nbhkdz.com冰点文库

第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布


第8讲

二项分布与正态分布

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2011· 湖北)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元 件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、 1、 2

正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8, A A 则系统正常工作的概率为( A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 ).

解析 P=0.9×[1-(1-0.8)2]=0.864. 答案 B 2.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获 冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获 得冠军的概率为 3 A.4 2 B.3 3 C.5 1 D.2 ( ).

1 解析 问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率 P1=2;第二类,需比 1 1 1 赛 2 局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率 P2=2×2=4.故甲队获得冠军的 3 概率为 P1+P2=4. 答案 A 3.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 A.[0.4,1] C.(0,0.6] B.(0,0.4] D.[0.6,1] ( ).

解析 设事件 A 发生的概率为 p,则 C1p(1-p)3≤C2p2(1-p)2,解得 p≥0.4, 4 4

故选 A. 答案 A ).

4. 设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9), P(X>c+1)=P(X<c-1), c 等于( 若 则 A.1 解析 B.2 C.3 D.4

∵μ=2,由正态分布的定义,知其函数图象关于 x=2 对称,于是

c+1+c-1 =2,∴c=2. 2 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013· 台州二模)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手 若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确 回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰 好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于________. 解析 由已知条件第 2 个问题答错, 3、 个问题答对, 第 4 记“问题回答正确” 事件为 A,则 P(A)=0.8,P=P ?A∪-?-AA =(1-P(A)] P(A) P(A)=0.128. A A

[

]

答案 0.128 6.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),如果 P(X≤1)=0.8413,则 P(-1<X<0) =________. 解析 ∵P(X≤1)=0.841 3, ∴P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.841 3=0.158 7. ∵X~N(0,1),∴μ=0. ∴P(X<-1)=P(X>1)=0.158 7, ∴P(-1<X<1)=1-P(X<-1)-P(X>1)=0.682 6. 1 ∴P(-1<X<0)=2P(-1<X<1)=0.341 3. 答案 0.341 3 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)设在一次数学考试中,某班学生的分数 X~N(110,202),且知试卷满分 150 分,这个班的学生共 54 人,求这个班在这次数学考试中及格(即 90 分以 上)的人数和 130 分以上的人数.

解 由题意得 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ) =2P(X-μ<-σ)+0.682 6=1, ∴P(X-μ<-σ)=0.158 7, ∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 7=0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人),即及格人数约为 45 人. ∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ), ∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ) =0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1, ∴P(X-μ≥σ)=0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人), 即 130 分以上的人数约为 9 人. 8.(13 分)(2012· 重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先 投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投 1 1 篮投中的概率为3,乙每次投篮投中的概率为2,且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投球次数 ξ 的分布列与期望. 解 设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 1 1 P(Ak)=3,P(Bk)=2(k=1,2,3). (1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同 时发生的概率计算公式知 P(C)=P(A1)+P( A1 B1 A2)+P( A1 B1 A2 B2 A3)=P(A1)+P( A1 )P( B1 )P(A2) +P( A1 )P( B1 )P( A2 )P( B2 )P(A3) 1 2 1 1 ?2? ?1? 1 =3+3×2×3+?3?2×?2?2×3 ? ? ? ? 1 1 1 13 =3+9+27=27. (2)ξ 的所有可能值为 1,2,3 由独立性,知 1 2 1 2 P(ξ=1)=P(A1)+P( A1 B1)=3+3×2=3,

P(ξ=2)=P( A1 B1 A2)+P( A1 B1 A2 B2) 2 1 1 ?2? ?1? 2 =3×2×3+?3?2×?2?2=9, ? ? ? ? P(ξ=3)=P A1

(

B1

A2

2 1 1 B2 =? ?2×? ?2= . ?3? ?2? ? ? ? ? 9

)

综上知,ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 2 2 9 3 1 9

2 2 1 13 从而 E(ξ)=1×3+2×9+3×9= 9 (次).

B级

能力突破(时间:30 分钟

满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2013· 金华模拟)已知三个正态分布密度函数 φi(x)= ?x-μi? 1 · e- 2σ2 (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示, i 2πσi
2

则 A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3

(

).

解析 正态分布密度函数 φ2(x)和 φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以 其平均数相同,故 μ2=μ3,又 φ2(x)的对称轴的横坐标值比 φ1(x)的对称轴的横 坐标值大,故有 μ1<μ2=μ3.又 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“瘦 高”, 由图象可知, 正态分布密度函数 φ1(x)和 φ2(x)的图象一样“瘦高”, 3(x) φ 明显“矮胖”,从而可知 σ1=σ2<σ3. 答案 D 2.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动 1 的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是2.质点 P 移动五次后

位于点(2,3)的概率是 ?1? A.?2?5 ? ? ?1? C.C3?2?3 5 ? ? 解析
2?1? B.C5?2?5 ? ?

(

).

?1? D.C2C3?2?5 5 5 ? ?

由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后

位于点(2,3),所以质点 P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为 ?1? ?1? ?1? 2?1? ? C3?2?3·2?2=C3?2?5=C5?2?5,故选 B. 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 3.(2013· 湘潭二模)如果 X~B(20,p),当 p=2且 P(X=k)取得最大值时,k= ________. 1 ?1? ?1? ?1? ? 解析 当 p=2时,P(X=k)=Ck ?2?k·2?20-k=Ck ·2?20,显然当 k=10 时,P(X 20 20 ? ? ? ? ? ? ? =k)取得最大值. 答案 10 4. (2013· 九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最 上方的入口处,小 1 球将自由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次 1 遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是2,则小球 落入 A 袋中的概率为________. 解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A,“小球落入 B 袋中”为事件 B,则 事件 A 的对立事件为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一 1 3 ?1? ?1? 1 直向右落下,故 P(B)=?2?3+?2?3=4,从而 P(A)=1-P(B)=1-4=4. ? ? ? ? 3 答案 4 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名 员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人)

1至4件 5至8件 x 1 30 1.5

9至 12 件 25 2

13 至 16 件 y 2.5

17 件及 以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 %. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独 立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概 率) 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.该超市所有 顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 20 P(X=1)=100=20,P(X=1.5)=100=10,P(X=2)=100=4,P(X=2.5)=100 1 10 1 =5,P(X=3)=100=10. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 3 3 1 1 1 E(X)=1×20+1.5×10+2×4+2.5×5+3×10=1.9. (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,Xi(i=1,2)为该 顾客前面第 i 位顾客的结算时间,则 P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1). 由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) 3 3 3 3 3 3 9 =20×20+20×10+10×20=80. 9 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为80. 1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5 1 5 3 1 10

6.(13 分)(2012· 山东)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率 3 2 为4,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为3, 每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假 设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X). 解 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手射击甲靶命中”为 事件 B, “该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C, “该射手第二次射击乙靶 命中”为事件 D. 3 2 由题意,知 P(B)=4,P(C)=P(D)=3, 由于 A=B- -+-C-+- -D, C D B D B C 根据事件的独立性和互斥性,得 P(A)=P(B- -+-C-+- -D) C D B D B C =P(B- -)+P(-C-)+P(- -D) C D B D B C =P(B)P(-)P(-)+P(-)P(C)P(-)+P(-)P(-)P(D) C D B D B C 2? ? 2? ? 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 3 ? =4×?1-3?×?1-3?+?1-4?×3×?1-3?+?1-4?×?1-3?×3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 =36. (2)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性, 知 得 P(X=0)=P(- - -) B C D =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 3? ? 2? ? 2? 1 ? =?1-4?×?1-3?×?1-3?=36; ? ? ? ? ? ? P(X=1)=P(B- -)=P(B)P(-)P(-) C D C D 2? ? 2? 1 3 ? =4×?1-3?×?1-3?=12; ? ? ? ? P(X=2)=P(- C-+- - D)=P(- C-)+P(- -D) B D B C B D B C

3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 1 ? =?1-4?×3×?1-3?+?1-4?×?1-3?×3=9; ? ? ? ? ? ? ? ? P(X=3)=P(BC-+B-D)=P(BC-)+P(B-D) D C D C 2? 3 ? 2? 2 1 3 2 ? =4×3×?1-3?+4×?1-3?×3=3; ? ? ? ? 3? 2 2 1 ? P(X=4)=P(-CD)=?1-4?×3×3=9, B ? ? 3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)=4×3×3=3. 故 X 的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3

1 1 1 1 1 1 41 所以 E(X)=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布

第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布 隐藏>> 第8讲 二项分布与正态分布 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)...

2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布

2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布_高中教育_教育专区。2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第...

第8讲 二项分布与正态分布

第8讲 二项分布与正态分布_数学_高中教育_教育专区。第8讲一、选择题 二项...1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5 1 5 3 1 10 9 故该顾客结算前的等候...

第8讲 二项分布与正态分布

第8讲 二项分布与正态分布_数学_高中教育_教育专区。第8讲一、选择题 二项...5 10 25 答案 7 25 8.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),如果 P(X...

2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第10章 第8节(理) 二项分布和正态分布 Word版含解析

2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第10第8节(理) 二项分布和正态分布 Word版含解析_高中教育_教育专区。2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第10章 ...

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第十一章 第8讲 二项分布与正态分布 理 新人教A版

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第十一第8讲 二项分布与正态分布 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第8讲一、选择题 二项分布与...

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲 二项分布与正态分布

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲 二项分布与正态分布_数学_高中教育_教育专区。第8讲一、选择题 二项分布与正态分布 1? ? 1.在正态分布 N...

正态分布与二项分布之比较

正态分布与二项分布之比较_教育学/心理学_人文社科_专业资料。统计向来是心理学考研复习的难点之一, 我也曾经为此而纠结过, 不过还好有博仁助教的协 助,现将我...

第九章第8讲二项分布及其应用

第九章第8讲二项分布及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 8 讲 二...⑤正 10 2 确. 答案:③⑤ 9.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子...