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高二年级期末考试数学试卷(理科)


山东省潍坊市 2013-2014 学年上学期高二年级期末考试数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 命题“ ?x ? R, e x ? x 2 ”的否定是( A. ?x ? R ,使得 ex ? x2 ) B. ?x ? R ,使得 ex ? x2

/>10. 已知 x>0,y>0,且 x ? y ? xy ? 2 ,则 x y 的最大值为( A. 1 ? 3 B.



C. ?x ? R ,使得 e x ? x2 D. 不存在 x ? R ,使得 e x ? x2 2. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的逆否命题是( ) 2 2 A. 若 x≠3,则 x -2x-3≠0 B. 若 x=3,则 x -2x-3≠0 C. 若 x2-2x-3≠0,则 x≠3 D. 若 x2-2x-3≠0,则 x=3 3. 过点 M (?2,0) 的直线 l 与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P 设线段 P 若直线 l 1 , P2 两点, 1P 2 的中点为 P , 的斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1k 2 等于( ) 1 1 A. ? 2 B. 2 C. D. ? 2 2 1 4. 公比为 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4 a6 ? 16 ,则 a7 ? ( 2 A.

C. 4 ? 2 3 D. 4 ? 2 3 3 ?1 an a a 1 ? 1 ? n ,则 an ? ( ) 11. 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ? 3 ? 2 3 n 2 1 1 1 n A. 1 ? n B. n ?3 C. n D. n 2 2 2 2 2 2 x y 12. 已知 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)右支上一点, F 1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦 a b 2 点,I 为△P F S?IF1F2 成立,则该双曲线的离心率为( ) 1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2 A. 4 B. 2 C. 2 D. 2 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn,若 S14>0,S15<0,则当 n 为 14. 已知双曲线 时,Sn 取最大值。



1 2

B. 1

C. 2

D. 4

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等 a 2 b2


于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为

5. 已知正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC 1 所成角的正弦值为 ( )

3 3 6. 以下四个命题中,正确的是:(
A. B. A.

2 3

C. )

2 3

D.

1 3

15. 小明以每分钟 20 6 米的速度向东行走,他在 A 处看到一电视塔 B 在北偏东 30°,行走 1 小时后,到达 C 处,看到这个电视塔在北偏西 15 °,则此时小明与电视塔的距离为 米。 16. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b 的最小值为 0,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为(t,t+4),则实数 c 的值为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤。 17. (12 分)如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AB ? AC ,
2 2

?a ? b?c ? a ? b ? c

B. ?ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 C. a ? (1,?1,3) 与向量 b ? (?3,3,?6) 平行。 D.若 a, b, c 为空间的一个基底,则 a ? b, b ? c, c ? a 构成空间的另一个基底。 7. 在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 若 2a cos A. 直角三角形 8. 已知数列 an ? A. B. 等腰三角形 C. 等边三角形
2

? ?

?

?

B ? a?c, 则△ABC 的形状为 ( 2
D. 等腰直角三角形 )



AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点。 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的余弦值。

1

9 19 ?x ? y ? 0 y?2 ? 9. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 (a为常数) 表示平面区域的面积为 9,则 的最 x?4 ?x ? a ?
C. D. 小值为( ) A. -1 B.

20 21

4n 2 ? 1 18 B. 19

(n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 10 项和为(

10 21

2 7

C.

1 7

D. -

5 7

18. (12 分)已知 m ? R ,设命题 p:关于 x 的不等式 m x ? (1 ? m) x ? (m ?1) ? 0 ,对任意实数
2

x 都成立;命题 q:直线 y ? 2 x ? m 与抛物线 y ? 4 x 有两个不同的交点。若命题“ ? p ? q ”为真
2

1

命题,求 m 的取值范围。

(I)求函数 f ( x ) 的最小值; (II)若不等式 f ( x) ?

t ? 7 恒成立,求实数 t 的取值范围。 t ?1

19. (12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3cos A (I)若 a ? c ? b ? mbc ,求实数 m 的值;
2 2 2

(II)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值。

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F2 (2, a 2 b2 0)与 x 轴垂直的直线交椭圆于点 M,且 MF2 ? 3 。
22. (14 分) 如图,已知 F 1 、 F2 分别是椭圆 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P(0,1),问是否存在直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B,且 AB 的垂直平分线 恰好经过 P 点?若存在,求出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由。 20. (12 分)设 ?an ? 是递增等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 ,且 S2 , a4 +1, S4 成等比数 列,数列 ?bn ? 满足 an ? 2log3 bn ? 1(n ? N? ) 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

an (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn bn

21. (12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

9 ( x ? 3) x ?3

2


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