nbhkdz.com冰点文库

第9课等比数列的概念和通项公式(教、学案)


第 9 课时等比数列的概念和通项公式
【学习导航】

知识网络

学习要求
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念, 2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公 式的方法, 3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价

】 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q≠0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

王新敞
奎屯

新疆

注:1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q { an }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 3? q= 1 时,{an}为常数列. 2.等比数列的通项公式 ① an ? a1 ? qn?1 (a1 ? q ? 0) ② an ? am ? qn?m (a1 ? q ? 0) 3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项的定义:如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.且 G ? ac 5.证明数列 {an } 为等比数列:
2

①定义:证明

an ?1 =常数, an
2

②中项性质: an ?1 ? an an ? 2或

an?1 an? 2 ; ? an an?1

【精典范例】 【例 1】判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1; (2)0,1,2,4,8; (3)1, ?

1 1 1 1 , ,? , . 8 16 2 4

【解】 (1)所给数列是首项为1,公比为1的等比数列. (2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列. (3)所给数列是首项为1,公比为 ?

1 的等比数列. 2

【例 2】求出下列等比数列中的未知项: (1)2,a,8;

1

(2)-4,b,c, 【解】 (1) 根据题意,得

1 . 2

所以a=4或a=-4. (2) 根据题意,得

解得

所以b=2,c=-1. 【例 3】在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=-2,求a6; (2)已知a3=20,a6=160,求an. 【解】 (1)由等比数列的通项公式,得 (2)设等比数列的公比为q,那么

所以 【例 4】在 243 和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列. 【解】设插入的三个数为 a 2 , a3 , a 4 ,由题意知 243, a 2 , a3 , a 4 ,3 成等比数列. 设公比为q,则

因此,所求三个数为81,27,9, 或-81,27,-9.

追踪训练一
1. 求下列等比数列的公比、第5项和第n项: (1)2,6,18,54,?; (2)7,

14 28 56 , , , ?; 27 3 9
, 5 2c ?1 , 53c?1 , ? .

(3)0.3,-0.09,0.027,-0.0081,?; (4)5, 5 c ?1 【答案】

(1) q ? 3, a5 ? 162, an ? 2 ? 3n?1 (2) q ?

2 112 2 , a5 ? , an ? 7 ? ( ) n?1 3 81 3

2

(3) q ? ?0.3, a5 ? 0.00243, an ? (?1) n?1 ? 0.3n (4) q ? 5c , a5 ? 5 4c ?! , an ? 5 nc ?c?1 2. 数列 m,m,m,?m, ( C ) A. 一定是等比数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.一定是等差数列不一定是等比数列 D.既不是等差数列,又不是等比数列 3.已知数列{an}是公比 q≠±1 的等比数列,则在{an+an+1},{an+1-an},{ 数列中,是等比数列的有(C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

an }{nan}这四个 a n ?1

D.4 个

【选修延伸】
【例 5】成等差数列的三个正数之和为 15,若这三个数分别加上 1,3,9 后又成等比数列, 求这三个数. 【解】设这三个数分别为 a ? d , a, a ? d

(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 15 解得 a ? 5

?这三个数为 5 ? d ,5,5 ? d
故由题意又可得 (5 ? 3)2 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) 解得 d ? 2或d ? ?10(舍去)

?这三个数为 3,5,7 【例 6】已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试用定义证明{an}是等比数列.
【证明】 由 lgan=3n+5,得 an=103n+5

a n ?1 103( n ?1)?5 =1000 ? an 103n ?5

∴数列{an}是公比为 1000 的等比数列. 【点评】 若{an}是等差数列,bn=ban 可以证明数列{bn}为等比数列,反之若{an}为 等比数列且 an>0,则可证明{lgan}为等差数列.

追踪训练二
1.在等比数列{an}中,a3·a4·a5=3,a6·a7·a8=24,则 a9·a10·a11 的值等于(D A.48 B.72 C.144 D.192 )

9 1 2 ,末项为 ,公比为 ,则项数 n 等于___4___. 8 3 3 a ? a3 ? a5 ? a 7 1 3.已知等比数列{an}的公比 q=- ,则 1 =___-3___. 3 a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8
2.在等比数列中,已知首项为 4.已知数列{an}为等比数列, (1)若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25, 求 a3+a5. (2)a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 【解】 (1)由已知 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25 知 a12q4+2a12q6+a12q8=25 即 a12q4(1+q2)2=25 ∴a1q2(1+q2)=5 因此 a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=5

3

2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 7 (2)由已知 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8 知 ? 3 3 ? ?a1 q ? 8

?a (1 ? q ? q 2 ) ? 7 即? 1 ?a1 q ? 2

① ② ①÷②得

1? q ? q2 7 ? 即 2q2-5q+2=0 q 2

q=2

或 q=

1 2
-1

当 q=2 时,a1=1 ∴an=2n

当 q=

1 - 时,a1=4 ∴an=23 n 2

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

4


第9课等比数列的概念和通项公式(教、学案)

第9课等比数列的概念和通项公式(教学案)_数学_高中教育_教育专区。第 9 课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】 知识网络 学习要求 1.体会等比数列是用来...

第9课等比数列的概念和通项公式 1教案学案

第9课等比数列的概念和通项公式 1教案学案_数学_高中教育_教育专区。2.3 等比数列 第 1 课时 【学习导航】 (1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,...

第11课时等比数列的概念和通项公式(教、学案)

第11课时等比数列的概念和通项公式(教学案)_高三数学_数学_高中教育_教育...是成等比数列的五个正整数,则 z 的值等于( A ) A.54 B.27 C.9 D.3...

第9课等比数列的概念和通项公式

第9课等比数列的概念和通项公式_数学_高中教育_教育专区。2.3 等比数列 第 1 课时【学习导航】 (2)0,1,2,4,8; 听课随笔 1 1 1 1 (3)1, ? ,, ...

第9课等比数列的概念和通项公式

第9课等比数列的概念和通项公式_数学_高中教育_教育专区。第 9 课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】 (2)0,1,2,4,8;(3)1, ? 听课随笔 知识网络 ...

高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第9课等比数列的概念和通项公式(教师版)

高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第9课等比数列的概念和通项公式(教师版)_数学_高中教育_教育专区。第 9 课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】...

第10课时等比数列的概念和通项公式(教、学案)

第10课时等比数列的概念和通项公式(教学案)_数学_高中教育_教育专区。第 10...9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1 2.如图,在边长为1的等边三角形...

第9课时 等比数列的概念和通项公式

第9课时 等比数列的概念和通项公式_数学_高中教育_教育专区。第 9 课时 等比数列的概念和通 项公式【分层训练】 1.在数列 {an } 中,对任意 n ? N ? ,...

第10课时等比数列的概念和通项公式 2教案学案

第10课时等比数列的概念和通项公式 2教案学案_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时 【学习导航】 形的边长和周长. 知识网络 【解】 学习要求 1.进一步体会等比...