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2014高考理科数学仿真模拟试卷及答案

时间:2014-04-22


山 东 省 2014 年 高 考 仿 真 模 拟 冲 刺 卷 ( 四 )

理科数学
满分 150 分
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ; 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)· P (B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好

发生 k 次的 概 率: Pn (k ) ? Cn
k

考试用时 120 分钟

p k (1 ? p) n?k (k ? 0,1,2,?, n).

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =
2

( D. (??, ] [1, ??)



A. ( , ??)

1 2

B. (1, ??)

C. [0, ] [1, ??)

1 2

1 2

2.复数 1 ?

1 在复平面上对应的点的坐标是 i
( ? 1, 1) B.
( ) C.1—2p D.





( 1 , 1 ) A.

( ? 1,?1 ) C.

( 1,?1 ) D.

3.设随机变量 X~N (3,1) ,若 P(X>4)=p,则 P(2<X<4)=

A.

1 +p 2

B.1—p

1 —p 2

4 . 设 k ? R , 下 列 向 量 中 , 与 向 量 Q= ( 1 , -1 ) 一 定 不 平 行 的 向 量 是 ( ) B.c=(- k ,- k ) D.e=( k 2 一 l, k 2 —1) m2 ( )

A.b=( k , k ) C.d=( k 2 +1, k 2 +1)

5.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m) ,则该棱锥的全面积是 A. 4 ? 2 6 B. 4 ? 6 C. 4 ? 2 2

D. 4 ? 2

正视图

侧视图

俯视图

6. 设函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? )(? ? 0, ? 则 A. f ( x) 的图象过点 (0, )

?

? 2? 对称, 它的周期是 ? , ? ? ? ) 的图像关于直线 x ? 2 2 3
( )

? ? 2? ? , ? 上是减函数 ?12 3 ? 5? C. f ( x) 的一个对称中心是 ( ,0) 12 D.将 f ( x) 的图象向右平移 ? 个单位得到函数 y ? 3sin ? x 的图象.
B. f ( x ) 在 ? 7 . 双 曲 线

1 2

x2 y2 b2 ? 1 ? ? 1( a ? 1, b ? 1) 的 离 心 率 为 2 , 则 的 最 小 值 为 a2 b2 3a
( )

1? 3 2 8 . 在 ?A B C 中 , P 是 BC 边 中 点 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若
A.

4 3 3

B.

3? 3 3

C.2

D.

cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为
A.等边三角形 C.直角三角形 9.已知圆 ( x ? a)
2

( B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形



? ( y ? b)2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0

相切,则该圆的方程为 ( )

64 2 2 B. ( x ?1) ? y ? 1 25 64 2 2 2 2 C. x ? ( y ? 1) ? D. x ? ( y ? 1) ? 1 25 10 . 设 f ( x ) 与 g ( x) 是 定 义 在 同 一 区 间 [ a ,b ]上 的 两 个 函 数 , 若 函 数 y ? f ( x) ? g( x)在
A. ( x ? 1) ? y ?
2 2

x ? [a, b] 上有两个不同的零点, 则称 f ( x ) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上是“关联函数”, 区间 [ a, b] 称
为“关联区间”.若 取值范围为 A. [?1,0] B. ( ?

f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m 的
( )

9 , ?2] 4

C. (??, ?2]

D. ( ?

9 , ??) 4

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . 若 函 数 f ( x) = (1 ? x 是 12.设 a .
2

)( x 2 ? ax ? b) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ?2 对 称 , 则 f ( x) 的 最 大 值

1 ? 2 2.5 , b ? 2.5 0 , c ? ( ) 2.5 ,则 a, b, c 的大小关系是________. 2

13.若点 p(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? ? ___________.

? x ? 0, ? 14.记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? a ? x ? 1? 与 D 公共点,则 a ?3 x ? y ? 4, ?
的取值范围是 . 15.在实数集 R 中定义一种运算“△”,且对任意 a, b ? R ,具有性质: ① a b ? b a ;② a 0 ? a ;③ (a b) c ? c (a b) ? (a c) ? (b c) ? c , 则函数

f ( x ) ?| x |

1 的最小值为 |x|



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , sin C ? 2sin A sin B .
2

(Ⅰ )求角 C 的值; (Ⅱ )设函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距

离为 ? ,求 f ( A) 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎 为十位数,叶为个位数. (Ⅰ )根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ )日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中 有几名优秀工人; (Ⅲ )从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

1 2

7 0 0

9 1

5

3

第 17 题图

18. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD , AB ∥CD ,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上. 2

(Ⅰ )当点 M 为 EC 中点时,求证: BM ∥ 平面 ADEF ; (Ⅱ )当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 体积.

6 时,求三棱锥 M ? BDE 的 6

19. (本小题满分 12 分) 已知:数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? n , (n ? N * ) . ?an ?的通项公式;

(Ⅰ )求: a1 , a2 的值; (Ⅱ )求:数列 (Ⅲ ) 若数列

* 且满足 bn ? nan (n ? N ) , 求数列 ? ?bn ?的前 n 项和为 Tn , bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 M : ( x ? 1)
2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内

切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ )求 C 的方程; (Ⅱ ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? aln x ? ax ? 3( a ? R ) . (Ⅰ )若 a=-1,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若 函 数 y ? f ( x ) 的图 象在 点 ( 2 , f ( 2 ) )处 的 切线 的 倾斜 角 为 45 o ,对 于 任 意 的 t ? [1,2],函数 g( x ) ? x ? x [ f '( x ) ?
3 2

m ]( f '( x ) 是 f ( x ) 的导函数)在区间 2

(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ )求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ? ...? ? ( n ? 2,n ? N * ) 。 2 3 4 n n

山 东 省 2014 年 高 考 仿 真 模 拟 冲 刺 卷 参 考 答 案
理科数学(四)
一、选择题:1-5、DDCCA 二、填空题:11、16 三、解答题: 16、解: (I)因为 a ? b ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a ? b ? c ? 2ab cosC
2 2 2 2 2

6-10、CAABB 13、-2 14、 ? ?

12、a>b>c

? 2 ? ,0? ? 3 ?

15、3

c2 2 2 ,又因为 sin C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2ab , 4ab ? c2 2ab 1 ? ? ,所以 C ? 。 所以 cosC ? 3 4ab 4ab 2 ? 3 3 ? (Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? ) ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) , 6 2 2 3 ? 2? ? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), 由已知 ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? , 因为 C ? , B ? 3 3 2 2 6 2 ? 2? 所以 0 ? 2 A ? ? 根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 。 3 3 17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 17、解:(1)由题意可知,样本均值 x ? 6
所以 cosC

?

(2)

样本 6 名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有 2 名,

? 可以推断该车间 12 名工人中优秀工人的人数为: 12 ?
(3) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人有 C12
1 1
2

2 ?4 6

? 66 种方法,

而恰有 1 名优秀工人有 C10C2

? 20

? 所求的概率为: P ?

C C 20 10 ? ? 2 C12 66 33

1 10

1 2

18、解: (1)以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A( 2,0,0) , B( 2,2,0) C (0,4,0) , E (0,0,2) ,所以 M ( 0,2,1) .∴ BM ? (?2,0,1) . 又 OC ? (0,4,0) 是平面 ADEF 的一个法向量. ∴ BM ∥平面 ADEF . (2)设 M ( x , y , z ) ,则 EM ? ( x, y, z ? 2) ,又 EC ? (0,4,?2) 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1 ,则, x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) . 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量,则 ∵ BM ? OC ? 0 即 BM ? OC ,

OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0 , 2? 2? 取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ? , 即 n ? (1,?1, ) 1? ? 1? ? 又由题设, OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量, OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,

6 4? (1 ? ? ) 2 即点 M 为 EC 中点,此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高, 1 4 ∴ VM ? BDE ? VB? DEM ? ? 2 ? 2 ? . 3 3 2 2?
2



|co s ? OA, n ?|?

OA ? n | OA | ? | n |

?

2

?

6

?? ?

1 . 2

19.解: (Ⅰ)

S n ? 2an ? n ,令 n ? 1 ,解得 a ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a ? 3 , 1 2 S ? 2 a ? n * n (Ⅱ) n , 所以 S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) , ( n ? 2, n ? N ) , 两式相减得 an ? 2an?1 ? 1 ,
所以 an 所以 an (Ⅲ) bn
* ( n ? 2, n ? N ) ,又因为 a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , ,

所以数列

?an ? 1?是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列。

。 ? 1 ? 2 n ,即通项公式 an ? 2n ? 1 ( n ? N * )

? nan ,所以 bn ? n(2n ? 1) ? n ? 2n ? n

所以 Tn 令 Sn

? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? (3 ? 23 ? 3) ? ? ? (n ? 2n ? n)
① ②

Tn ? (1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ,

? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n
2 3 n

2S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2n?1
①-②得

? S n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 , S n ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 。 1? 2 n(n ? 1) n ?1 ? 所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 。 2 20.解:由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为 R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? ( r2 ? R ) = r1 ? r2 =4, ? Sn ?
由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左右焦点,场半轴长为 2,短半轴长为
2 2

3 的椭圆(左顶

x y ? ? 1( x ? ?2) . 4 3 (Ⅱ)对于曲线 C 上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2,
点除外),其方程为 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) 当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与
0 0
2

? y2 ? 4 ,
| QP | R = ,可 | QM | r1
2 . 4

y 轴重合,可得|AB|= 2 3 .

当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R 知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 求得 Q(-4,0),∴设 l : y 当k =

? k ( x ? 4) ,由 l 于圆 M 相切得

| 3k | 1? k 2

? 1 ,解得 k ? ?

x2 y 2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解 时,将 y ? x ? 2 代入 ? 4 3 4 4

18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . 7 7 2 18 当 k =时,由图形的对称性可知|AB|= , 4 7 18 综上,|AB|= 或|AB|= 2 3 . 7 ( x ? 1) ( x ? 0) , 解 f '( x) ? 0 得 x ? (1,??) ; 21、解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x ) ? x 解 f '( x) ? 0 得 x ? (0,1) f ( x ) 的单调增区间为 ?1,??? ,减区间为 ?0,1? . a a(1 ? x) ( x ? 0) ∴ f ' (2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 (Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? 2 x
得 x1,2 =

g ( x) ? x 3 ? (

m 2 ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3x ? (m ? 4) x ? 2 2
'

∵ g ( x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g

? 0? ? ?2 ∴ ?

? g ' (t ) ? 0 ,由题意知:对于 ? g ' (3) ? 0

? g '(1) ? 0 37 ? ? m ? ?9 . 任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立,所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? 3 ? g '(3) ? 0 ? (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立. ln n n ? 1 ? ∵ n ? 2, n ? N* ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ? . n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2, n ? N? ) . 2 3 4 n 2 3 4 n n


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