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函数单调性与导数课件


函数的单调性与导数

讲课人:冯卫华

一、教材分析
本节课的地位与作用
本节课选自人教版高中数学选修2-2第 一章第三节第一课时。本节课是在导数的概 念、计算、几何意义的基础所上学习的内容, 学好它既可加深对导数的理解,又可为后面 研究函数的极值和最值打好基础。

教学目标
知识与技能

目标:
探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

过程与方法目标:
通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法。 培养学生的观察、分析、概括的能力,增强数形结合 思维意识。

情感态度与价值观目标:
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结,培养学生的探索精神。

教学重难点
重点: 利用导数判断函数单调性。 难点: 求解函数单调区间的方法。

二.教法分析

本节课运用“问题解决”课堂教学,采用发现 式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲, 使学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发 现、分析和解决问题,总结规律。 本节课采用多媒体辅助教学,通过数形结合, 使抽象的知识直观化,形象化,以促进学生的理解。

三.学情分析

合作学习、自主学习、探究学习

四.教学过程
? 复习回顾 ? 提出问题 ? 分析问题 ? 归纳形成结论 ? 解决问题

判断函数单调性的方法

定义法、图像法



察:

下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的 函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象。
h
h' ?t ?

(1)
O t O a b

(2)
a
t b

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y= x2 y

y=

x3

y

y?
x O

1 x
x

O

x x O

O

在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数

y ? f ( x)在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那
么函数

y ? f ( x)在这个区间内单调递减.

' f 如果恒有 ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是?。 常数

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状.

例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x;
解: (1) 因为
3

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

f ( x) ? x ? 3x , 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0. 3 因此, 函数 f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增.
(2) 因为 f ( x) ?

x ? 2 x ? 3, 所以
2

f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递减.

归纳:
1、求可导函数 f ( x) 单调区间的步骤:

(1)求 f ' ( x)
(2)解不等式

f ' ( x) ? 0(或 f ' ( x) ? 0 )

(3)确认并指出递增区间(或递减区间)

练习

判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 2 x ? 4;
2

(2) f ( x) ? e ? x;
x

(3) f ( x) ? 3x ? x ;
3

(4) f ( x) ? x ? x ? x.
3 2


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