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1.2.2空间中的平行关系(3)

时间:2013-10-13


1.2.2空间中的平行关系(3)

三. 平面与平面平行

1. 平行平面:如果两个平面没有公共点,
那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 两个平面的位置关系

两平面平行

两平面相交

2. 平行平面的画法:在画两个平面平行 时,通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线.

一般画法

错误画法

3. 平面与平面平行的判定定理 (1)判定定理:
①文字语言:如果一个平 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面,那么这 两个平面平行. ②图形语言: ③符号语言:a ?α,b b//β α//β. ?

?
?

A

a

b

α,a∩b=A且a//β, ?

? ? ③符号语言: a ? b ? A ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ? 已知:a, b ? α, a∩b=A, a, b∥β. 求证: α∥β. 证明:假设α∩β=c. ∵a∥β, a ? ∴a∥c.同理b∥c. α,
于是在平面内过点A有两条直线与c平行, 这与平行公理矛盾, 假设不成立. ∴ α∥β.

a, b ? ? ,

(2)推论:如果一个平面内有两条相交 直线分别平行于另一个平面内的两条直 线,则这两个平面平行.

d

?β,a //b,c //d, ?α//β.

a ?α,c

α,a∩c=A,b ?

β, ?

4 平面与平面平行的性质定理:

(1)如果两个平面平行,那么其中一个 平面内的任意直线均平行于另一个平面.
若α//β,a α,则a//β. ?

(2)如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行. α//β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a//b.

证明: ???? // ?
? ? 与? 没有公共点 ??

?
a

? a 与b 也没有公共点 ??
???a ? ? , b ? ?

?

? a // b ??

?

b

(3)两条直线被三个平行平面所截,截 得的对应线段成比例. 已知:平面α//平面β//平面γ,两条直线l, m分别与平面α、平面β、平面γ相交于点A、 B、C和点D、E、F,
AB DE 求证: ? BC EF

证明:连接DC,设DC与 平面β相交于点G,则平面 ACD与平面α,β分别相交 于直线AD,BG,

平面DCF与平面β,γ分别相交于直线 GE,CF, 因为 α//β,β//γ,所以BG//AD, GE//CF,

于是得

AB DG ? BC GC
DG DE ? GC EF

所以

AB DE ? BC EF

例1. 已知三棱锥P-ABC中,D,E,F, 分别是PA,PB,PC的中点, 求证:平面DEF//平面ABC。 证明:在△PAB中,因为D, E分别是PA,PB的中点,
所以DE//AB, 又知DE ? 平面ABC, 因此DE//平面ABC,
A P

D E

F

C

B

同理EF//平面ABC,

又因为DE∩EF=E,
所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F

B

例2. 判断下列命题是否正确,并说明理 由. (1)若平面α内的两条直线分别与平面β平 行,则α与β平行; 平行,则α与β平行;
×

(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β

(3)平行于同一直线的两个平面平行;×

×

(4)两个平面分别经过两条平行直线, 这两个平面平行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出 与已知平面平行的平面. ×

例3. 如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求证:平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
?// 证明: AB ? DC ? D ' C ' ? ?// ? ABC ' D '是平行四边形
D' C'

? BC '// AD '

A'

B'

又 ? BC ' ?平面 AB ' D ' AD ' ?平面 AB ' D ' ? BC '//平面 AB ' D ' 同理: C ' D // 平面 AB ' D '
? BC '? C ' D ? C '

D A

C

B

?平面C ' DB //平面 AB ' D '

例4.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的 平行线段。 求证: AB=DC. 证明: 连接AD、BC ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
A

D

?
? B

C

又因直线AD、BC分别是平面AC与平面α、
β的交线, ∴AD//BC,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=DC
A

D

?
? B

C

1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有 _________对. 4
2.如图,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD- A1B1C1D1的棱AB, CD, A1B1, C1D1的中点. 求证:平面ED1∥平面BF1 F
D1
1

C1

分析:在其中一个平面内 A1 找两条相交直线平行另一 个平面即可.
A

E1 D

F

B1
C

E

B

3. 已知a、b为异面直线,求证过a、b分 别存在平面α和β,且α//β. 提示:在a上取一点A,过A作直线b’//b, 同样在b上取一点B,作直线a’//a, 则a和b’确定平面α,b和a’确定平面β,且 α//β.


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