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杨浦区2014学年(2014-2015年)第一学期高三年级数学理科试题01.08


杨浦区 2014 学年第一学期高三年级数学理科试题 一、填空题: 1、已知 sin ? ?

1 , ? ? (0, ? ) ,则 ? ? 2

2、设 A ? ?x | 1 ? x ? 2?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R?,若 A ? B ,则 m 的取值范围是 3、已知等差数列 ?an ? 中,

a3 ? 7 , a7 ? 3 ,则通项公式 an ? 4、已知直线 l 经过点 A(1,?2) , B(?3,2) ,则直线 l 的方程是 5、函数 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数 f 6、二项式 ? x ?
?1

( x) ?

? ?

1? ? 的展开式(按 x 的降幂排列)中的第 4 项是 x?

9

7、已知条件 p : x ? 1 ? 2 ;条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 8、向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 m ? 9、一家 5 口春节回家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票:
窗口
6排 A座 6排 B座 6排 C座

走廊

6排 D座

6排 E座

窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一,则座位的 安排方式一共有 种.

10、在底面直径为 6 的圆柱形容器中,放入一个半径为 2 的冰球,当冰球全部融化后,容器中液面的高度 为 .(相同质量的冰与水的体积比为 10 : 9)

11、不等式 log2 (4 x ? 3) ? x ? 1的解集是 12、设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b c ,若

a?b?c 3a ? 0 ,则角 b a?b?c

C?
13、已知 ? ? ?

1 3 ? i ,集合 A ? z | z ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 , n ? N ? ,集合 B ? {x | x ? z1 ? z 2 , z1 、 2 2

?

?

z 2 ? A} ( z 1 可以等于 z 2 )则集合 B 的子集个数为

1

14、如图所示,已知函数 y ? log2 4 x 的图像上的两点

A 、B 和函数 y ? log2 x 上的点 C , 线段 AC 平行于 y
轴,三角形 ABC 为正三角形,点 B 的坐标 为 ( p, q) ,则 p 2 ? 2 q 的值为 二、填空题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每 题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号 上,填-上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分。 15、程序框图如图所示,若其输出结果是 140 , 则判断框中填写的是( ) (A) i ? 7 (B) i ? 8 (C) i ? 7 (D) i ? 8 16、下列命题中正确的是( )D (A)若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根
3

开始

i=1,s=0

i=i+1

(B)若 z1 ? C , z 2 ? C ,且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 (C)若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立; (D)若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数
2
2

s=s+i2

是 否 输出 s 结束

17、圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与 x 轴和抛物线的准线都 相切的一个圆的方程是(
2 2



(A) x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 (C) x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

1 2 2 (B) x ? y ? x ? 2 y ? ? 0 4 1 2 2 (D) x ? y ? x ? 2 y ? ? 0 4

18、对于数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ?a n , bn ? 满足下列条件:
? ① ?a n ?1 , bn ?1 ???a n , bn ?(n ? N ) ;② lim(bn ? a n ) ? 0 , ?

n ??

则称 ? ?an , bn ??为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是( (A) a n ? ? ? , bn ? ? ? ;



?1? ?2?

n

?2? ?3?

n

(B) a n ? ? ? , bn ?

?1? ? 3?

n

n n ?1
2

n ?1 ?1? (C) a n ? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?

n

(D) a n ?

n?3 n?2 , bn ? n?2 n ?1

2

三、解答题: (本大题满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 各小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1 ,异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 60 ,求:
0

(1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; (2)三棱锥 B1 ? ABC1 的体积.
A1

D1 B1

C1

C D

A

B

20、 (本题满分 14 分)本题共 2 各小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 如图,有一块扇形草地 OMN ,已知半径为 R , ?MON ?

?
2

,现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作

为儿童乐园使用,其中点 A 、 B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN . (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S ; (2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?
D C O

M

N

A

B

3

21、 (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 3 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分.

ax2 ? 1 已知函数 f ( x) ? 是奇函数, a, b, c 为常数. bx ? c
(1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? Z ,且 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 f ( x) 的解析式; (3)对于(2)中的 f ( x) ,若 f ( x) ? m ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4

22、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 3 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 6 分.

x2 y2 x2 y2 如图,曲线 ? 由曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和曲线 C 2 : 2 ? 2 ? 1( y ? 0) 组成,其中点 a b a b

F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C 2 所在圆锥曲线的焦点.
(1)若 F2 (2,0) , F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2) 如图, 作直线 l 平行于曲线 C 2 的渐近线, 交曲线 C1 于点 A 、B , 求证: 弦 AB 的中点 M 必在曲线 C 2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C 、 D ,求△ CDF1 面积的最大值.
y

F3

F1 0

F2 B

F4 x

A

5

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分
2 3 数列 ?an ? 各项均不为 0 ,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? S n .

(1)若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2)求证: an ? n(n ? N ? ) 是满足已知条件的一个数列; (3)请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014;若还能构造其他符合要求的数 列,请一并写出(不超过四个).

6

杨浦区 2014 学年第一学期高三年级数学理科试题参考答案 一、填空题: (本大题共 14 题,每小题 4 分,共 56 分) 1、已知 sin ? ?

1 ? 5? , ? ? (0, ? ) ,则 ? ? 或 2 6 6 2 、 设 A ? ?x | 1 ? x ? 2? , B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R? , 若 A ? B , 则 m 的 取 值 范 围 是 ? 1 ? ?? 2 ,0? ? ?
3、已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7 , a7 ? 3 ,则通项公式 an ? 4、已知直线 l 经过点 A(1,?2) , B(?3,2) ,则直线 l 的方程是 5、函数 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数 f 6、二项式 ? x ?
?1

10 ? n(n ? N ? ) x ? y ?1 ? 0

( x) ?

? x ? 1( x ? ?1)

1? ? 84x 3 ? 的展开式(按 x 的降幂排列)中的第 4 项是 x? 7 、 已 知 条 件 p : x ?1 ? 2 ; 条 件 q : x ? a , 若 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 则 a 的 取 值 范 围 是 a ?1 1 ? 8、向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 m ? 2
9、一家 5 口春节回家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票:
窗口
6排 A座 6排 B座 6排 C座

? ?

9

走廊

6排 D座

6排 E座

窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一,则座位的 安排方式一共有

30

种.

10、在底面直径为 6 的圆柱形容器中,放入一个半径为 2 的冰球,当冰球全部融化后,容器中液面的高度 为

16 15
x

.(相同质量的冰与水的体积比为 10 : 9)

11、不等式 log2 (4 ? 3) ? x ? 1的解集是

?log2 3,???
a?b?c 3a ? 0 ,则角 b a?b?c

12、设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b c ,若

C?
13、已知 ? ? ?

? 3

1 3 ? i ,集合 A ? z | z ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 , n ? N ? ,集合 B ? {x | x ? z1 ? z 2 , z1 、 2 2 16 z 2 ? A} ( z 1 可以等于 z 2 )则集合 B 的子集个数为

?

?

14、如图所示,已知函数 y ? log2 4 x 的图像上的两点

A 、B 和函数 y ? log2 x 上的点 C , 线段 AC 平行于 y
轴,三角形 ABC 为正三角形,点 B 的坐标 为 ( p, q) ,则 p ? 2 的值为
2 q

12 3

7

二、填空题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,填-上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分。 15、程序框图如图所示,若其输出结果是 140 , 则判断框中填写的是( )B 开始 (A) i ? 7 (B) i ? 8 (C) i ? 7 (D) i ? 8 16、下列命题中正确的是( )D
i=1,s=0

(A)若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根
3

(B)若 z1 ? C , z 2 ? C ,且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 (C)若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立;

2

i=i+1

s=s+i2

(D)若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数
2



17、圆心在抛物线 y ? 2 x 上,且与 x 轴和抛物线的准线都
2

输出 s 结束

相切的一个圆的方程是(

)D

(A) x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 (C) x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

1 ?0 4 1 2 2 (D) x ? y ? x ? 2 y ? ? 0 4
(B) x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

18、对于数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ?a n , bn ? 满足下列条件:
? ① ?a n ?1 , bn ?1 ???a n , bn ?(n ? N ) ;② lim(bn ? a n ) ? 0 , ?
n ??

则称 ? ?an , bn ??为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

)C

?2? ?1? (A) a n ? ? ? , bn ? ? ? ; ?3? ?2?
(C) a n ?

n

n

n ?1? (B) a n ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ? 3?
(D) a n ?

n

n ?1 ?1? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?

n

n?3 n?2 , bn ? n?2 n ?1

三、解答题: (本大题满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 各小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1 ,异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 60 ,求:
0

(1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; 3 (2)三棱锥 B1 ? ABC1 的体积. 解: (1)∵ AD // BC , ∴ ?CBC1 为异面直线 AD 与 BC1 所成角,∴ ?CBC1 ? 60 ,……………… 2 分
0

3 6

8

∵正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,∴ A1 B1 // 平面 ABCD ,

D1 B1

C1

BB1 ? 平面 ABCD ,
∴线段 BB1 的长为线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离,…… 4 分 在 Rt △ BCC1 中, BC ? 1 , ?CBC1 ? 600 ,

A1

C

∴ BB1 ? CC1 ? 3 ,

………………………… 5 分 …… 6 分
A

D

∴线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离为 3 . (2) VB1 ? ABC1 ? V A? BB1C1 ?

B

1 1 1 3 . S ?BB1C1 ? AB ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 3 2 6

………………… 6 分

20、 (本题满分 14 分)本题共 2 各小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 如图,有一块扇形草地 OMN ,已知半径为 R , ?MON ?

?
2

,现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作

为儿童乐园使用,其中点 A 、 B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN . (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S ; (2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少? 解: (1)如图,作 OH ? AB 于点 H ,交线段 CD 于点 E , 连结 OA , OB , ∴ ?AOB ?
O

?
6



D

C E

∴ AB ? 2 R sin

?
12

, OH ? R cos

?
12



OE ? DE ?

1 ? AB ? R sin , 2 12

M

N

? ?? ? EH ? OH ? OE ? R? cos ? sin ? , 12 12 ? ?
S ? AB ? EH ? 2 R sin

H A B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R? cos ? sin ? ? R 2 ? 2 sin cos ? 2 sin 2 ? 12 ? 12 12 ? 12 12 12 ? ?

?

? ? 3 ?1 2 ? ? ? R 2 ? s i n ? c o s ? 1? ? R . 6 6 ? 2 ?
(2)设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? 则 AB ? 2 R sin

?
2

)

?
2

, OH ? R cos

?
2

, OE ?

1 ? AB ? R sin , 2 2

∴ EH ? OH ? 0 E ? R? cos

? ?

?

?? ? sin ? , 2 2?
9

S ? AB ? EH ? 2 R sin

?

? ?? ? ? ?? ? ? ? R? cos ? sin ? ? R 2 ? 2 sin cos ? 2 sin 2 ? 2 ? 2 2? 2 2 2? ?

? ?? ? ? ? R2 ( s i ? n?c o? s ? 1) ? R 2 ? 2 s i n ?? ? ? ? 1? , 4? ? ? ?
∵ ? ? ? 0, ∴? ?

? ? ? 3? ? ? ?? ? ,∴ ? ? ? ? , ? 4 ?4 4 ? ? 2?
4 ?

?

?
2

,即 ? ?

?
4

时,

S max ?

?

2 ? 1 R 2 ,此时点 A 在弧 MN 的四等分点处.

?

答:当点 A 在弧 MN 的四等分点处时, S max ?

?

2 ?1 R2 .

?

请学生在研究其他解法. 21、 (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 3 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分. 已知函数 f ( x) ?

ax2 ? 1 是奇函数, a, b, c 为常数. bx ? c

(1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? Z ,且 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 f ( x) 的解析式; (3)对于(2)中的 f ( x) ,若 f ( x) ? m ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: (1)∵ f (? x) ? ? f ( x) ,∴ ∴ ? bx ? c ? ?bx ? c , ∴c ? 0.

ax2 ? 1 ax2 ? 1 ?? , ? bx ? c bx ? c

? a ?1 ?2 ? (2)∵ f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,∴ ? b , 4a ? 1 ? ?3 ? 2b ? 4a ? 1 ? a ? 1 ? 2b ∴ ? 4a ? 1 ? ? 3 ? ?1 ? a ? 2 , ?3 a ?1 ? ? 2b ∵ a ? Z ,∴ a ? 0 或 a ? 1 , 1 当 a ? 0 时, b ? (舍) 2
x2 ?1 当 a ? 1 时, b ? 1 ,∴ f ( x) ? . x
(3)∵ f ( x) ?

x2 ?1 , x
10

∴x?

1 1 ? m ? 2 x ? m ? 3x ? 对 x ? (0,??) 恒成立, x x 1 3 ? 2 3 ,当且仅当 x ? 时等号成立, x 3

∵ 3x ?

即当 x ?

3 1? ? 时, ? 3x ? ? ? 2 3. 3 x ? min ?

故m ? 2 3. 22、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 3 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 6 分.

x2 y2 x2 y2 如图,曲线 ? 由曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和曲线 C 2 : 2 ? 2 ? 1( y ? 0) 组成,其中点 a b a b

F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C 2 所在圆锥曲线的焦点.
(1)若 F2 (2,0) , F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2) 如图, 作直线 l 平行于曲线 C 2 的渐近线, 交曲线 C1 于点 A 、B , 求证: 弦 AB 的中点 M 必在曲线 C 2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C 、 D ,求△ CDF1 面积的最大值.
y

解: (1) ?

?a ? b ? 36 ?a ? 20 ?? 2 2 2 ? a ?b ? 4 ? b ? 16
2 2 2
F3 F1 0 B F2 F4 x

曲线 ? 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 和 ? ? 1( y ? 0) … 3 分 20 16 20 16
(2)曲线 C 2 的渐近线方程为 y ? ? 设直线 l 的方程为 y ?

b x ,…………… 4 分 a
…………… 5 分

A

b ( x ? m) , a

b ? y ? ( x ? m) ? ? ? 2 x 2 ? 2m x ? ( m 2 ? a 2 ) ? 0 则? 2 a 2 ? x 2 ? y2 ? 1 ? b ?a

…………… 6 分

? ? (2m) 2 ? 4 ? 2 ? (m 2 ? a 2 ) ? 0 ? ? 2a ? m ? 2a , …………… 7 分
由数形结合知 m ? a ,∴ a ? m ?

2a

设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y0 ) ,

11

则?

? x1 ? x 2 ? m ? m2 ? a2 , x x ? 1 2 ? 2 ?

…………………………………………………………… 8 分

∴ x0 ?

x1 ? x 2 m b b m ? , y 0 ? ( x0 ? m) ? ? ? , …………………………… 9 分 a a 2 2 2
b b x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x . a a
…………………………………… 10 分

∴ y0 ? ?

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ,点 F4 (6,0) , (3)由(1)知曲线 C1 : 20 16
设直线 l1 的方程为 x ? ny ? 6(n ? 0)

? x2 y2 ? ? ? 1 ? (4n 2 ? 5) y 2 ? 48ny ? 64 , ………………………………… 11 分 由 ? 20 16 ? ? x ? ny ? 6

? ? (48n) 2 ? 4 ? 64? (4n 2 ? 5) ? 0 ? n 2 ? 1,
设 C( x3 , y3 ) , D( x4 , y 4 ) ,

? 48n ? ? y 3 ? y 4 ? 4n 2 ? 5 由韦达定理: ? , 64 ? y3 ? y 4 ? 2 4n ? 5 ?
∴ y3 ? y 4 ?

………………………………………… 12 分

( y3 ? y 4 ) 2 ? 4 y3 y 4 ? 16 5 ?

n2 ?1 , 4n 2 ? 5
……………… 13 分

S ?CDF1 ? S ?CF1F4 ? S ?DF1F4 ?
令t ?

1 n2 ?1 . F1 F4 ? y3 ? y 4 ? 64 5 ? 2 2 4n ? 5

n 2 ? 1 ? 0 ,∴ n 2 ? t 2 ? 1 ,
t 4t ? 9
2

∴ S ?CDF1 ? 64 5 ?

? 64 5 ?

1 9 4t ? t

,…………………………………………… 14 分

∵ t ? 0 ,∴ 4t ?

9 3 13 ? 12 ,当且仅当 t ? ,即 n ? 时等号成立. t 2 2

∴n ?

1 16 5 13 ? 64 5 ? ? 时, S ?CDF1 .…………………………………………… 16 分 max 12 3 2

12

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分
2 3 数列 ?an ? 各项均不为 0 ,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? S n .

(1)若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2)求证: an ? n(n ? N ? ) 是满足已知条件的一个数列; (3)请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014;若还能构造其他符合要求的数 列,请一并写出(不超过四个).
3 解: (1) n ? 1 时, T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1(a1 ? 0 舍去)………………………………… 1 分 2 3 3 3 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? a1 ? a2 ? (a1 ? a2 ) 2 ? 1 ? a2 ? (1 ? a2 ) 2 ? a2 ? 2 或 a2 ? ?1(a2 ? 0 舍去)

2 3 3 3 n ? 3 时, T3 ? S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) 2 , 3 当 a 2 ? 2 时, 1 ? 8 ? a3 , ? (1 ? 2 ? a3 ) 2 ? a3 ? 3 或 a3 ? ?2(a3 ? 0 舍去) 3 当 a2 ? ?1 时, 1 ? 1 ? a3 ? (1 ? 1 ? a3 ) 2 ? a3 ? 1(a3 ? 0 舍去) ……………………………… 3 分

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,?2 ; 1,?1,1 .

……………………………………………… 4 分

(2)由 an ? n(n ? N ? ) ,即证 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2 ,………………… 5 分 即证 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
3 3 3 3

n 2 (n ? 1) 2 . 4

用数学归纳法证:

1 0 当 n ? 1 时, 13 ? 12 成立;
0

………………………………………………………… 6 分
3 3

k 2 (k ? 1) 2 2 假设 n ? k 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? 成立, 4
3 3 3 3 3 3 3 当 n ? k ? 1 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ?

………………………………… 7 分

k 2 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) 3 4

?
?

k 2 (k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) 3 (k ? 1) 2 (k 2 ? 4k ? 4) (k ? 1) 2 (k ? 2) 2 ? ? ,……… 9 分 4 4 4

∴ an ? n(n ? N ) 时等式也成立. 由 1 、 2 ,对任意 n ? N ,都有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ,
0 0

?

3

3

3

3

2

所以 an ? n(n ? N ) 是满足已知条件的一个数列.

?

…………………………………………… 10 分

13

2 3 3 3 (3)∵ S n , ? a1 ? a2 ? ? ? an



2 3 3 3 3 Sn ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ,② 3 ②—① 得 a3 (S n?1 ? S n ) ? an ?1 , 2 ∵ a3 ? 0 ,∴ S n?1 ? S n ? an ?1 ,③ 2 当 n ? 2 时, S n ? S n?1 ? an , ④

……………………… 11 分

③—④得

2 2 an?1 ? an ? an ?1 ? an ,

…………………… 12 分

∴ (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 (n ? 2) . ∴ an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1(n ? 2) …………………… 14 分

构造:即数列 ?an ? 是公比为 ? 1 的等比数列或是公差为 1 的等差数列即可.

n (n ? 2014 ,n? N?) ? i ) an ? ? n ,n? N?) ?2014? (?1) (n ? 2015
(n ? 2014 ,n? N?) ? n ? (n ? 2015 ) ii) a n ? ?? 2014 ? n ? 2 (n ? 2016 ,n? N?) ?

……………… 15 分

…………………… 16 分

(n ? 2014 ,n? N?) ? n ? ,n? N?) iii ) a n ? ?n ? 4029 (2015? n ? 4028 ?n ? 4028 (n ? 4029 ,n? N?) ?

……………… 17 分

(n ? 2014 ,n? N?) ? n ?? 2014 (n ? 2015 ) ? ? iv) a n ? ? 2014 (n ? 2016) ?? 2014 (n ? 2017) ? ? ,n? N?) ? n ? 4 (n ? 2018

……………………… 18 分.

点评:从以上解题过程可以得出学生冷静分析题目的条件和要求,解答出第 1 小题和第 2 小题是可以做到 的。第 3 小题,由条件 Tn ? S n 得到 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,由此往下进行数学演绎推理也是不难的.
2 2 3 3 3

14

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