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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷


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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理工农医类)

本试卷共 4 面,满分 150 分,考试时间 120 分钟
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘巾在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上

,对应题目的答案标号涂写,如写改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效。 3. 非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题 卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本次题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2. 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则 A. “x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件 D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 3. 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则球的体积为 A.
8? 3

B.
1
2

8 2? 3

C. 8 2?
? x ? 3 x ? 4 ) 的定义域为
2

D.

32 ? 3

4. 函数 f(x)= 1n ( x ? 3 x ? 2 ?
x

A.(- ∞,-4) ∪[2,+ ∞] C.[-4,0]∪(0,1) 5.将函数 y=3sin(x-θ )的图象 F 按向量( 称轴是直线 x= A.
5 12

B.(-4,0)∪(0,1) D. [-4,0]∪(0,1)
?
3

,3)平移得到图象 F′ ,若 F′的一条对

?
4

,则θ 的一个可能取值是 B. ?
5 12

?

?

C.

11 12

?

D. -

11 12

?

6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 每个场馆至少分配一名志愿者的 方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)= ?
1 2 x ? b ln ( x ? 2 ) 在 ( - 1 , + ? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是
2

A.[-1,+∞)

B.(-1,+∞) C.(-∞,-1]

D.(-∞,-1)

8.已知 m∈N*,a,b∈R,若 lim A.-m

(1 ? x ) ? a
m

x? 0

? b ,则 a·b=

x

B.m
2 2

C.-1

D.1

9.过点 A(11,2)作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 10.如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近 一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行,之后卫星 在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星 在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长 用 轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2; ③c1a2>a1c2; ④
c1 a1



c2 a2

.

其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设 z1 是复数,z2=z1-i z 1 (其中 z 1 表示 z1 的共轭复数),已知 z2 的实部是-1,则 z2 的虚 部为 . 12. 在△ABC 中, 三个角 A, C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC B, 的值为 . 13.已知函数 f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a,b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解 集为 . x 14.已知函数 f(x)=2 ,等差数列{ax}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·?·f(a10)]= . 15.观察下列等式:

?i?
i ?1 n

n

1 2

n ?
2

1 2

n, n ?
2

?i
i ?1 n

2

?

1 3

n ?
3

1 2

1 6

n,
2

?
n

i ?
3

1 4

n ?
4

1 2

n ?
3

1 4

n ,

i ?1

?i
i ?1

4

?

1 5 1 6

n ?
5

1 2 1 2

n ?
4

1 3 5

n ?
3

1 30 1

n,

?i
i ?1

n

5

?

n ?
6

n ?
5

n ?
4

n ,

2

12

12

?i
i ?1

n

6

?

1 7

n ?
7

1 2

n ?
6

1 2

n ?
5

1 6

n ?
3

1 42

n,

??????????????

?i
i ?1

n

k

? a k ?1 n

k?2

? a k n ? a k ?1 n
k

k ?1

? ak ?2n
1

k ?2

? ? ? ? ? a1 n ? a 0 ,
1 2

可以推测,当 k≥2(k∈N*)时, a k ? 1 ?

k ?1

, ak ?

, a k ?1 ?

ak-2= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(t)=
1? t 1? t , g ( x ) ? cos x ? f (sin x ) ? sin x ? f (cos x ), x ? ( ? , 17 ? 12 ].

(Ⅰ)将函数 g(x)化简成 Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,φ ∈[0,2π ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g(x)的值域. 17.(本小题满分 12 分) 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现 从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号. (Ⅰ)求ξ 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若η =aξ -b,Eη =1,Dη =11,试求 a,b 的值. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1. (Ⅰ)求证:AB⊥BC; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为θ ,二面角 A1-BC-A 的 大小为 ? ,试判断θ 与 ? 的大小关系,并予以证明. 19.(本小题满分 13 分) 如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点, ∠POB=30°,曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 若△OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. ...

20.(本小题满分 12 分) 水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据, 某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 t ? ? ( ? t 2 ? 14 t ? 40 ) e 4 ? 50 , 0 ? t ? 10 , V(t)= ? ? 4 ( t ? 10 )( 3 t ? 41 ) ? 50 ,10 ? t ? 12 ?

(Ⅰ)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<i 表示第 i 月份 (i=1,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算). 21.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ ,an+1=
2 3 a n ? n ? 4, b n ? ( ? 1) ( a n ? 3 n ? 2 1), 其中λ 为实数,
n

n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ ,证明数列{an}不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0<a<b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和。是否存在实数λ ,使得对任意正整数 n, 都有 a<Sn<b?若存在,求λ 的取值范围;若不存在,说明理由.

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)试题参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 6.D 2.B 7.C 3.B 8.A 4.D 9.C 5.A 10.B

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 1 12.
61 2

13. ?

14. -6

15.

k 12

,0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、 代数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分)
1 ? sin x 1 ? sin x
(1 ? sin x ) co s x
2 2

解: (Ⅰ) g ( x ) ? cos x ?

? sin x ?

1 ? cos x 1 ? cos x
(1 ? co s x ) sin x
2 2

? co s x ?

? sin x ?

? cos x ?

1 ? sin x | cos x |

? sin x ?

1 ? cos x | sin x |

? 17 ? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x , sin x ? ? sin x , 12 ? ?
? g ( x ) ? co s x ? 1 ? sin x ? co s x ? sin x ? 1 ? co s x ? sin x

? sin x ? co s x ? 2

= 2 sin ? x ?
?

?

?? ? ? 2. 4?
, 得 5? 4 <x ? ? 4 ? 5? 3 .

(Ⅱ)由 ? < x ?

17 ? 12

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? 2 , 3 ? 上为增函数, ? 4 2 ? ? ?

又 sin

5? 3

< sin

5? 4

,? sin

3? 2

? sin ( x ?

? 4

)< sin

5? 4

(当 x ? ? ? ,
? ? 4

?

17 ? ? ) , 2 ? ?

即 ? 1 ? sin( x ?

? 4
?

)< ?

2 2

, ? 2?2? ?

2 sin( x ?

) ? 2< ? 3,

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ? 3 . 17.本小题主要考查概率、 随机变量的分布列、 期望和方差等概念, 以及基本的运算能力. 满 ( 分 12 分) 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

?

?

0
1 2 1 2 ? 1?
1 2
2

1
1 20 1 10
2

2
1 10 ? 4? 1 5
2

3
3 20

4
1 5

P ∴ E? ? 0 ?
1 20

? 2?

? 3?
1 20

3 20

? 1 .5 .
1 10 ? (3 ? 1.5) ?
2

2 D ? ? (0 ? 1.5) ?

? (1 ? 1.5) ?

? (2 ? 1.5) ?

3 20

? (4 ? 1.5) ?
2

1 5

? 2.75.

(Ⅱ)由 D ? ? a D ? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ? 2 . 又 E ? ? aE ? ? b , 所以 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
? a ? 2, ?b ? ?2 ? a ? ? 2, ? b?4

∴?

或?

即为所求.

18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关 知识,同时考查空间想象能力和推理能力.(满分 12 分) (Ⅰ)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D, 则由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC ? 侧面 A1ABB1=A1B, 得

AD⊥平面 A1BC,又 BC ? 平面 A1BC, 所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA1⊥底面 ABC, 所以 AA1⊥BC. 又 AA1 ? AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB ? 侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC. (Ⅱ)解法 1:连接 CD,则由(Ⅰ)知 ? A C D 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,
? A B A1 是二面角 A1—BC—A 的平面角,即 ? A C D ? ? , ? A B A1 ? ? ,

于是在 Rt△ADC 中, sin ? ?

AD AC

, 在 Rt△ADB 中, sin ? ? ? 2

AD AB

,

由 AB<AC,得 sin ? < sin ? , 0< ? , ? < 又

, 所以 ? < ? ,

解法 2:由(Ⅰ)知,以点 B 为坐标原点,以 BC、BA、BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1=a, AC=b,AB=c, 则 B(0,0,0), A(0,c,0), C ( b ? c , 0, 0), A1 (0, c , a ), 于是
2 2

??? ? ???? 2 2 BC ? ( b ? c , 0, 0), BA1 ? (0, c , a ), ???? ???? 2 2 AC ? ( b ? c , ? c , 0), AA1 ? (0, 0, a ).

设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则
???? ? n ? B A1 ? 0, ? cy ? az ? 0 ? 由? 得? ???? 2 2 ? b ?c x ? 0 ? n ? B C ? 0, ?

???? ???? AC 可取 n=(0,-a,c), 于是 n ? AC ? ac> 0, 与 n 的夹角 ? 为

锐角,则 ? 与 ? 互为余角.
n ? AC | n | ? | AC | ac b a ?c
2 2

sin ? ? cos ? ?

?

???? ??? ? BA1 ? BA cos ? ? ???? ??? ? ? BA1 ? BA

c a ?c
2 2

, 所以 sin ? ?

a a ?c
2 2

,

于是由 c<b,得

ac b a ?c
2 2


? 2

a a ?c
2 2

,

即 sin ? < sin ? , 又 0< ? , ? <

, 所以 ? < ? ,

19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、 不等式的解法以及综合解题能力.(满分 13 分) (Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3 ,1 ) ,依题意得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|= ( 2 ?
3 ) ? 1 ? (2 ?
2 2

3) ? 1 = 2 2 <
2 2

|AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2.
x
2

∴曲线 C 的方程为

?

y

2

? 1.

2

2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为
x a
( 3)
2

2 2

?

y b

2 2

? 1( a >0,b>0).

则由

a
2

2

?
2

1 b

2 2

? 1,

解得 a2=b2=2,

a ?b

? 4.

∴曲线 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

2

2

(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
1? k
2

? 0,
2 2

? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6 (1 ? k ) ? 0 ,

?

k ? ? 1, ? 3 ? k ? 3.

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1) ,F(x2, y2),则由①式得 x1+x2= |EF|= ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? = 1? k
2


, x1 x 2 ? ?
2

4k 1? k
2
2

6 1? k

,于是

(1 ? k )( x 1 ? x 2 )
1? k
2

?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

?

2 2

3?k
2

2

1? k

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k
2



∴S△DEF=

1 2

d ? EF ?

1 2

?

2 1? k
2

? 1? k

2

?

2 2

3?k
2

2

1? k

?

2 2 3?k 1? k
2

2

.

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有
2 2 3?k
2 2

1? k

? 2 2 ? k

4

?k

2

? 2 ? 0 , 解得 ?

2 ? k ?

2 . 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1) ∪(1,

2 ).

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
1? k
2

? 0,
2 2

? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6 (1 ? k ) ? 0 .

?

k ? ? 1, ? 3 ? k ?

.
3

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ?
2



? 1? k
2

?

2 2 3?k 1? k
2

2

.



当 E、F 在同一支上时(如图 1 所示) , S△OEF= S ? ODF ? S ? ODE ?
1 2 OD ? x 1 ? x 2 ? 1 2 OD ? x 1 ? x 2 ;

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ? OEF ? S ? ODF ? S△ODE=

1 2

OD ? ( x 1 ? x 2 ) ?

1 2

OD ? x 1 ? x 2 .

综上得 S△OEF=

1 2

OD ? x 1 ? x 2 , 于是

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2

3?k
2

2

1? k

.

若△OEF 面积不小于 2 2 , 即 S ?OEF ? 2 2 , 则有
2 2 3?k
2 2

1? k

? 2 2 ? k

4

?k

2

? 2 ? 0 , 解得 ?

2 ? k ?

2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ).
20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知 识解决实际问题能力.(满分 12 分)
1

解: (Ⅰ)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t +14t-40) e 4 ? 50 ? 50 ,
2

t

化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0, 解得 10<t<
41 3

,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12.

综合得 0<t<4,或 10<t ? 12, 故知枯水期为 1 月,2 月, 3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
1 4

由 V′(t)= e ( ?

t

1 4

t ?
2

3 2

t ? 4) ? ?

1 4

1

e 4 ( t ? 2 )( t ? 8 ),

t

令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t)
2

(4,8) +

8 0 极大值

(8,10) -

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50-108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考 查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2 =a1a3,即
( 2 3
2

? ? 3) ? ? ( ? ? 4 ) ?
2

4

4 9

? ? 4? ? 9 ?
2

4 9

? ? 4 ? ? 9 ? 0 , 矛盾.
2

9

所以{an}不是等比数列.

(Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1( =-
2 3

2 3

an-2n+14)

(-1)n· n-3n+21)=- (a

2 3

bn

又 b1=-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴
b a ?1 bn
2 3

? ?

2 3

(n∈N*).

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18 时, bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18)(- · Sn=- ( ? ? 18 ) · ?1-(-  
5 ? 3 ?
n ? ) ?. 3 ?

为公比的等比数列.

2 3

)n 1,于是可得



2

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-
3 5

(λ +18)· [1-(-
3 5

2 3

)n]<b(n∈N*)
b 1 ? (? 2 3 )
n



a 1 ? (? 2 3 )
n

? ?

( ? ? 18 ) ?

(n∈N*)



令 f (n) ? 1 ? (?

2 3

) ,则
5 3 ; 当 n 为正偶数时, 5 9 5 9 ? f ( n ) ? 1,

n

当 n 为正奇数时,1<f(n) ? ∴f(n)的最大值为 f(1)= 于是,由①式得
9 5 5

, f(n)的最小值为 f(2)=
3

,

a<-

3 3 5

(λ +18) < b ? ? b ? 18 ? ? ? ? 3 a ? 18 .
5

当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18 知,不存在实数λ 满足题目要求; 当 b>3a 时,存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ 的取值范围是 (-b-18,-3a-18).


2008年普通高等学校招生全国统一考试文数试题及答案(湖北卷)

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