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2015-2016学年海南省文昌中学高一下学期期末考试数学试题


2015—2016 学年度第二学期

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高一年级数学科期考试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。考生 作答时,将答案写在答题页上,在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
最符合题目要求的。 ) 1.设 a<b<0,下列不等式一定成立的是( A.a2<ab<b2 B.b2<ab<a2 ) B.{x|-2<x<1} D.{x|x<-1 或 x>2} ) 6 D. 3 ) ) C.a2<b2<ab D.ab<b2<a2

2.不等式 x( x ? 1) ? 2 的解集为( A.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2 或 x>1}

3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB 等于( 2 2 A.- 3 2 2 B. 3 6 C.- 3

4.在 ?ABC 中,若 sin 2A ? sin 2B ? sin 2C ? 3 sin B sin C ,则 A 的取值范围是( B. [ , ? ) C. (0, ] 3 6 6 2 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -2n,则 a2+a18=( ) A. (0,
]

?

?

?

D. [

?
3

,? )

A.36 比为( A.3 )

B.35

C.34

D.33

6.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1,S2+a2,S3 成等差数列,则数列{an}的公 1 C..2

B.2

D.1

7.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离, 测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105° ,∠BCA=45° .就可以计算出 A,B 两点的距离为( A.50 2 m B.50 3 C.25 2 D. 25 2 2 m m m ) )

8. 已知函数 f(x)=ax2-x-c, 不等式 f(x)>0 的解集为{x|-2<x<1}, 则函数 y=f(-x)的图象为 (



1第

A

B

C

D

? x? y?0 ? 9.已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 Z ? x ? 3 y ? m 的最小值为 6,则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ) m?(
A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 的 n 的最大值为( A.11 ) B.12

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn ? 0 a10

C.19 ) 1 B.最小值64 D.最小值 64
2 2

D. 20

2 8 11.若 x>0,y>0,且x +y =1,则 xy 有( A.最大值 64 1 C.最小值2

n 12.在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 1 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an 等于(

2



A. 2 ? 1
n

?

?

2

?2 B.

n

? 1? 3

2
n C. 4 ? 1

D.

4n ?1 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
x+2y-5≤0, 13.若实数 x,y 满足条件 2x+y-4≤0, x≥0, y≥1, 14.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 到 C 的距离为 2 km, B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A、B 两船的距离为 3 km,则 B 到 C 的距离为________km. 15.不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
页 2第

则目标函数 z=2x-y 的最大值为

.

16.已知数列{xn}满足 xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若 x1=1,x2=a(a≤1 且 a≠0),则数列{xn}的前 2 016 项的和 S2 016 为 .

三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
17.(本小题满分 10 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 2 , S6 ? 15 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c. 已知 a ? c ? = 6sinC. (Ⅰ)求 cosA 的值; π (Ⅱ)求 cos?2A-6?的值.

6 b ,sinB 6

?

?

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 2 2,求 b,c. 已知

21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? 2 n , 数 列 {bn } 满 足 b1 ? ?1 ,

bn?1 ? bn ? (2n ? 1)

(n ? 1,2,3?) .

(Ⅰ)求数列 {an } 和数列 {bn } 的通项 an 和 bn ; (Ⅱ)若 cn

?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n
3第



22.(本小题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的 面积最小?并求出最小值.



4第

2015—2016 学年度第二学期

高一年级数学科期考试题参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 D

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 2 14. ( 6-1) 15. (2,+∞) 16. 1344

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答要写出文字说明、证明过程或推演步骤。 )
17. 解: (Ⅰ)因为数列 {an } 是等差数列,设其公差为 d ,

?a1 ? 2d ? 2 , ? a ? 0, 由题设可得 ? 解得 ? 1 d ? 15, ? d ? 1, ?6a1 ? 1 5
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ) an ? n ? 1 ,所以 bn ? 2n?1 , 可知数列 {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 因此 Tn ?
b1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 . 1? q 1? 2

b c 18. 解:(1)在△ ABC 中,由sinB=sinC,及 sinB= 6sinC,可得 b= 6c. 6 又由 a-c= 6 b,有 a=2c. b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以,cosA= 2bc = =4. 2 6c2
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6 10 (2)在△ ABC 中,由 cosA= 4 ,可得 sinA= 4 . 1 15 于是,cos2A=2cos2A-1=-4,sin2A=2sinA· cosA= 4 . 15- 3 π π π 所以,cos?2A-6?=cos2A· cos6+sin2A· sin6= . 8 ? ?
页 5第

19. 解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0, ∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2<x<4, ∴不等式 g(x)<0 的解集为{x|-2<x<4}. (2)∵f(x)=x2-2x-8. 当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立, ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即 x2-4x+7≥m(x-1). ∴对一切 x>2,均有不等式 而 x2-4x+7 ≥m 成立. x-1

x2-4x+7 4 =(x-1)+ -2 x-1 x-1 ≥2 4 ?x-1?× -2=2(当且仅当 x=3 时等号成立), x-1

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2]. 20.解: (1)∵3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC, ∴3cosBcosC-3sinBsinC=-1, ∴3cos(B+C)=-1, 1 1 ∴cos(π-A)=-3,∴cosA=3. 2 2 1 (2)由(1)得 sinA= 3 ,由面积公式2bcsinA=2 2可得 bc=6 根据余弦定理得 b2+c2-a2 b2+c2-9 1 cosA= 2bc = =3, 12 则 b2+c2=13 21. 解: (Ⅰ)∵ S n ? 2 n , ②, ①,②两式联立可得 b=2,c=3,或 b=3,c=2. ①,

∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) .

23

∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) . 当 n ? 1 时, 2 ∴ an ? ?
1?1



? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,

?2 (n ? 1),
n ?1 ?2 (n ? 2).



∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 3, b4 ? b3 ? 5, 以上各式相加得:

b ? bn?1 ? 2n ? 3 , … n



bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 3?


? n ? 1??1 ? 2n ? 3? ? ?
2
6第



? n ? 1?

2





? b1 ? ?1?bn ? n2 ? 2n
(Ⅱ)由题意得 cc ?? ? nn ?

? ? 2 2 (n ( n? ?1), 1) , ? ?
?1 ?1 (( n n? ?2) 2? ? ) 2 nn 2 (n n? (?2). 2 ) . ? ?

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 22 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2

= 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n ,
∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n

22.解: (1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则 AN=(x+2)米. ∵

3( x ? 2) 3( x ? 2) 2 DN DC = ,∴AM= ,∴SAMPN=AN· AM= , AN AM x x

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3( x ? 2) 2 由 SAMPN>32,得 >32. x
2 又 x>0,得 3x2-20x+12>0,解得:0<x<3 或 x>6, 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+∞). 3 (2)矩形花坛 AMPN 的面积为
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3( x ? 2) 2 3x2+12x+12 y= = x x
12 =3x+ x +12≥2 12 3x·x +12=24,

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,取得最小值 24. x 故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.



7第


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