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05.函数的奇偶性


5.函数的奇偶性
学考要求 1.理解函数的奇偶性. 2.会判断函数的奇偶性. 知识要点 一、函数的奇偶性. 1. f ( x) 的定义域关于原点对称; 2.若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 为奇函数; 若 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 为偶函数. 3.奇函数图象关于原点对称; 偶函数图象关于 y 轴对称. 4.性质:若

奇函数的定义域包括 0,必有 f (0) ? 0 .

二、常见的奇偶函数. 1.常见奇函数:①奇次幂:如 y ? x , y ? 2 x , y ? x ;
3 ?1

②奇次根:如 y ? 3 x ; ③正弦函数: y ? sin x ; ④正切函数: y ? tan x . 2.常见偶函数:①偶次幂: y ? x ;
2

②常函数: y ? 3 , y ? 4 ; ③余弦函数: y ? cos x . 3.组合函数的奇偶性: ①偶函数与偶函数的和、差、积、商,还是偶函数; ②奇函数与奇函数的和、差,还是奇函数; ③奇函数与奇函数的积、商,是偶函数; ④奇函数与偶函数的积、商,是奇函数. ( 偶 ? 偶 ? 偶 , 偶? 偶 ? 偶 ) (奇 ?奇 ? 奇 ) ( 奇?奇 ? 偶 ) ( 奇?偶 ? 奇 )

2 2 4 2 ⑤ y ? f (| x |) 和 y ? f ( x ) 都是偶函数. 如 y ? x ? | x | ?2 , y ? x ? x ? 1 .

例题分析 1.常见函数的奇偶性. 例 1:下列函数中,是偶函数的是( A. f ( x) ? x B. f ( x ) ? )
2

1 x

C. f ( x) ? x

D. f ( x) ? sin x

2.证明函数的奇偶性. 例 2:判断函数 f ( x ) ?

3x 的奇偶性,并证明. x ?3
2

方法:1.强调“函数 f ( x) 的定义域关于原点对称” ; 2.求 f (? x) ; 3.判断:若“ f (? x) ? ? f ( x) ” ,则“ f ( x) 为奇函数” ; 若“ f (? x) ? f ( x) ” ,则“ f ( x) 为偶函数”. 巩固练习 1.下列函数是奇函数的是( A. y ? cos x B. y ? x
3

) C. y ? e ) C. y ?
x

D. y ? ln x

2.下列函数是奇函数的是( A. y ?| x | B. y ? 3 ? x

1 x

D. y ? ? x ? 4
2

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0,??) 上单调递增的函数是( A. y ? ?



1 x

B. y ? cos x

C. y ? ? x ? 3
2

D. y ? e

| x|

4.函数 f ( x) ? x ? sin x , x ? R A.是奇函数,但不是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数
3 5. f ( x ) ? x ?



) B.是偶函数,但不是奇函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数

1 的图象关于( x
B. y 轴对称

) C.直线 y ? x 对称 D.直线 y ? ?x 对称

A.原点对称

6.若 f ( x) 是奇函数,且 f (2) ? 2 ,则 f (?2) ? _____________.
2 7.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f (?2) ? _______.

8.若 f ( x) ? ax ? 2(a ?1) x ? (a ? 3) 是偶函数,则 a ? _________.
2

9.若 f ( x) ? ax ? 1 在区间 [3 ? a,5] 是偶函数,则 a ? __________.
2

10.已知函数 f ( x) ? a ?

1 为奇函数,则 a ? __________. 2 ?1
x


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