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数学


2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时) 一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联 系; ②理解指数函数的概念和意义, 能画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性 和特殊点; ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,在过程中体会研究具体函数及其性质的

过程和方法,如具 体到一般的过程、数形结合的方法等. 3.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 二.重难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括 指数函数的性质.

第一课时 一.教学流程: 1. 情境设置 师:在本章的开头,问题(1)中时间与 GDP 值中的 , 请问这两个函数有什么共同特征? ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用(>0 且≠1 来 表示). 二.讲授新课 ——写出指数函数的定义 一般地,函数(>0 且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (>1,且) 小结: 根据指数函数的定义来判断说明: 因为>0, 是任意一个实数时, 是一个确定的实数, 所以函数的定义域为实数集 R. 若<0,如在实数范围内的函数值不存在.

若=1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足的形式才能称为指数函数, 不符合. ——问题: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) (2) (3) (4) (5) 2.从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系?可否利用的图象画出的 图象? 3.从画出的图象(、和)中,你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1)

自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1

图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 5. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是或; (2)若,则;取遍所有正数当且仅当; (3)对于指数函数,总有; (4)当时,若,则; (三)巩固新知 【例题】 例 1: (P66 例 6)已知指数函数(>0 且≠1)的图象过点(3,π ) ,求 分析:要求再把 0,1,3 分别代入,即可求得 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第 1,2,3 题 补充练习:1、函数 2、当 解(1) (2) (-,1) 例 2:求下列函数的定义域: (1) (2) 分析:类为的定义域是 R,所以,要使(1) , (2)题的定义域,保要使其指数部分有意义就 得 . (四)归纳小结 1. 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法。 2. 理解指数函数 3. 解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学 思想。 (五)布置作业

必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 1 题.


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