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2018版高中数学第一章算法初步1.1算法的含义学案

时间:2018-01-14


1.1

算法的含义

1.通过实例体会算法的思想,了解算法的含义.(重点) 2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程.(重点、难点) 3.了解算法的主要特点.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 1 算法的概念 阅读教材 P5“例 1”以上部分及 P6“练习”上面一段,完成下列问题. 1.算法的概念 对于一类问题的机械的和统一的求解方法称为算法. 2.算法的范围 (1)我们过去学习的许多数学公式都是算法,加、减、乘、除运算法则以及多项式的运 算法则也是算法. (2)算法是解决问题的步骤与过程,这个问题不仅仅限于数学问题.

判断正误: (1)“从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达”是算法.( 1 (2)“利用公式 S= ah 计算底为 1,高为 2 的三角形的面积”是算法.( 2 1 (3)“ x>2x+4”是算法.( 2 ) ) )

【解析】 (1)√.表示了从济南到巴黎的步骤,故是算法. (2)√.表示了求三角形面积的过程,故是算法. (3)×.没有体现出解决问题的过程与步骤,故不是算法. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×

教材整理 2 算法的特征 阅读教材 P5~P6 倒数第二段,完成下列问题. 1.有限性:一个算法的步骤是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. 2.确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行,可以得到确定的结果,
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而不是模棱两可. 3.不唯一性:求解某一个问题的算法不一定是唯一的,可以有不同的算法,当然这些 算法有繁简之分、优劣之别. 4.普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决.

判断正误: (1)求解某类问题的算法是唯一的.( (2)算法一定在有限个步骤后就能完成.( (3)算法执行后必产生确定的结果.( ) ) )

【解析】 (1)×.由算法的不唯一性,知(1)不正确. (2)√.由算法的有穷性,知(2)正确. (3)√.由算法的确定性,知(3)正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√

[小组合作型] 算法的概念

(1)下列对算法的理解正确的是________.(填上所有正确说法的序号) ①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题); ②算法要求是一步步执行,每一步都能得到唯一的结果; ③算法一般是机械的,有时要进行大量重复计算,它的优点是一种通法; ④任何问题都可以用算法来解决. (2)给出下列叙述: ①发电子邮件:先打开电子信箱,点击写邮件,输入发送地址,输入信件内容,然后点 击发送; ②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、求解; ③方程 x -1=0 有两个根; ④求 1+2+3+4 的值,先算 1+2=3,再计算 3+3=6,6+4=10,最终结果为 10. 其中是算法的是________.(写出所有是算法的叙述的序号) 【精彩点拨】 (1) 审题 → 结合算法的特征 → 得出结论
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(2) 审题 → 验证是否符合算法的概念 → 得出结论 【自主解答】 (1)由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题,所以并不是任何问 1 1 1 1 题都可以用算法解决.例如求 1+ + + +?+ +?,故④不正确. 2 3 4 n (2)算法强调的是解决一类问题的方法和步骤,选项③只陈述了有两个根的事实,没有 解决如何求两个根的问题,所以不能看成算法. 【答案】 (1)①②③ (2)①②④

1.判断是不是算法时,关键是正确理解算法的概念,看是否是解决问题的过程与步骤. 2.注意算法的特征:有限性、确定性、不唯一性、普遍性.

[再练一题] 1.给出下列四种叙述,其中是算法的是________.(填序号) ①学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适 当的练习题; ②今天餐厅的饭真好吃; ③这道数学题难做; ④方程 2x -x+1=0 无实数根. 【解析】 ①是学习数学的一个步骤,所以是算法. 【答案】 ① 算法的设计 已知直线 l1:3x-y+12=0 和 l2:3x+2y-6=0,求 l1,l2,y 轴围成的三角 形的面积.写出解决本题的一个算法. 【精彩点拨】 解此题可按以下思路: (1)求出 l1,l2 的交点坐标;(2)求 l1,l2 与 y 轴的交点的纵坐标,即得到三角形的底; (3)求三角形的高,根据面积公式求面积.
? ?3x-y+12=0, 【自主解答】 第一步 解方程组? ?3x+2y-6=0 ?
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得 l1,l2 的交点 P(-2,6);

第二步 在方程 3x-y+12=0 中令 x=0 得 y=12,从而得到 A(0,12); 第三步 在方程 3x+2y-6=0 中令 x=0 得 y=3,得到 B(0,3); 第四步 求出△ABP 底边 AB 的长|AB|=12-3=9; 第五步 求出△ABP 的底边 AB 上的高 h=2; 1 第六步 代入三角形的面积计算公式 S= |AB|·h; 2
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第七步 输出结果.

设计一个与数学有关的问题的算法,通常按以下步骤: ?1?分析题意,找出解决此题的一般数学方法; ?2?借助有关变量或参数对算法加以表述; ?3?将解决问题的过程划分为若干步骤; ?4?用简练的语言将这个步骤表示出来.

[再练一题] 2.设计一个算法,求底面边长为 4 2,侧棱长为 5 的正四棱锥的体积. 【解】 第一步 取 a=4 2,l=5; 第二步 计算 R= 2· ; 2 第三步 计算 h= l -R ; 第四步 计算 S=a ; 1 第五步 计算 V= Sh; 3 第六步 输出运算结果.
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[探究共研型] 算法的应用 探究 1 在计算 S=1+2+3+?+100+?时,能不能设计算法来求解? 【提示】 不能用算法来求解.因为算法的设计要求步骤是可行的,并且在有限步之内 就能完成任务,而这一求和是无限求和,故无法设计算法求解. 探究 2 已知直角三角形的两条直角边分别为 a, b, 能否设计一个求该三角形周长的算 法?如何设计?
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【提示】 能设计一个算法来求三角形的周长. 具体如下: 第一步: 计算斜边 c= a +b ; 第二步:计算周长 l=a+b+c;第三步:输出 l. 某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费,计算方法是:3 人或 3 人以下的 住房,每月收取 5 元; 超过 3 人的住户,每超出 1 人加收 1.2 元.设计一个算法,根据输入的人数,计算应收 取的卫生费. 【精彩点拨】 设出变量 → 转化为分段函数问题 →

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根据设计算法的规则求解 → 答案 【自主解答】 设某户有 x 人,根据题意,应收取的卫生费 y 是 x 的分段函数,
? x≤3, ?5, 即 y=? ? ?1.2x+1.4, x>3.

算法如下: 第一步 输入人数 x; 第二步 如果 x≤3,则 y=5, 如果 x>3,则 y=1.2x+1.4; 第三步 输出应收卫生费 y.

解决用设计算法的方法解决应用性问题时, 首先应建立起相应模型, 然后根据模型完成 算法,解题时要注意每步需用简练的语言来表述.

[再练一题] 3.给出下列算法: 第一步 输入 x 的值; 第二步 当 x>4 时,计算 y=x+2;否则执行下一步; 第三步 计算 y= 4-x; 第四步 输出 y. 当输入 x=0 时,输出 y=________. 【解析】 由于 x=0>4 不成立,故 y= 4-x=2. 【答案】 2

1.下列不是算法的是________.(填上所有正确的序号)

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①解方程 2x-6=0 的过程是移项和系数化为 1; ②从济南到温哥华要先乘火车到北京,再转乘飞机; ③解方程 2x +x-1=0; ④利用公式 S=π r 计算半径为 3 的圆的面积. 【解析】 ①②④中给出了解决问题的过程与步骤,是算法;③中没有给出解方程的步 骤,故不是算法. 【答案】 ③ 2.计算下列各式中 S 的值,能设计算法求解的是________.(填上所有正确的序号) 1 1 1 1 ①S= + + +?+ 100; 2 4 8 2 1 1 1 1 ②S= + + +?+ 100+?; 2 4 8 2 1 1 1 1 * ③S= + + +?+ n(n≥1 且 n∈N ). 2 4 8 2 【解析】 因为算法的步骤是有限的,所以②不能设计算法求解. 【答案】 ①③ 3.已知直角三角形两直角边长为 a,b,求斜边长 c 的一个算法分下列三步: ①计算 c= a +b ; ②输入直角三角形两直角边长 a,b 的值; ③输出斜边长 c 的值. 其中正确的顺序是________.(填序号) 【解析】 算法的步骤是有先后顺序的,第一步是输入,最后一步是输出,中间的步骤 是赋值、计算. 【答案】 ②①③ 4.写出解方程 2x+3=0 的一个算法过程. 第一步 ______________________________________________________; 第二步 ______________________________________________________. 【答案】 将常数项 3 移到方程右边得 2x=-3 3 在方程两边同时除以 2,得 x=- 2 5.某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为 c=
?0.53ω , ω ≤50, ? ? ?50×0.53+?ω -50?×0.85, ω >50. ?
2 2 2 2

其中 ω (单位:kg)为行李的重量,如何设计计算费用 c(单位:元)的算法. 【解】 算法步骤如下:
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第一步 输入行李的重量 ω ; 第二步 如果 ω ≤50,那么 c=0.53ω ; 如果 ω >50,那么 c=50×0.53+(ω -50)×0.85; 第三步 输出运费 c.

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