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江西省上高县第二中学2016届高三数学第七次月考试题 文


2016 届高三年级第七次月考数学(文科)试卷
一、选择题(12×5=60 分) 1 . 设 全 集 U ? R , A ? {x ? N | y ? ln(2 ? x)}, B ? {x | x( x ? 2) ? 0} , ) A? B ? ( A. {x | x ? 1} B. ? x 0 ? x ? 2? 2、已知向量 =(2,1) , =(﹣1,k) , A.

2 B.﹣2 C. ?0,1 ? ⊥ ,则实数 k 的值为( C.1 D.﹣1 ) D. ?1? )

3、设 i 是虚数单位,若复数 a﹣ A.﹣3 B.﹣1

(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( C.1 D.3

4、从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数,其中奇数的概率为 ( A. ) B. C. D.

x2 y 2 5、若双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线经过圆 a b

? x ?1?
A. 2

2

? y?2 2

?

?

2

? 16 的圆心,则此双曲线的离心率是(
B. 3 C. 5
5

) D. 9

6、 若等比数列{an}的各项均为正数, 且 a10a11+a9a12=2e , 则 lna1+lna2+?+lna20 等于( A.50 ) B.25 C.75 D.100

7、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线和虚线画出的 是多面体的三视图,则该多面体的体积为( ) A. 20

3

B.8

C. 22

3

D. 16

3

1 x 4 ? ?( 2 ) ? 3 ( x ? 0) 8、已知奇函数 F ( x ) ? ? , ? ( x ? 0) ? f ( x)
则 F ( f (log 2 1 ) ? (

3

)

1

A. ? 5

6 13 C. ( 1 ) 3 2

B. 5

6
1

D. ( 1 ) 3 ? 4

2

3
图象相邻对称轴

9、已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (其中 ω >0,|φ |< 的距离为 ,一个对称轴中心为(﹣ ) B.向右平移 D.向左平移

,0) ,为了得到 g(x)=cosω x 的图

象,则只要将 f(x)的图象( A.向右平移 C.向左平移 个单位 个单位

个单位 个单位

?x ? y ? 0 ? 10、已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 a ? 1 , ? y?0 ?
则 a 的取值范围为( A . (?1, 1) D. (?1, 1] 11、 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足: f (x) = 且 f(x+2)=f(x) ,g(x)= ,则方程 f(x)=g(x)在区间 ? ?5,1? 上 ) B . [?1, 1) C . [?1, 1]

的所有实根之和为( ) A.﹣8 B.﹣7 C.﹣6 D.0 2 12、抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点, 且满足∠AFB=120°. 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN, 垂足为 N, 则 的最小值为( A. ) B. C. 1

D. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、已知球的表面积为 64π ,用一个平面截球,使截面圆的半径为 2,则截 面与球心的距离是 。

14 、 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 S3 ? 9 , S5 ? 30 , 则

2

a7 ? a8 ? a9 ?



15、某程序流程图如下图所示,依次输入函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ,

f ( x ) ? 1 sin(2 x ? ? ) , f ( x ) ? tan x , f ( x ) ? cos(2 x ? ? ) ,执行该程 2 6 6
序,输出的数值 p= 。

6

16、若函数 f ( x) ? ?

f ( x) ? ( g ( x) ? 0 对 于 任 意 x ? ? 0, ??? 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 。 三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本小题满分 12 分)已知△ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的 长分别为 a、b、c.若 c sin A ? 3a cos C , (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 21 ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC 的面积.

?2ax ? 1, x ? ? 0,1? ? , g ( x) ? log2 x ,关于 x 的不等式 3 ax ? 1, x ? 1, ?? ? ? ? ?

18. (本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 ,

?BAC ? 90? , 且 异 面 直 线 A1 B 与 B1C1 所 成 的 角 等 于 60? , 设 A1 AA1 ? a . (1) 求 a 的值; B1 (2) 求三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积.
A B

C1

C

19. (本题满分 12 分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、 合格、尚待改进”三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生 500 人,女 生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高 一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 表 2:女生

3

等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5

等级 优秀 合格 频数 15 3

尚待改进 y

(1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评 等级为合格的概率; (2)由表中统计数据填写下边 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为 “测评结果优秀与性别有关”. 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式: K= 临界值表: 2 P(K >k0) k0
2

,其中 n=a+b+c+d.

0.1

0.05

0.01

2.706 3.841 6.635

x2 y2 ? ?1, 24 12 2 2 设点 R?x0 , y0 ? 是椭圆 C 上一点,从原点 O 向圆 R : ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为 P, Q . (1) 若直线 OP, OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2) 若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k 2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 .
20、(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆 C :

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ?

1 ,直线 l:y ? kx ? 1 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)求证:对于任意 k ? R ,直线 l 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅲ)试确定曲线 y ? f ( x) 与直线 l 的交点个数,并说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦,∠PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相 交于点 Q,若 AQ=6,AC=5. 2 2 (Ⅰ)求证:QC ﹣QA =BC? QC;

4

(Ⅱ)求弦 AB 的长.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 曲线 C:? ? 2a cos ? (a ? 0), l : ? cos(? ? 且仅有一个公共点. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB=

?
3

)?

3 , C 与l 有 2

? ,求|OA|+|OB|的最大值. 3

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲) 已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) (Ⅰ)当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. (Ⅱ)如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

5

2016 届高三年级第七次月考数学试题(文科)答题卡 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 号 答 案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、

12

16、

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分)

18、 (12 分) B1

A1

C1

A B

C

6

19、 (12 分) 男生 优秀 非优秀 总计 女生 总计

20、 (12 分)

7

21、 (12 分)

8

选做题 22□ 23□

24□(10 分)

2 2 题图

9

2016 届高三年级第七次月考数学(文科)试卷答案 题 号 答 案 13、2 1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 15、 6 A 7 C 8 A 9 D 10 C 11 B 12 D

14、63

3 4

16、 ? , ? 3 2 sinAcosC,

?1 1 ? ? ?

17、解: (I)∵ sinA≠0, ∴ , 得 .

,由正弦定理可得 sinCsinA=



∵C∈(0,π ) , ∴

(II)∵sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B) ,∴sin(A+B)+sin (B﹣A)=5sin2A, ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA, ∵△ABC 为斜三角形, ∴cosA≠0, ∴sinB=5sinA, 2 2 2 由正弦定理可知 b=5a (1)由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC, ∴ ∴ , (2)由(1) (2)解得 a=1,b=5, .

18. 解: ,(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC 就是异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角, 即 ∠ A1BC =60?,????????????????????????????2 分 又 AA1⊥平面 ABC, AB=AC, 则 A1B=A1C, ∴△A1BC 为等边三角形, ???? 4分
? 由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ? BC ? ∴

2,

A1 B ? 2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? a ? 1;???????????????
??6 分 (2)连接 B1C,则三棱锥 B1–A1BC 的体积等于三棱锥 C–A1B1B 的体积, 即 : ????????????????????????8 VB1 ? A1BC ? VC ? A1B1B , 分

10



A1 B1 B







1 ,???????????????????????10 分 2 又 CA ? A1 A, CA ? AB,? CA ? 平面 A1B1B , 1 1 1 VC ? A1B1B ? ? ?1 ? 所 以 , 所 3 2 6 1 V B1 ? A1BC ? .????????????12 分 6 S?



19. 解:解: (1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则

=

,m=25,

∴x=25﹣20=5,y=20﹣18=2, 表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待改进 的 2 人为 A,B, 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为: (a,b) (a,c) (b,c) (A,B) (a,A) , (a,B) , (b,A) (,b,B) , (c,A) (c,B) ,共 10 种. 设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等 级为合格”, 则 C 的结果为: (a,A) , (a,B) , (b,A) (,b,B) , (c,A) (c,B) ,共 6 种. ∴P(C)= = ,故所求概率为 . 男生 15 10 25 女生 15 5 20 总计 30 15 45

优秀 非优秀 总计 (2) 2 ∵1﹣0.9=0.1,p(k >2.706)=0.10, 而K=
2

=

= =1.125<2.706,

所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 20. 解:(1)由题意得:圆 R 的半径为 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直, 且与圆 R 相切,所以四边形 OPRQ 为正方形,故 OR ?

2r ? 4 ,即

x ? y ? 16 ① ??????2 分
2 0 2 0

11



R?x0 , y0 ? 在 椭 圆

C

上 一



所 象

以 限

2 2 x0 y0 C: ? ?1 24 12

②?????????????3 分 R 由 ① ② 及 在 第







x0 ? y0 ? 2 2 ,????????????????5 分
(2)证明: 因为直线 OP: y=k1x, OQ: y=k2x 均与圆 R 相切, ???????? 6分 所以 同
2 0 2 2 2 0

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0





( x ? 8)k ? 2x0 y0k2 ? y ? 8 ? 0 ??????????????????
8分
2 2 所以 k1、k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,





k1k2 ?
?9 分

y ?8 ,?????????????????????????? x ?8
2 0 2 0
2 x0 y2 ? 0 ?1, 24 12 1 2 4 ? x0 1 k1k 2 ? 2 2 ? ? 以 x0 ? 8 2

又因为 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C :



2 y0 ? 12 ?

1 2 x0 2









2k1k2+1=0.?????????12 分 21. 解: 函数 f ( x) 定义域为 {x | x ? 0} , 分 求导, 得 f ?( x) ? 2 ? 2分 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示:
2 , x3

?????? 1 ??????

x
f ?( x )

(??, 0)

(0,1)

1

(1, ??)

?


?


0

?


f ( x)

所 以 函 数 y ? f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, 0) , (1, ??) , 单 调 减 区 间 为

12

(0,1) ,???? 3 分

所以函数 y ? f ( x) 有极小值 f (1) ? 3 ,无极大值. ?????? 4 分 ( Ⅱ ) 证 明 : 假 设 存 在 某 个 k ? R , 使 得 直 线 l 与 曲 线 y ? f ( x) 相 切,????? 5 分 1 2 设切点为 A( x0 , 2 x0 ? 2 ) ,又因为 f ?( x) ? 2 ? 3 , x0 x 2 所 以 切 线 满 足 斜 率 k ? 2? 3 , 且 过 点 A , 所 以 x0 1 2 2 x0 ? 2 ? (2 ? 3 ) x0 ? 1 ,? 7 分 x0 x0 3 即 2 ? ?1 ,此方程显然无解,所以假设不成立. x0 所 以 对 于 任 意 k ? R , 直 线 l 都 不 是 曲 线 y ? f ( x) 的 切 线. ?????? 8 分 1 (Ⅲ) 解: “曲线 y ? f ( x) 与直线 l 的交点个数” 等价于 “方程 2 x ? 2 ? kx ? 1 x 的根的个数”. 1 1 1 由方程 2 x ? 2 ? kx ? 1 ,得 k ? 3 ? ? 2 . ?????? 9 分 x x x 令t ?
t?R, 因为 h?(t ) ? 3t 2 ? 1 ? 0 时, 所以函数 h(t ) 在 R 单调递增, 且 h(t ) ? R .
1 ,则 k ? t 3 ? t ? 2 ,其中 t ? R ,且 t ? 0 .考察函数 h(t ) ? t 3 ? t ? 2 ,其中 x

????

11 分 而方程 k ? t 3 ? t ? 2 中, t ? R ,且 t ? 0 . 所以当 k ? h(0) ? 2 时,方程 k ? t 3 ? t ? 2 无根;当 k ? 2 时,方程 k ? t 3 ? t ? 2 有 且仅有一根, 故当 k ? 2 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 l 没有交点,而当 k ? 2 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 l 有且仅有一个交点. ?????? 12 分 22、解 (Ⅰ)证明:∵PQ 与⊙O 相切于点 A, 2 2 ∴由切割线定理得:QA =QB? QC=(QC﹣BC)? QC=QC ﹣BC? QC.?(4 分) 2 2 ∴QC ﹣QA =BC? QC.?(5 分) (Ⅱ)解:∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴∠PAC=∠CBA, ∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,∴AC=BC=5,?(6 分) 2 又知 AQ=6,由(Ⅰ) 可知 QA =QB? QC=(QC﹣BC)? QC,∴QC=9.?(8 分) 由∠QAB=∠ACQ,知△QAB∽△QCA,∴ 分) ,?(9 分)∴ .?(10

13

23、 解: (Ⅰ) 曲线 C: ρ =2acosθ(a>0) , 变形 ρ =2ρ acosθ , 化为 x +y =2ax, 2 2 2 即(x﹣a) +y =a . ∴曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; 由 l:ρ cos(θ ﹣ )= ,展开为 y﹣3=0. =a,解得 a=1. ,则|OA|+|OB|=2cosθ +2cos ,

2

2

2

∴l 的直角坐标方程为 x+ 由直线 l 与圆 C 相切可得

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为 θ ,B 的极角为 θ + (θ + ) sinθ =2 cos(θ +

=3cosθ ﹣ 值2 .

) ,当 θ =﹣

时,|OA|+|OB|取得最大

24、解:①当 a=1 时,f(x)=|2x﹣1|+x﹣5=





解得 x≥2; 由

解得 x≤﹣4.

∴f(x)≥0 的解为{x|x≥2 或 x≤﹣4}. ②由 f(x)=0 得|2x﹣1|=﹣ax+5. 作出 y=|2x﹣1|和 y=﹣ax+5 的图象,观察可以知道,当﹣2<a<2 时,这两 个函数的图象有两个不同的交点,函数 y=f(x)有两个不同的零点.故 a 的 取值范围是(﹣2,2) .

14


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