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2015北京高考数学(理科)答案

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理 科数学试题答案与解析
1. 解析 2. 解析

i ? 2 ? i ? ? 2i ? i2 ? 1 ? 2i .故选 A.
不等式组表示的可行域如图所示

因此,可知目

标函数在 ? 0,1? 处取得最大值 2.故选 D.
y (0,1)

x-y=0 1 1 , 2 2 O (1,0)

? ?
x x+y=1

3. 解析

s ?0, t ? 2, x ? 0 ,y ? 2 , k ?1; s ? ?2 , t ? 2, x ? ?2 , 运行程序的过程如下:

y ? 2 , k ? 2 ; s ? ?4 , t ? 0 , x ? ?4 , y ? 0 , k ? 3 ;结束.
所以输出的结果为 ? ?4,0? .故选 B. 4. 解析 根据面面平行的性质,若两个面平行,则一个平面内的任意一条直线与另一个平 面平行;根据面面平行的判定,若一个平面的两条相交直线分别平行另一个平面.才能推出 面面平行,所以“ m //? ”是“ ? //? ”的必要而不充分条件.故选 B. 三视图对应的立体图形如图所示, S△ ABC ?

5. 解析

1 ? 2 ? 2 ? 2 , AC ? BC ? 5 , 2

1 5 △ ABP 是以 AB 为底的等腰三角形, S△ ACP ? S△BCP ? ? 5 ?1 ? ,AP ? BP ? 6 , 2 2
高 ? 6 ? 1 ? 5 ,所以 S△ ABP ?

1 ? 2? 5 ? 5 . 2

综上所述,表面积 S ? 2 ?

5 5 ? ? 5 ? 2 ? 2 5 .故选 C. 2 2

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P A

C B

6. 解析 正确.

依题意, ?an ? 是等差数列,若 a1 ? a2 ? 0 ,并不能推出 a2 ? a3 ? 0 ;故选项 A 不

对于 B 选项,若 a1 ? a3 ? 0 ,并不能推出 a1 ? a2 ? 0 ;故选项 B 不正确. 对于 C 选项,若 0 ? a1 ? a2 ,则 d ? a2 ? a1 ? 0 , a2 ? a1a3 ? a2 ? ? a2 ? d ?? a2 ? d ? ?
2 2
2 2 a2 ? ? a2 ? d 2 ? ? d 2 ? 0 ,因此 a2 ? a1a3 ,故选项 C 正确.

对于 D 选项, 若 a1 ? 0 , 则 ? a2 ? a1 a ? ?? 2 a 3 故选 C. 7. 解析

? ? d ?

2

并不能推出 ? a2 ? a1 ?? a2 ? a3 ? ? 0 . ? 0,

函数不等式的求解,利用函数图像求解不等式 .在同一坐标系中画出 y ? f ? x? 及

y ? log2 ? x ? 1? 的图像,如图所示.可知 f ? x ? …log 2 ? x ?1? 的解集为 ? ?1,1? .故选 C.
y 2 C

A -1

O

1

B 2

x

8. 解析 通过图像逐一研究. 对于 A 选项,由图可得,乙图纵坐标的最大值大于 5,故选项 A 不正确; 对于 B 选项,由图可得,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故选 项 B 不正确; 对于 C 选项,由图可得,甲车以 80km / h 的速度行驶,其“燃油效率”为 10km / L ,若甲 车行驶 1 小时,消耗 8 升汽油,故选项 C 不正确; 对于选项 D,对于机动车最高限速 80km / h ,相同条件下,丙车比乙车更省油.故选 D. 9. 解 析

?2 ? x?

5

展 开 式的 通项 公 式 Tr ?1 ? C5 2
r

5?r

xr , ? r ? 0,1,2, ,5? , x3 的 系数 为

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2 C3 5 2 ? 40 .

10. 解析

依题意,双曲线

x 1 x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? ,则 ? ? ? 3 ,得 2 a a a

a?

3 . 3
极 坐 标 中 的 点 ? 2,

11. 解 析

? ?

π? ? 对 应 直 角 坐 标 系 中 的 点 为 1, 3 , 极 坐 标 方 程 3?

?

?

? cos? ? 3 sin ? ? 6 对应的直角坐标系方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,根据点到直线的距离公
式 d?

?

?

1? 3 ? 6 ?1 . 2
在 △ ABC 中,

12. 解析

sin 2 A 2sin A cos A sin A a ? ? ,由余弦定理 ,由正弦定理得 sin C sin C sin C c

sin 2 A 4 3 b2 ? c 2 ? a 2 52 ? 62 ? 42 3 ? 2? ? ?1. ? ? ,因此 得 cos A ? sin C 6 4 2bc 2? 5? 6 4
13. 解析 在 △ ABC 中,点 M 满足 AM ? 2MC ,点 N 满足 BN ? NC ,

则 MN ? MC ? CN ?

1 1 1 1 1 1 1 AC ? CB ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC ,因此 x ? , 2 3 2 3 2 2 6

?

?

1 y?? . 6

A

M B N C
x ? ?2 ? 1, x ? 1, . 4 x ? 1 x ? 2 , x … 1. ? ?? ? ? ?

14. 解析

(1)若 a ? 1 , f ? x ? ? ?

函数 f ? x ? 的值域为 ?1, ??? ,因此 f ? x ? 的最小值为 ?1 . (2)依题意,函数 y ? 2x ? a ? x ? 1? 至多有一个零点.

?

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若函数 f ? x ? 恰有两个零点,则有两种情形:
x ① 函数 y ? 2 ? a 在 ? ??,1? 上无零点,则 a ? 0 或 a …2 ,

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? 4 ? x ? a ?? x ? 2a ? 在 ?1, ?? ? 上无零点; 当 a …2 时,函数 f ? x ? ? 4 ? x ? a ?? x ? 2a ? 在 ?1, ?? ? 上有两个零点, 故 a …2 ; ② 函数 y ? 2 ? a 在 ? ??,1? 上有 1 个零点,则 0 ? a ? 2 ,
x

此时函数 f ? x ? ? 4 ? x ? a ?? x ? 2a ? 在 ?1, ?? ? 上恰有一个零点,故 ?

?a ? 1 , ?2a …1

解得

1 ? a ? 1. 2

综上,若函数 f ? x ? 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

? 2, ?? ? .

15. 解析

(1) f ? x ? ?

x x 1 ? cos x 2 2 2 2 sin cos ? 2 ? ? sin x ? cos x ? ? 2 2 2 2 2 2

π? 2 ? ,函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? 2 π . sin ? x ? ? ? 4? 2 ?
(2)当 ? π 剎x

0 时, ?

3π π 剟x ? 4 4

π π? ? , ?1 剟sin ? x ? ? 4 4? ?

2 ,函数 f ? x ? 在区间 2

??π,0? 的最小值为 ?1 ?
16. 解析

2 . 2
3 ,即甲的康复时间不少于 14 天的 7

(1)设甲的康复事件为 ? ,则 P ? ? …14 ? ?

概率为

3 . 7

(2)设乙的康复事件为? ,集合 A ? ?10,11,12,13,14,15,16? ,

B ? ?12,13,14,15,16,17,25? ,则选取病人的基本事件空间为 ??? ,? ? ? ? A,? ? B? ,共 49
个基本事件, 其中符合题意的基本事件为: ?13,12? ,?14,12? ,?14,13? ,?15,12? ,?15,13? ,

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?15,14? , ?16,12? , ?16,13? , ?16,14? , ?16,15? ,共10 个,从而 P ?? ? ? ? ? 49 .
(3)可以看出 A 组 7 个连续的正整数, B 组为 12 至 17 共 6 个连续的正整数和 a ,从而 a ? 11 或 18 时,两组离散程度相同,即方差相等. 17. 解析 (1)因为 △ AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点,所以 AO ? EF ,又因为平 面 AEF ? 平面 EFCB , 平面 AEF 平面 EFCB = EF ,AO ? 平面 AEF , 所以 AO ? 平 面 EFCB ,所以 AO ? BE . (2)取 BC 的中点为 D ,连接 OD ,因为四边形 EBCF 是等腰梯形,所以 OD ? EF . 以 O 为原点 OE , OD , OA ,为 x , y , z 轴建立直角坐标系,如图所示,
z A

10

F

C

O

y

E x B

则 A 0,0, 3a

? ? , E ? a,0,0? , B ? 2, 3 ? 2 ? a ? ,0? , 所 以 A E? ? , a0?, ?3a, BE ? ? a ? 2, 3 ? a ? 2 ? ,0 ? ,设平面 AEF 的法向量为 m ,显然 m ? ? 0,1,0? ,
? ? AE ? n ? 0 ? ? BE ? n ? 0
, 即?

设平面 ABE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则有 ? 所以 n ?

? ?ax ? 3az ? 0 ? ?? a ? 2 ? x ? 3 ? a ? 2 ? y ? 0



?

3, ?1,1 .

?

所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值的绝对值为 cos m, n ?

m?n 5 ,又因为二面角 ? m n 5
5 . 5

F ? AE ? B 为钝二面角,则二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

( 3 ) 由 ( 1 ) 知 AO ? BE , 若 BE ? 平 面 A O C , 只 需 BE ? OC 即 可 , 由 ( 2 ) 知

BE ? a ? 2, 3 ? a ? 2 ? ,0 , OC ? ?2, 3 ? a ? 2 ? ,0 , BE ? OC ? 0 ,
得 ?2 ? a ? 2 ? ? 3 ? a ? 2 ? ? 0 ,解得 a ? 2 (舍)或 a ?
2

?

?

?

?

4 . 3

18. 解析

(1)由题可知函数 f ? x ? 的定义域是 ? ?1,1? ,则 f ? ? x ? ?

2 , f ? ? 0? ? 2 , 1 ? x2

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f ? 0? ? 0 ,从而曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线方程为 y ? 2 x .
(2)构造辅助函数证明不等式. 设 g ? x? ? f ? x? ? 2? x ?

? ?

2 2 x4 x3 ? 2 ? g x ? ? 2 1 ? x ? ,则 , , g 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? x2 1 ? x2 3?

当 x ? ? 0,1? 时, g? ? x ? ? 0 ,即 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,从而 g ? x ? ? g ? 0? ? 0 , 即 f ? x? ? 2? x ?

? ?

x3 ? ? 对任意 x ? ? 0,1? 恒成立. 3? ? 1? x x3 ? ? k ? x ? ? , x ? ? 0,1? , 又 P ? 0? ? 0 , 若 P ? x ? ? 0 对 1? x 3? ?
2 ? k ?1 ? x 2 2 ? k 1 ? x ? ? ? 1 ? x2 1 ? x2
4

( 3 ) 构 造 函 数 P ? x ? ? ln

?x ? ? 0,1? 恒 成 立 , 则 P? ? 0? …0 , 又 P? ? x ? ?

? ,即

? x3 ? ,得 k ? 2 ,又当 k ? 2 时, f ? x ? ? 2 ? x ? P? ? 0? ? 2? k … 0 ? 对 x ? ? 0,1? 恒成立,因 3 ? ?
此 k 的最大值为 2. 19. 解析 (1)因为 e ?

c 2 b 2 2 ,所以 ? 1 ? e ? , ? a 2 a 2

又点 P ? 0,1? 在椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上,则 b ? 1 , a ? 2 ,因此椭圆 C 的方 a 2 b2

程为

n ?1 m x2 x ? 1 ,令 y ? 0 ,可得 x ? ? y 2 ? 1 ,直线 PA 的方程: y ? ,所以点 M m 1? n 2

的坐标是 ?

? m ? ,0 ? . ?1? n ?
?n ? 1 x ?1, 令 y ? 0, m

y? (2) 点 B 与 A 关于 x 轴对称, 所以 B ? m, ?n ? , 直线 PB 的方程:
所以可得 x ?

m ? m ? ,则 N ? ,0 ? ,因为 ?OQM ? ?ONQ , 1? n ?1? n ?

所以 tan ?OQM ? tan ?ONQ ,所以

OM OQ 2 ,即 OQ ? OM ON , ? OQ ON

因为 OQ ? OM ON ?

2

m m m2 ? ? ,又点 A? m, n ?? m ? 0? 在椭圆 C 上,所以 1 ? n2 1 ? n 1 ? n2

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m2 m2 m2 2 ? n 2 ? 1 ,即 1 ? n 2 ? ,所以 OQ ? 2 ? 2 ,得 Q 0, ? 2 . m 2 2 2

?

?

20. 解析

(1) 6 , 12 , 24 .

(2)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数. 由 an ?1 ? ?

?2an , an ? 18 ,可归纳证明对任意 n …k , an 是 3 的倍数. 2 a ? 36, a ? 18 n ? n

如果 k ? 1 ,则 M 的所有元素都是 3 的倍数; 如果 k ? 1 ,因为 ak ? 2ak ?1 或 ak ? 2ak ?1 ? 36 ,所以 2ak ?1 是 3 的倍数,或 2ak ?1 ? 36 是 3 的倍数, 于是 ak ?1 是 3 的倍数.类似可得,ak ?2 , ?,a1 都是 3 的倍数.从而对任意 n …1 ,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. (3)由 a1 ? 36 , a1 ? N* , an ? ?

? 2an ?1 , an ?1 ? 18 ,可归纳证明 an ? 36 ? n ? 2,3, ? 2an ?1 ? 36, an ?1 ? 18

?.

因为 a1 是正整数, a2 ? ?

?2a1, a1 ? 18 ,所以 a2 是 2 的倍数. ?2a1 ? 36, a1 ? 18

从而当 n …3 时, an 是 4 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由( 2 )知对所有正整数 n , an 是 3 的倍数,因此当 n …3 时,

an ??12, 24,36 ? ,这时, M 中的元素的个数不超过 5.如果 a1 不是 3 的倍数,由(2)知,
对所有的正整数 n ,an 不是 3 的倍数,因此当 n …3 时,an ??4,8,16,20,28,32? ,这时 M 的元素的个数不超过 8. 当 a1 ? 1 时, M ? ?1,2,4,8,16,20,28,32? 有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8.

本文由洞穿高考数学辅导丛书研发部提供


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