了解幂函数的概念,结合五种具体函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x 2 的图象,了解它们的变化 情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、 图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数 图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本 方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思 想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望 .教学中要充分发挥课本的这些材料的作用 ,并尽 可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将 它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联 ,渗透了类 比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用 .教材对反函数的学习要求仅限于初步的 知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习 ,教学中不宜对其定义 做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且 安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计 算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用 ,教师要 尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的 教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需 14 课时,具体分配如下(仅供参考) 2.1 2.2 2.3 指数函数 对数函数 幂函数 本章复习 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质 .从本节开始我们将在回 顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的 n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进
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2

3

-1

约 6 课时 约 6 课时 约 1 课时 约 1 课时

而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数 幂. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增 长问题和碳 14 的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生 感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的 同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类 比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的 图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教 学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分 数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、 抽象类比的能 力. 2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治 学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. 3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计 算能力. 4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察, 进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理指数幂性质进行化简、求值. 教学难点: (1)分数指数幂及根式概念的理解. (2)有理指数幂性质的灵活应用. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 指数与指数幂的运算(1) 导入新课 思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化 ,又怎样判断 它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问 题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题: 指数函数——指数与指数幂的运算. 思路 2.同学们,我们在初中学习了平方根、 立方根,那么有没有四次方根、 五次方根?n 次方 根呢?答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

2

(2)如 x =a,x =a,x =a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 活动: 教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、 立方根是如何定义的,对照类 比平方根、 立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、 推广,相互交流讨论后 回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出 n 次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果: 2 (1)若 x =a,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4 的平方根为 3 ±2,负数没有平方根,同理,若 x =a,则 x 叫做 a 的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8 的立方根为-2. (2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于 a,则这个数叫 a 的四次方根.一个数的 五次方等于 a,则这个数叫 a 的五次方根.一个数的六次方等于 a,则这个数叫 a 的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a,则这个数叫 a 的 n 次方根. n (4)用一个式子表达是,若 x =a,则 x 叫 a 的 n 次方根. 教师板书 n 次方根的意义: n * 一般地,如果 x =a,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n-throot),其中 n>1 且 n∈N . 可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例. 提出问题 (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗?(多媒体显示以下题目). ①4 的平方根;②±8 的立方根;③16 的 4 次方根;④32 的 5 次方根;⑤-32 的 5 次方根; 6 ⑥0 的 7 次方根;⑦a 的立方根. (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特 6 点?4,±8,16,-32,32,0,a 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一个的,也有 两个的,你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 活动: 教师提示学生切实紧扣 n 次方根的概念,求一个数 a 的 n 次方根,就是求出的那个数的 n 次方等于 a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问 题(2)中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的 学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果: (1)因为±2 的平方等于 4,±2 的立方等于 8,±2 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方等于 32,-2 2 6 的 5 次方等于-32,0 的 7 次方等于 0,a 的立方等于 a ,所以 4 的平方根,±8 的立方根,16 的 6 4 次 方 根 ,32 的 5 次 方 根 ,-32 的 5 次 方 根 ,0 的 7 次 方 根 ,a 的 立 方 根 分 别 是 2 ±2,±2,±2,2,-2,0,a . (2)方根的指数是 2,3,4,5,7?特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和 零. (3)一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反数.0 的任何 次方根都是 0. (4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的 偶次方是一个负数. 类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到 n 次方根的性质: ①当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如果是负数,

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负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成± n a (a>0). ②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根 用符号 n a 表示. ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示: a 为正数: ?
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个为 a , n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个为? a .

a 为负数: ?

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个为n a , ?n为偶数, a的n次方根不存在. ?

零的 n 次方根为零,记为 n 0 =0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是 n 次方根的性质的特例. 思考根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动:教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的 任何次方根,这样才不重不漏 ,同时巡视学生,随机给出一个数 ,我们写出它的平方根,立方 根,4 次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答:答案不唯一,比如,64 的立方根是 4,16 的四次方根为±2,-27 的 5 次方根为 5 ? 27 , 而-27 的 4 次方根不存在等.其中 5 ? 27 也表示方根,它类似于 n a 的形式,现在我们给式子
n

a 一个名称——根式.

根式的概念: 式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. 如 3 ? 27 中,3 叫根指数,-27 叫被开方数. 思考
n

a n 表示 an 的 n 次方根,等式 n a n =a 一定成立吗?如果不一定成立,那么 n a n 等于什么?

活动:教师让学生注意讨论 n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点 拨,注意归纳整理.
3 4 〔如 3 ( ?3) = 3 ? 27 =-3, 4 ( ?8) =|-8|=8〕.

解答:根据 n 次方根的意义,可得:( n a ) =a.
n

通过探究得到:n 为奇数, a =a. n 为偶数, a =|a|= ?
n n

n

n

a ? 0, ?a , ?? a, a ? 0.
4

因此我们得到 n 次方根的运算性质: ①( n a ) =a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.
n

②n 为奇数, a =a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数. n 为偶数, a =|a|=a, ? 值. 应用示例 思路 1 例 1 求下列各式的值:
3 2 4 2 (1) 3 ( ?8) ;(2) ( ?10 ) ;(3) 4 (3 ? ? ) ;(4) ( a ? b) (a>b).

n

n

n

n

a ? 0, ?a , 先偶次乘方,再开方(同次),结果为被开方数的绝对 ?? a, a ? 0.

活动: 求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键 是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓 住学生在解题过程中出现的问题并对症下药 .求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方 根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是 奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.
3 解:(1) 3 ( ?8) =-8; 2 (2) ( ?10 ) =10; 4 (3) 4 (3 ? ? ) =π -3; 2 (4) ( a ? b) =a-b(a>b).

点评:不注意 n 的奇偶性对式子 a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理 解的基础上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练 求出下列各式的值:
7 (1) 7 ( ?2) ; 3 (2) 3 (3a ? 3) (a≤1); 4 (3) 4 (3a ? 3) . 7 解:(1) 7 ( ?2) =-2, 3 (2) 3 (3a ? 3) (a≤1)=3a-3,

n

n

4 (3) 4 (3a ? 3) = ?

?3a ? 3, a ? 1, ?3 ? 3a, a ? 1.
5

点评:本题易错的是第(3)题,往往忽视 a 与 1 大小的讨论,造成错解. 思路 2 例 1 下列各式中正确的是( )
4 (1) a =a;
2 (2) 6 ( ?2) = 3 ? 2 ;

4

(3)a =1; (4) 10 ( 2 ? 1) = ( 2 ? 1) .
5

0

活动:教师提示,这是一道选择题,本题考查 n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意 义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运 算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.
4 解:(1) a =a,考查 n 次方根的运算性质,当 n 为偶数时,应先写 a =|a|,故本题错.
2 (2) 6 ( ?2) = 3 ? 2 ,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结 2 论为 6 ( ?2) = 3 2 ,故本题错.

4

n

n

(3)a =1 是有条件的,即 a≠0,故本题也错. (4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4). 点评: 本题由于考查 n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会 有,因此解题时千万要细心. 例 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =_________ 活动: 让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内 容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关 键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方 公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思 路. 解: 3 ? 2 2 = 1 ? 2 2 ? ( 2 ) = (1 ?
2

0

2 ) 2 = 2 +1.

3 ? 2 2 = ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 1 = ( 2 ? 1) 2 = 2 -1.
所以 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =2 2 . 点评: 不难看出 3 ? 2 2 与 3 ? 2 2 形式上有些特点,即是对称根式,是

A ? 2 B 形式

的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考 上面的例 2 还有别的解法吗? 活动:教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子 的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消. 同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得

6

另一种解法. 另解:利用整体思想,x= 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 ,
2 两边平方得 x =3+2 2 +3-2 2 +2( 3 ? 2 2 )( 3 ? 2 2 )=6+2 3 ? ( 2 2 ) =6+2=8,所

2

2

以 x=2 2 . 点评:对双重二次根式,特别是

A ? 2 B 形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式 A ? 2 B ? A ? 2 B 的式子,我们可以

子化成一个完全平方式 ,问题迎刃而解,另外对

把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练 若 a - 2a ? 1 =a-1,求 a 的取值范围.
2
2 解:因为 a - 2a ? 1 =a-1,而 a - 2a ? 1 = ( a ? 1) =|a-1|=a-1,

2

2

即 a-1≥0, 所以 a≥1. 点评:利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 知能训练 (教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的 n 次方根是一个正数 B.负数的 n 次方根是一个负数 C.0 的任何次方根都是零 D.a 的 n 次方根用 n a 表示(以上 n>1 且 n∈N ).
*

答案:C 2.化简下列各式:
2 6 3 2 4 (1) 6 64 ;(2) 4 ( ?3) ;(3) x ;(4) 6 x y ;(5) (x - y) .

8

答案:(1)2;(2) 9 ;(3)x ;(4)|x|
2

y ;(5)|x-y|.

3.计算 7 ? 解: 7 ?
2

40 ? 7 ? 40 =__________. 40 ? 7 ? 40
2 2 2

= ( 5) ? 2 5 ? 2 ? ( 2) ? ( 5) ? 2 5 ? 2 ? ( 2) = ( 5?

2)2 ? ( 5 ? 2)2

= 5+ 2+ 5- ?2

7

=2 5 . 答案:2 5 拓展提升 问题: a =a 与( n a ) =a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.
n

n

n

活动: 组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣 n 次方根的定 义. 通过归纳,得出问题结果,对 a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对 a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答:①( n a ) =a(n>1,n∈N).
n

如果 x =a (n>1,且 n∈N) 有意义,则无论 n 是奇数或偶数,x= n a 一定是它的一个 n 次方根,
n

所以( n a ) =a 恒成立.
n

3 例如: ( 4 3 ) =3, (3 ? 5 ) =-5.
4

② a =?

n

n

?a, 当n为奇数, ?| a |, 当n为偶数.
n n

当 n 为奇数时,a∈R, a =a 恒成立.
5 5 5 例如: 2 =2, 5 ( ?2) =-2.

当 n 为偶数时,a∈R,a ≥0, a 表示正的 n 次方根或 0,所以如果 a≥0,那么 a =a.例如
n

n

n

n

n

4

3 4 =3,

4

0 =0;如果 a<0,那么 n a n =|a|=-a,如 (-3) 2 = 3 2 =3.
n

即( n a na) =a(n>1,n∈N)是恒等式, a =a(n>1,n∈N)是有条件的. 点评:实质上是对 n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. 课堂小结 学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. 1.如果 x =a,那么 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N .用式子 n a 表示,式子 n a 叫根式,
n *

n

n

其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. (1)当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如果是负 数,负的 n 次方根用- n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成± n a (a>0). (2)n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根 用符号 n a 表示.
8

(3)负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是零. 2.掌握两个公式:n 为奇数时,( n a ) =a,n 为偶数时, a =|a|= ?
n

n

n

a ? 0, ?a , ?? a, a ? 0.

作业 课本 P59 习题 2.1A 组 1. 补充作业: 1.化简下列各式:
4 (1) 6 81 ;(2) 15 ? 32 ;(3) x ;(4) a b . 8 6 2 4 6 4 3 2

解:(1) 6 81 = 3 = 3 = 3 9 ; (2) 15 ? 32 = ?
8
15

25 = ? 3 2 ;
2

2 4 4 (3) x = 4 ( x ) =x ; 2 2 2 (4) a b = 6 (| a | ?b ) = 3 | a | ?b .

6

2

4

2 2 2.若 5<a<8,则式子 (a ? 5) ? (a ? 8) 的值为__________. 2 2 分析:因为 5<a<8,所以 (a ? 5) ? (a ? 8) =a-5-8+a=2a-13.

答案:2a-13. 3. 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =__________. 分析:对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此 提示我们想办法去掉一层根式,
2 不难看出 5 ? 2 6 = (3 ? 2) = 3 + 2 . 2 同理 5 ? 2 6 = (3 ? 2) = 3 - 2 .所以 5 ? 2 6 + 5 ? 2 6 =2 3 .

答案:2 3 设计感想 学生已经学习了数的平方根和立方根 ,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根 式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式 n a 的讲解要分 n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分 a>0,a<0,a=0 三种情况,并结合具 体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解, 所以需要用多媒体信息技术服务教学.

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