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辽宁省沈阳二中2012-2013学年高一下学期期中考试 数学 Word版含答案


沈阳二中 2012——2013 学年度下学期期中考试 高一(15 届)数学试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ? 1. 已知 ? 为

第三象限角,则 所在的象限是( ) 2
A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 B.第二或第三象限 D.第二或第四象限 ) D.

2. 一个扇形的圆心角为 120 ? ,半径为 3 ,则此扇形的面积为( A.

?
3 5

B.

5? 4

C.

3? 3


2 3 2 ? 9

3. 已知 sin ? ? ? , ? ? ? ?

5 ? ? ? ? ? ,0 ? ,则 cos ? ? ? ? ? =( 4 ? ? 2 ? ?
B.

A. ?

2 10

2 10

C. ?

7 2 10


D.

7 2 10

4. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值为( A. ? 3 B. 3

C.3

D.

3 3

5. 已知 e1 , e2 是夹角为 60° 的两个单位向量,则 a ? 2e1 ? e2 与 b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角的余弦值 是( A. )

u r ur

r

u r

u r

r

u r

u r

1 2

B. ?

3 2

C.

3 2

D. ?

1 2

6. 使函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) 为奇函数, 且在 [0, 值是( A. )

?
4

] 上是减函数的 ? 的一个 5? 3

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

-1-

7. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 为 了 得 到 函 数


g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

8. 函数 y ? sin ? x (? ? 0) 的部分图象如图所示,点 A 、 B 是最高点,点 C 是最低点.若 △ ABC 是直角三角形,则 ? 的值为(

y


? A. 4 ? C. 3

? B. 2
D. ?

A
O

B
x

C
(第 8 题)

→ → 9. 在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记AB、BC分别 → 为 a, b ,则AH=( A. ? ) B.

2 4 a? b 5 5

2 4 a? b 5 5

C. ?

2 4 a? b 5 5

D.

2 4 a? b 5 5

10.在锐角 ?ABC 中, 设 x ? (1 ? sin A)(1 ? sin B), y ? (1 ? cos A)(1 ? cos B), 则 x, y 大小关系 为( ) A. x ? y B. x ? y C. x? y D. x ? y

11. 已 知 A, B, C 为 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 △ ABC 的 垂 心 , 动 点 P 满 足

1? 1 1 ? OP ? ? OA+ OB+2OC ? ,则点 P 一定为△ ABC 的( 3? 2 2 ?
A. AB 边中线的中点 C. 重心



B. AB 边中线的三等分点(非重心) D. AB 边的中点

12. 平面向量的集合 A 到 A 的映射 f ? x ? ? x ? ? x ? a? a,其中 a 为常向量.若映射 f 满足

f ? x? ? f ? y? ? x ? y对任意的 x, y ? A 恒成立,则 a 的坐标可能是(
A.(



2 2 ) , 4 4

B.(

2 30 ) ,? 4 4

C.(

3 1 , ) 4 4

D. (

1 30 ) ,? 4 4

-2-

第Ⅱ 卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 若角 ? 的终边经过点 P(1 , ? 2) ,则 tan 2? 的值为______________. 14. 函数 f ( x) ?

tan x ? 1 ? 1 ? x 2 的定义域为



15. 已知 sin ? ? 2sin ?2? ? ? ? ? 0, 且 ? ?

k? ? , ? ? ? ? ? k? ? k ? Z ? ,则 2 2


3tan ?? ? ? ? ? tan ? ?

16. 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? ? ,平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这 样定义:若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 , e2 分别是 x 轴,y 轴正方向的单位向量) ,则 P 点的斜坐 标为(x,y),向量 OP 的斜坐标为(x,y).给出以下结论: ① 若 ? ? 60 ,P(2,-1),则 | OP |? 3 ; ② 若 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; ③ 若 P (x,y), ? ? R ,则 ? OP ? ? ? x, ? y ? ; ④ 若 OP ? ( x1 , y1 ) , OQ ? ( x2 , y2 ) ,则 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ; ⑤ 若 ? ? 60 ,以 O 为圆心,1 为半径的圆的斜坐标方程为 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 . 其中所有正确的结论的序号是______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 10 分) 设 a ? ? ?1,1? , b ? ? 4,3? , c ? ? 5, ?2 ? (Ⅰ )若 a ? tb // c ,求实数 t 的值; (Ⅱ )求 c 在 a 方向上的正射影的数量. 18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin ? , ?2 ? 与 b ? ?1, cos ? ? 互相垂直,其中 ? ? ? 0, (Ⅰ )求 sin ? 和 cos ? 的值; (Ⅱ )若 5cos ?? ? ? ? ? 3 5 cos ? , 0 ? ? ? 19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?B ?

?

?

? ?

??

?. 2?

?
2

,求 cos ? 的值.

?

3 (Ⅰ )求 sin A ? sin C 的取值范围;
(Ⅱ ) 若 ? A 为锐角, 求 f ? A? = sin A ? cos A ? 2sin A cos A 的最大值并求出此时角 A 的大小.

.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? cos(
2

?
2

? ? x)(? ? 0) ,且函数 y ? f ( x) 的图象相邻两

条对称轴之间的距离为

? . 2

(Ⅰ )求 f ? x ? 的对称中心; (Ⅱ )当 x ??0, ? ? 时,求 f ? x ? 的单调增区间.

21. (本小题满分 12 分)

3x 3x x x ? ,sin ), b ? (cos , ? sin ), x ? [0, ] 2 2 2 2 2 (Ⅰ )用含 x 的式子表示 a ? b 及 a ? b ;
已知向量 a ? (cos (Ⅱ )求函数 f ? x ? ? a ? b ? 4 a ? b 的值域;

b ?t a ? b (Ⅲ )设 g ?x ? ?a ?
的取值范围.

,若关于 x 的方程 g ? x ? ? 2 ? 0 有两个不同的实数解,求实数 t

22. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边,两个锐角 ? , ? 的终边分别与单位圆相交 于 A,B 两点. (Ⅰ )若 tan ? ?

1 10 , sin ? ? ,求 ? ? 2 ? 的值; 7 10

(Ⅱ )若角 ? ? ? 的终边与单位圆交于 C 点,设角 ? , ? , ? ? ? 的正弦线分别为

MA, NB, PC ,试问:以 MA , NB , PC 作为三边的长能否构成一个三角形?若能,请加以
证明;若不能,请说明理由. y B A O x

-4-

沈阳二中 2012——2013 学年度下学期期中考试 高一(15 届)数学试题参考答案
一、选择题 DACBD BABDC 二、填空题 13. BB

4 3

14. ? ,1? ?4 ?

?? ?

15. 0

16. ① ② ③ ⑤

三、解答题 17.解: (Ⅰ ) a ? tb ? ? ?1 ? 4t ,1 ? 3t ? // ? 5, ?2 ? 故 5 ?1 ? 3t ? ? ?2 ? ?1 ? 4t ? (Ⅱ ) c cos ? a , c ?? 所以 t ? ?

3 ……5 分 23

a ? c ?7 7 2 ……10 分 ? ?? a 2 2

18.解: (Ⅰ ) (1)∵a ? b ,∴a ? b =sinθ-2cosθ=0,即 sinθ=2cosθ, 又∵ sin2θ+cos2θ=1, 1 4 ∴ 4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ= ,∴ sin2θ= , 5 5 2 5 5 ?0,π?,∴ 又 θ∈ sinθ= ,cosθ= . ……6 分 ? 2? 5 5 (Ⅱ )∵ 5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)= 5cosφ+2 5sinφ=3 5cosφ, 1 ∴ cosφ=sinφ,∴ cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即 cos2φ= . 2 π 2 ∵ 0<φ< ,∴ cosφ= .……12 分 2 2 19 解: (Ⅰ )C ?

2? 2? ? A且0 ? A ? 3 3

所以 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

? 2? 3 3 ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) 6 3 2 2
?
1 )?( , 1] 6 2

?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

? sin( A ?

? sin A ? sin C的取值范围是 (
(Ⅱ )令 t ? sin A ? cos A ?

3 , 3 ] ……6 分 2

?? ? 2 sin ? A ? ? 4? ?

-5-

由 A ? ? 0,

? ? ? 3? ? ?? ? 得 A ? ?? , 4 ?4 4 ? 2?

? ? ……8 分 ?

2 2 所以 t ? 1, 2 ? ? ,则 2sin A cos A ? t ?1,于是 y ? t ? t ? 1 ,

?

所以当 t ?

2 时, ymax ? 1 ? 2 ,此时 A ?

?
4

.……12 分

20.解: (Ⅰ ) f ( x) ? 由题意,

1 ? cos 2? x 3 ? 1 ? sin 2? x ? sin(2? x ? ) ? . 2 2 6 2

T ? 2? ? ,即 T ? ? ,所以 ? ? ,即 ? ? 1 . 2 2 2? ? 1 从而 f ( x ) ? sin(2 x ? ) ? ,……4 分 6 2
令 2x ?

?
6

? k? ,则 x ?

k? ? ? k? ? ? ? , 0 ? ? k ? Z ? ……6 分 ? 所以对称中心为 ? 2 12 ? 2 12 ?
)? 1 2
由 2 k? ?

(Ⅱ ) f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 可得:

? ?? ? x ? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 时 f ? x ? 为单调递增函数……8 分 6 3? ?
? ? ? ? 5? ? x ??0, ? ? ∴ f ? x ? 单调递增区间为 ?0, ? , ? , ? ? ……12 分 ? 3? ? 6 ?
3x x 3x x 21.解: (Ⅰ ) a ? b ? cos cos ? sin sin ? cos 2 x ……2 分 2 2 2 2

| a ? b |? 2 cos x, x ? [0, ] 2

| a ? b | ? 1 ? 2 cos2x ? 1 ? 2(1 ? cos2x) ? 4 cos2 x ? ……4 分
2

(Ⅱ ) f ( x) ? a ? b ? 4 | a ? b |? cos2x ? 8 cos x

? 2 cos2 x ? 8 cos x ? 1 ? 2(cosx ? 2) 2 ? 9 ? ∴ cos x ? [0,1] 又 x ? [0, ] f ( x) ? [?7,?1] ……8 分 2 2 (Ⅲ )由 g ( x) ? 2 ? 0 得: 2c o s x ? 2t c o s x ?1 ? 0 ?? ? 4t 2 ? 8 ? 0 ? 2t ? 0 ? ? ?1 ? 2 令 cos x ? u ??0,1? F (u) ? 2u ? 2tu ? 1 ∴ ? 4 ?F (0) ? 0 ? ? ?F (1) ? 0 ∴ t ? [ ? 3 ,? 2 ) ……12 分 2

……10 分

-6-

π 1 7 2 2 22.解: (Ⅰ )∵ 0<α< ,tanα= ,∴ cosα= ,sinα= . 2 7 10 10 π 10 4 3 又∵ 0<β< ,sinβ= ,∴ 0<2β<π,cos2β=1-2sin2β= ,sin2β= 1-cos22β= . 2 10 5 5 7 2 4 2 3 2 于是 cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β= ×- ×= . 10 5 10 5 2 3 π 由已知条件知 0<α+2β< π,∴ α+2β= .……6 分 2 4

3 4 ? ?? sin 2 ? ? , n t2 另解: 由 0<2β<π, cos2β=1-2sin2β= , 可得出 2 ? ? ? 0, ? , 则a 5 5 ? 2?
所以 tan ?? ? 2? ? ?

??

3 , 4

tan ? ? tan 2? π ? 1,又 ? ? 2? ? ? 0, ? ? ,故 α+2β=4 1 ? tan ? tan 2?
……6 分

(Ⅱ )解:以 MA , NB , PC 作为三边的长能构成一个三角形,证明如下: ∵? , ? ? ? 0,

? ?? ? ,∴? ? ? ? ? 0, ? ? ? 2?

∴ MA ? sin ? , NB ? sin ? , PC ? sin ?? ? ? ? ∵? , ? ? ? 0,

? ?? ? ,所以 cos? ? ? 0,1? , cos ? ?? 0,1? ,于是有: ? 2?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ①……8 分
又∵? ? ? ? ? 0, ? ? ,∴cos ?? ? ? ? ? ? ?1,1? ,于是有:

sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ②
同理: sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ③ 由① ② ③ 可知,以 MA , NB , PC 作为三边的长能构成一个三角形.……12 分

-7-


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