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高考三角函数公式应用(重点生家教版)


c o sx ? y ? ( )

c o s cy?s x o

x i n ys i n s

(1)

sin( x ? y ) ? cos[ ? ( x ? y )] ? cos[( ? x) ? y ] 2 2 ? cos( ? x) cos( ? y) ? sin( ? x) sin( ?

y) 2 2 ? sin x cos y ? cos x sin y
(1)里令 x=y 德 cos 2 x ? cos x ? sin x ? 2cos x ?1 ? 1 ? 2sin x
2 2 2 2

?

?

?

?

(2)

(3) (4) (5)

(2)里令 x=y 德 sin 2x ? 2sin x cos x (4)/(3)德 tan 2 x ? 由(1)德

2sin x cos x 2 tan x ? 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan 2 x

cos( x ? y ) ? cos[ x ? (? y )] ? cos x cos(? y ) ? sin x sin(? y ) ? cos x cos y ? sin x sin y
(1)+(6)德 cos( x ? y) ? cos( x ? y) ? 2cos x cos y 令 ? ? x ? y, ? ? x ? y 则 x ? (7) (6)

? ??
2

2 ? ?? ? ?? 带入(7)德 cos ? ? cos ? ? 2cos cos 2 2 ? ?? ? ?? 同理(1)-(6)可以德 cos ? ? cos ? ? ?2sin sin 2 2
由(2)德

,y?

? ??
(8) (9)

sin( x ? y ) ? sin[ x ? (? y )] ? sin x cos( ? y) ? cos x sin( ? y) ? sin x cos y ? cos x sin y
(2)+(10)德 sin( x ? y) ? sin( x ? y) ? 2sin x cos y 令 ? ? x ? y, ? ? x ? y 则 x ? (11) (10)

? ??
2

2 ? ?? ? ?? 带入(11)德 sin ? ? sin ? ? 2sin cos 2 2 ? ?? ? ?? 同理(2)-(10)可以德 sin ? ? sin ? ? 2cos sin 2 2 2 2 cos x ? sin x ? 1
? cos 2 x(1 ? tan 2 x) ? 1 ? cos 2 x ? 1 1 ? tan 2 x 2 ? 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

,y?

? ??
(12) (13)

(14)

式 (3) ??? 2 cos 2 x ? 1 ? ?

? cos 2 x ?

1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

(5)×(14)德 sin 2 x ?

2 tan 2 x 1 ? tan 2 x

(15)

式(5),(14),(15)中令 x ?

t 2 sin t ? t 1 ? tan 2 2 2 tan 2

t 德万能公式 2 t t 1 ? tan 2 2 tan 2 2 , tan t ? 2 , cos t ? t t 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2

(16)

万能公式可以这样记,直角三角形:

2 tan 2

t 2

1 ? tan 2

t 2

t 2

1 ? tan 2

t 2

积化和差
1 [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

sinasinb = -

a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc=

b ] a

1.(2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,

得到的曲线方程是( ) A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 3.(2002 上海春,14)在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.(2000 全国文,17)已知函数 y=



3 sinx+cosx,x∈R.

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? .解: (1)y=

3 sinx+cosx=2(sinxcos

? 6

+cosxsin

? 6

)=2sin(x+

? 6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

? 6



? 2

+2kπ ,k∈Z,

即 x=

? 3

+2kπ ,k∈Z.

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 3

+2kπ ,k∈Z}

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

? 6

)的图象;

33.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 解:原式=

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



3 3 1 3 1 1 -sin70°sin30°+ sin70°= - sin70°+ sin70°= . 2 2 4 4 2 4
? ? π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( A ) 3?
B.向右平移

1.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

2.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则 MN 的最大值为 ( B A.1 ) B. 2
2

C. 3

D.2

3. ? tan x ? cot x ? cos x ? ( D ) (A) tan x
2

(B) sin x

(C) cos x

(D) cot x )

10.函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? , 上的最大值是( C ?4 2? ?
D.1+ 3 (D)4

A.1 (A)0

B.

1? 3 2

C.

3 2

(B)1

(C)2

14.若 cos a ? 2 sin a ? ? 5 , 则 tan a =B

(A)

1 2

(B)2

(C) ?

1 2
2

(D) ? 2

? 17.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2

18.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,?1 ) n=(cosA,sinA).若 m⊥n, , 且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=

π . 6
.?

120.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ?R ,则 f ( x) 的最小正周期是 22.设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? , (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 解析: (Ⅰ)在 △ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c. 5

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4cos Asin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan Acot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 5 4 23.在 △ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2
解:

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(Ⅰ)由 cos B ? ? 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 .············ 5 分 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 ,····························· 8 分 AB ? sin B 20 又 AC ? ? AB , sin C 13 20 13 故 AB 2 ? 65 , AB ? . 13 2

所以 BC ?

AB ? sin A 11 ? . ······················· 10 分 sin C 2
2 4

25.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。 【解】 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x :
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

, 由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ? ?11? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为 zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 36.在 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? , (Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的 能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

? . 3

又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ······· 4 分 2

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ··············· 6 分 ? ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······················· 8 分 当 cos A ? 0 时, A ?

4 3 2 3 ? ? ,B ? ,a ? ,b ? , 3 3 2 6

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? .················· 12 分 2 3

为了得到函数 y ? sin(2 x ?

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6 ? ? (A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位 4 4 ? ? (C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位 2 2
2010 重庆文数) (6)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ?

?

?

? ?

?
2 )

, ] 上为减函数的是 4 2

)

(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

?

?

?
2

2 )

)

2

(2010 全国卷 1 理数)(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?
AB BC ? sin C sin A

(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sin C BC ? 2BC ? 2 5 sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

AB 2 ? AC 2 ? BD 2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

2 ? ? ? )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10


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