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条件概率试题


2.2.1
【学习要求】 1.理解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法.

条件概率

3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体,先从古典概型出发求条件 概率, 然后再进行推广; 计算条件概率可利用公式 P(B|A)= P?AB? P?A?

也可以利

用缩小样本空间的观点计算. 1.条件概率的概念 设 A, B 为两个事件, 且 P(A)>0, 称 P(B|A)= 生的条件下,事件 件下 发生的概率. 2.条件概率的性质 (1)P(B|A)∈ . 为在事件 发 发生的条

发生的条件概率.P(B|A)读作

(2)如果 B 与 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)= .

[一点通]

求条件概率一般有两种方法:

一是对于古典概型类题目,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B|A) n?AB? = ,其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数,n(A)表示事件 A 包含 n?A? 的基本事件个数. 二是直接根据定义计算,P(B|A)= [例 1] P?AB? ,特别要注意 P(AB)的求法. P?A?

一只口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球,那么: (1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? [思路点拨] 先摸出 1 个白球后放回或不放回,影响到后面取到

白球的概率,应注意两个事件同时发生的概率的不同. [精解详析] (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸出 1 个白

球”为事件 B,则“先后两次摸到白球”为 AB,先摸 1 球不放回,再摸 1 球共 有 4×3 种结果. ∴P(A)= 2×3 1 2×1 1 = ,P(AB)= = . 4×3 2 4×3 6 P?AB? 1 = . P?A? 3

∴P(B|A)=

(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1,“再摸出 1 个白球”为事件 B1, 两次都摸到白球为事件 A1B1. 2×4 1 2×2 1 ∴P(A1)= = ,P(A1B1)= = . 4×4 2 4×4 4 1 P?A1B1? 4 1 ∴P(B1|A1)= = = . P?A1? 1 2 2 1 故先摸 1 个白球不放回, 再摸出 1 个白球的概率为 ; 先摸 1 个白球后放回, 3 1 再摸出 1 个白球的概率为 . 2 1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能 结果为 Ω={1,2,3,4,5,6},记事件 A={2,3,5},B= {1,2,4,5,6},则 P(A|B)=

(

) 1 A. 2 1 B. 5 C. 2 5 D. 3 5

1 5 1 P?AB? 3 2 解析:P(B)= ,P(A∩B)= ,P(A|B)= = = 6 3 P?B? 5 5 6 1 1 2.已知 P(A|B)= ,P(B)= ,则 P(AB)=________. 2 3 解析:∵P(A|B)= P?AB? , P?B?

1 1 1 ∴P(AB)=P(A|B)P(B)= × = . 2 3 6 3.甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记 录,知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下 雨的比例为 12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B,由题意,得 P(A) =0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)= P?AB? 0.12 = ≈0.67. P?B? 0.18

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)= P?AB? 0.12 = =0.60. 0.2 P?A?

探究点一 条件概率 问题 1 3 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 3 名同学无放回地抽取,问最后

一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小? 1 答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为3,不比其他同学小.

问题 2

如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券, 那么最后一名同学抽到中奖奖

券的概率是多少? 1 答 按照古典概型的计算公式,此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为2. 小结 已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率, 这 就是条件概率. 例1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,

求:(1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率. 解 设“第 1 次抽到理科题”为事件 A, “第 2 次抽到理科题”为事件 B, 则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”就是事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A2 5=20.
1 根据分步乘法计数原理,n(A)=A1 3×A4=12.

于是 P(A)=

n?A? 12 3 = = . n?Ω? 20 5

(2)因为 n(AB)=A2 3=6, 所以 P(AB)= n?AB? 6 3 =20=10. n?Ω?

(3)方法一

由(1)(2)可得, 在“第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理科题”

3 P?AB? 10 1 的概率为 P(B|A)= = 3 =2. P?A? 5 方法二 因为 n(AB)=6,n(A)=12, 所以 P(B|A)= n?AB? 6 1 = = . n?A? 12 2

小结 利用 P(B|A)=

n?AB? 解答问题的关键在于明确 B 中的基本事件 n?A?

空间已经发生了质的变化,即在 A 事件必然发生的前提下,B 事件包 含的样本点数即为事件 AB 包含的样本点数. 跟踪训练 1 一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球,每次从中不放回地 任取 1 个,连取两次,求第一次取到白球的条件下,第二次取到黑球 的概率.
解 方法一 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到黑球”为事件 B. 6×4 4 =15. 10×9

显然,事件“第一次取到白球,第二次取到黑球”的概率为 P(AB)= 4 P?AB? 15 4 由条件概率的计算公式,得 P(B|A)= = 6 =9. P?A? 10

方法二

这个问题还可以这样理解:第一次取到白球,则只剩 9 个球,其中 5

4 个白球,4 个黑球,在这个前提下,第二次取到黑球的概率当然是9.

探究点二 问题

条件概率的性质及应用

条件概率满足哪些性质?



条件概率具有一般概率的性质,即对 P(B|A) 来说有:

①0≤P(B|A)≤1;②如果 B,C 为互斥事件,则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A).
例2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某

人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率. 解 设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则 A=A1∪( A1 A2)表示“不超过

2 次就按对密码”. (1)因为事件 A1 与事件 A1 A2 互斥,由概率的加法公式得 9×1 1 1 P(A)=P(A1)+P( A1 A2)=10+ = . 10×9 5 (2)用 B 表示“最后一位按偶数”的事件,则 1 4×1 2 P(A|B)=P(A1|B)+P( A1 A2|B)=5+ = . 5×4 5 小结 本题条件多, 所设事件多, 要分清楚事件之间的关系及谁是条件,

同时利用公式 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使有些条件概率的计算较 为简捷,但应注意这个性质在“B 与 C 互斥”这一前提下才成立. 跟踪训练 2 在某次考试中,从 20 道题中随机抽取 6 道题,若考生至少能答对

其中的 4 道即可通过;若至少能答对其中 5 道就获得优秀.已知某考生能答对 其中 10 道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对 事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题,另一道答错”, 事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题,另两道答错”, 事件 D 为“该考生在这次考试中通过”, 事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”, 则 A、B、C 两两互斥,且 D=A∪B∪C,

由古典概型的概率公式及加法公式可知
5 4 C6 C1 C2 10 C10· 10 C10· 10 12 180 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =C6 + C6 + C6 = C6 20 20 20 20

∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B), ∴P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D) = C6 C5 C1 10 10· 10 C6 C6 13 20 20 =12 180+ 12 180 =58 C6 C6 20 20 P?A? P?B? + P?D? P?D?

.
13 58

所以他获得优秀成绩的概率是

1.某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8,能活到 25 岁的概率为 0.4,现有一只 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁的概率是________.

解析 设事件 A 为“能活到 20 岁”, 事件 B 为“能活到 25 岁”, 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4,而所求概率为 P(B|A),由于 B?A,故 AB=B,于是 P(B|A)= P?B? 0.4 = =0.5,所以一只 20 岁的这种动物能活到 25 岁的概率是 0.5. P?A? 0.8 2.1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事 P?AB? = P?A?

件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于() 1 A.8 解析 1 B.4 2 C.5 1 D.2

2 C2 C2 1 3+C2 2 2 P(A)= = ,P(AB)= 2= , 2 C5 5 C5 10

P(B|A)=

P?AB? 1 = . P?A? 4

3.某人一周晚上值班 2 次,在已知他周日一定值班的条件下,则他在周六晚值

班的概率为________. 解析 设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六值班” C1 1 P?AB? 1 6 则 P(A)= 2,P(AB)= 2,故 P(B|A)= = . C7 C7 P?A? 6 4.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某家有男孩,求这家有两个男孩的概率; 若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩 (相当于第二个也是男孩)的概 率.(假定生男生女为等可能)



Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.

设 B=“有男孩”,则 B={(男,男),(男,女),(女,男)}. A=“有两个男孩”,则 A={(男,男)}, B1=“第一个是男孩”,则 B1={(男,男),(男,女)} 3 1 于是得 P(B)=4,P(BA)=P(A)=4,

∴P(A|B)=

P?BA? 1 = ; P?B? 3

1 1 P(B1)=2,P(B1A)=P(A)=4, ∴P(A|B1)= P?B1A? 1 = . P?B1? 2 P?AB? n?AB? = . P?A? n?A?

1.条件概率:P(B|A)=

2.概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系:P(AB)表示在样本空间 Ω 中,计算 AB 发生的概率,而 P(B|A)表示在缩小的样本空间 ΩA 中,计算 B 发生的概 率. 用古典概型公式, 则 P(B|A)= AB中样本点数 AB中样本点数 , P(AB)= . ΩA中样本点数 Ω中样本点数

方法 规律

小结

1.计算条件概率要明确: (1)准确理解条件概率的概念:条件概率中的两个事件是互相影响的, 其结果受两个条件的概率的制约; (2)要正确求出条件概率,必须首先弄清楚“事件 A 发生”“事件 A 发生 并且事件 B 也发生”“事件 B 在事件 A 发生的条件下发生”的概率之间的关系.

2.互斥事件、对立事件、相互独立事 件的区别与联系.
名称 互斥 事件 对立 事件 区别 定义 事件个数 联系 在一次试验中不能同两个或两个 时发生的事件 以上

独立 事件

①两事件互斥,但 不一定对立;反之 在一次试验中不能同 一定成立;②两事 时 发 生 但 必 有 一 个 发 两个 件独立,则不一定 生的事件 互斥(或对立); ③两 事件互斥(或对立), 一个事件的发生与否 两 个 或 两 个 则不相互独立 对另一个事件发生的 以上 概率没有影响


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