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二次函数与最值问题专题讲座


第四讲
一、考点梳理

二次函数与最值问题专题讲座

考点 1:二次函数的解析式 一般式:y=ax2+bx+c 顶点式:y=a(x+k)2+h 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) 考点 2:二次函数的图象:抛物线 考点 3 二次函数的性质:二次函数图像的开口方向;顶点坐标;对称轴方程;最值.

二、题型透视


(一) 、填空题
1、 (2010 丽水)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设 CD 的长为 x,四边形 ABCD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系式是( ) A、 y ?

A D

2 2 4 2 4 2 B x C、 y ? x D、 y ? x 5 5 25 2(2010 南充)抛物线 y ? a( x ? 1)(x ? 3)(a ? 0) 的对称轴是( ) A、x=1 B、x= ? 1 C、x= ? 3 D、x=3

2 2 x 25

B、 y ?

C

3、 (2010 荆州)若把函数 y=x 的图象用 E(x,x)记,函数 y=2x+1 的图象用 E(x, 2x+1)记,??则 E(x, x ? 2 x ? 1 )可以由 E(x, x )怎样平移得到?( A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
2 2



4、 (2010 咸宁)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( a <0)过 A( ?2 ,0) 、O(0,0) 、 B( ?3 , y1 ) 、C(3, y2 )四点,则 y1 与 y2 的大小关系是 A. y1 > y2 B. y1 ? y2
2

C. y1 < y2

D.不能确定 )

5 (2010 襄樊) 若函数 y ? ? A.± 6 B.4

? x ? 2  ≤ ( x 2)

?2 x (x>2) C.± 6 或 4

, 则当函数值 y=8 时, 自变量 x 的值是 ( D.4 或- 6

2 6、 (2010 东营) 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图形如图所示, 则一次函数 y ? bx ? ac 与

y?

a?b?c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y y y



y

y

-1

?

0 1

?

x

O A

x

O B

x C

O

x D
y

O

x

7、 (2010 荆门)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论 错误 的是( ) .. (A)ab<0 (B)ac<0 (C)当 x<2 时,y 随 x 增大而增大;当 x>2 时,y 随 x 增大而减小
o

2

x
1

(D)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根。 8. (2010 桂林)12.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4 , E 是 BC 边上的一个动点,AE⊥ EF, EF 交 DC 于 F, 设 BE= x , FC= y ,则当点 E 从点 B 运动到点 C 时, y 关于 x 的函数图象是( ).

A

D

F B
2 1

y
2 1 O 2 4

y
2 1

y
2 1

y

E

C

x

O

2

4

x

O

2

4

x

O

2

4

x

A.

B.

C.

D.

(二) 、解答题
9、已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k-1=0 有实数根,k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y=2x2+4x+k-1 的图象向下平 移 8 个单位,求平移后的图象的解析式; (3) 在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的 其余部分保持不变, 得到一个新的图象。 请你结合这个新的图像回答: 当直线 y= 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.

1 x+b (b<k) 2

10、已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴 的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长(OB<OC)是方程 x2-10x+16 =0 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x=-2. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、点 B 不重合) ,过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m,△CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的 函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求 出 S 的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判断此时△BCE 的形状; 若不存在,请说明理由.

2

11、如图,已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0),B(4,0),与 y 轴交于点 C(0,8). (1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标; (2)设直线 CD 交 x 轴于点 E.在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P,使得点 P 到 直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请 说明理由; (3)过点 B 作 x 轴的垂线,交直线 CD 于点 F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线 与线段 EF 总有公共点. 试探究: 抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移 多少个单位长度?

12. (2012 湖北恩施 8 分) 如图, 已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A (﹣1, 0) , C(2,3)两点,与 y 轴交于点 N.其顶点为 D. (1)抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)设点 M(3,m) ,求使 MN+MD 的值最小时 m 的值; (3) 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B, E 为直线 AC 上的任意一点, 过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于点 F,以 B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 E 的坐标; 若不能,请说明理由; (4)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.

3

13. (2012湖北黄冈14分) 如图, 已知抛物线的方程C1: y ? ?

1 ? x ? 2? (x ? m) ? m ? 0? 与x 轴 m

相交于点B、C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△ BCE的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△ BCE 相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

【压轴训练】
(2010 眉山) 如图, Rt△ AB ?C ? 是由 Rt△ ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的, 连结 CC ? 交 斜边于点 E,CC ? 的延长线交 BB ? 于点 F. (1)证明:△ ACE∽ △ FBE; (2)设∠ ABC= ? ,∠ CAC ? = ? ,试探索 ? 、 ? 满足什么关系时,△ ACE 与△ FBE 是 全 等三角形,并说明理由.
B C' E F B'

C

A

4

第一部分 1、 (2009 鄂州)把抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个 单位,所得的图象的解析式是 y ? x 2 ? 3x ? 5 ,则 a+b+c=_______________。 2、 ( 2009 湖 州 ) 已 知 抛 物 线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的 对 称 轴 为 直 线 x=1 , 且 经 过 ( ?1 , ( 2,y2 ) ,试比较 y1,y 2 的大小: y1 _______ ,y1 ) y2 .(填“<”或“>”或“=”) 3、 (2012 浙江湖州 3 分)如图,已知点 A(4,0) ,O 为坐标原点,P 是线段 OA 上任意一 点(不含端点 O,A) ,过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下,它们的顶点分别为 B、C, 射线 OB 与 AC 相交于点 D.当 OD=AD=3 时,这两个二次函数的 最大值之和等于( A. 5 B. )

4 5 3

C.3

D.4

第二部分 5. (2012 福建福州 14 分)如图① ,已知抛物线 y=ax2+bx(a≠0)经过 A(3,0)、B(4,4)两点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的坐标; (3) 如图② ,若点 N 在抛物线上,且∠ NBO=∠ ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足 △ POD∽ △ NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应).

5


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