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北师大版数学必修1《3.5.1对数函数的概念》教学设计


§5.1 对数函数的概念 ----教学设计
教材分析
函数是高中数学中的重点内容, 函数的思想贯穿于整个高中数学之中. 对数函数作为基 本初等函数之一,在高中数学中有着重要的地位和作用.本节课是在“函数的概念、函数的 单调性、二次函数性质的再研究、简单的幂函数、指数函数”的基础上,学习对数函数的, 因此它是“函数的概念、图象和性质”的巩固与深化,也为今后进一步

学习“三角函数、等 比数列等”内容打下坚实的基础.

教学目标
1.知识目标 ①理解对数函数的概念; ②理解对数函数与指数函数互为反函数的关系. 2.能力目标 ①注重思考方法的渗透,培养学生由已知探求未知的能力; ②通过实例培养学生抽象概括、类比联想能力. 3.情感目标 通过对《对数函数的概念》的教学,引导学生从现实生活的经历与体验出发,激发学生 对数学问题的兴趣,使学生了解数学知识的功能与价值,形成主动学习的态度.

教学重点与难点
教学重点:对数函数的概念. 教学难点:理解对数函数与指数函数互为反函数的关系.

教学方法与手段
教学方法:启发引导. 教学手段:多媒体辅助教学.

教学过程
一﹑创设情境
问题 1:某种细胞分裂时,由一个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,依

1

此类推, 当细胞个数为 x 时, 细胞分裂次数 y 与 x 之间的关系式是什么? y 是关于 x 的函数 吗?(多媒体展示)
y 学生思考后回答:2 ? x ? y 是关于 x 的函数,因为对于每一个细胞 x ,通过关系式,

都有唯一确定的细胞分裂次数 y 与之对应. 问题 2: 《庄子-天下篇》中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,试问当木棰剩余部 分长度为 x 时,被截取的次数 y 与 x 之间的关系式是什么?(多媒体展示) 学生思考后回答: ( ) ? x ? y ? log1 x , y 是关于 x 的函数,因为对于木棰被截取
y 2

1 2

后不同的剩余部分的长度 x ,通过关系式,都有唯一确定的木棰被截取的次数 y 与之对应. 引导学生归纳:同理, 对于每一个对数式 y ? loga x 中的 x , 任取一个正的实数值,y 均 有唯一确定的值与之对应,所以 y ? loga x 是关于 x 的函数.

二﹑形成概念
1.对数函数(学生归纳对数函数的定义) 一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) 。 问题 3: (1)在对数函数的定义中,为什么要限定 a >0 且 a ≠1? (2)为什么对数函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞)?(多媒体展 示) 学生小组讨论、交流,派代表回答问题. (使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解) 由对数函数的定义完成下题(多媒体展示): 下列函数中对数函数的个数是( ① y ? 2log2 x A.1 答案:A. 说明:本题主要考查学生对对数函数定义的理解(学生说出答案,教师评价) . ② ). ③y C.3

y ? log3 ( x ? 1)

? log? x

④ y ? log 1 x ? 1
2

B.2

D.4

三、例题研究
例 1.计算:
2

(1)计算对数函数 y ? log 2 x 对应于 x 取 1,2,4 时的函数值; (2)计算常用对数函数 y ? lg x 对应于 x 取 1,10,100,0.1 时的函数值. (分析: 计算函数值, 只要把自变量的取值代 x 相应的函数式,运用已学的对数知识求解 即可。) 解: (1)当 x ? 1 时, y ? log2 x ? log2 1 ? 0 , 当 x ? 2 时, y ? log2 x ? log2 2 ? 1 , 当 x ? 4 时, y ? log2 x ? log2 4 ? 2 ; (2)参看课本第 106 页. 练习:课本 91 页练习第 1 题.

四、探究发现
x 思考:指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 有什么关系?

相同: 指数函数 y ? a 和对数函数 x ? log a y 刻画的是同一对变量 x , y 之间的关系.
x

不同点:指数函数 y ? a x 中, x 是自变量, y 是 x 的函数,其定义域是 R ,值域是(0, +∞) ;对数函数 x ? log a y 中, y 是自变量, x 是 y 的函数,其定义域是(0,+∞) ,值域 是 R .像这样的两个函数互为反函数.
x 由于对数函数通常写成 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) . 因此, 指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1)

是对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的反函数;同时,对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 也
x 是指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的反函数.

例 2.写出下列函数的反函数: (1) y ? lg x ; 解: (1) y ? 10 ;
x

(2) y ? log 1 x .
3

(2) y ? ( ) .
x

1 3

例 3.写出下列指数函数的反函数: (1) y ? 5 ;
x

?2? (2) y ? ? ? . ?3?
(2) y ? log 2 x .
3

x

解: (1) y ? log5 x ;

3

练习:课本 91 页 2、3、4. 补充练习: 1. 已知函数 f ( x) ? a x 过点 ( 3, 4) , 则函数 y ? log a x 的图像必过点_______.

五、小结
1.指数函数与对数函数的概念对比 名称 一般形式 定义域 值域 指数函数 对数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
(-∞,+∞) (0,+∞)

y ? loga x ( (a ? 0, a ? 1)
(0,+∞) (-∞,+∞)

x 2.指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数.

六、作业
教材 97 页 A 组 1、2 . 预习:课本§5.2. 要求: 1、把函数 y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 的图像画在同一直角坐标系下.
2

2、观察上述两个函数的图像,归纳它们的性质,并总结函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的性质.

七、板书设计
对数函数的概念 1.对数函数概念 2.几点说明 3.反函数 例3 问题 2 例 1(略) 例2 (情境创设) 问题 1

八、课后反思
本节课的成功之处: 一、通过多媒体展示细胞分裂和截取木棰这两个情境,学生容易得到对数函数的由来, 这个引入比较自然,成功. 二、教学思路比较清晰,讲完概念之后有相应的练习,课堂效果不错. 不足之处:
4

一、 “指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数” 这个讲得有些多,学生反而弄不清,只需要讲清书上那些就可以了,不要拓展.

5


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