nbhkdz.com冰点文库

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第8节 对数与对数函数


第八节

对数与对数函数

[主干知识梳理] 一、对数的概念 1.对数的定义:

如果 ax=N(a>0且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,
记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真 数.当a=10时叫常用对数.记作x= lg N ,当a=e时叫 自然对数,记作x= ln

N .

2.对数的常用关系式(a,b,c,d 均大于 0 且不等于 1): (1)loga1= 0 .(2)logaa= 1 . (3)对数恒等式:alogaN= N . logcb (4)换底公式:logab=log a . c 1 推广 logab= ,logab·logbc·logcd= logad . logba

3.对数的运算法则: 如果 a>0,且 a≠1,M >0,N>0,那么: (1)loga(M· N)= logaM+logaN ; M (2)loga N = logaM-logaN ; (3)logaMn= nlogaM (n∈R); n (4)log amM = mlogaM .
n

二、对数函数的概念 1.把y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函 (0,+∞). y= x 对称.

数的定义域是

2.函数y=logax(a>0,a≠1)是指数函数y=ax的反函数,函数 y=ax与y=logax(a>0,a≠1)的图象关于

三、对数函数的图象与性质

y=logax

a>1

0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 性 质 当x>1时, y<0 过点 (1,0) ,即x= 1 时,y= 0

y>0

当x>1时, y<0 当0<x<1时, 时,y>0

当0<x<1

在(0,+∞)上是 增函数

在(0,+∞)上是 减函数

[基础自测自评] 1. (教材习题改编)设 则 A∩B 为
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ? ?1 ? B.?2,+∞? ? ? ? ? ?1?x A={y|y=log2x, x>1}, B=?y|y=?2? ,0<x<1?, ? ? ? ?

(

)

D.(0,2)

C

? 1 ? [∵A={y|y>0},B=?y|2<y<1?, ? ?

? 1 ? ∴A∩B=?y|2<y<1?.] ? ?

2.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐 标是
? 2? A.?0,3? ? ? ?2 ? B.?3,0? ? ?

(

)

C.(1,0) C [当 x=1 时 y=0.]

D.(0,1)

3.函数y=lg |x|

(

)

A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B [y =lg|x|是偶函数,由图象知在( -∞ ,0)上单调递减,

在(0,+∞)上单调递增.]

4.(2012· 江苏高考)函数 f(x)= 解析 由 1-2log6x≥0, 1 解得 log6x≤2?0<x≤ 6, 故所求定义域为(0, 6 ]. 答案 (0, 6 ]

1-2log6x的定义域为________.

5.(2014· 安阳月考)若 y=(log1a)x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范
2

围是__________. 解析 由题意知 0<log1a<1,
2

1 解得 <a<1. 2 答案
?1 ? ? ,1? ?2 ?

[关键要点点拨]

1 .在运用性质 logaMn = nlogaM 时,要特别注意条件,在无
M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n为偶数). 2.对数值取正、负值的规律: 当a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1时,logab>0; 当a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1时,logab<0.

3.对数函数的定义域及单调性: 在对数式中,真数必须大于 0 ,所以对数函数 y = logax 的 定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的值有关,因 而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行

分类讨论.

对数式的化简与求值
[典题导入] 求解下列各题. 1 32 4 (1)2lg 49-3lg 8+lg 245=________; 1 1 (2)若 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________.
a b

[听课记录]

1 32 4 (1)2lg 49-3lg 8+lg 245

1 4 3 1 =2× (5lg 2-2lg 7)-3× 2lg 2+2(lg 5+2lg 7) 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2× 5)= . 2 2 2 2

(2)由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴a+b=logm2+logm5=logm10. 1 1 ∵a+b=2, ∴logm10=2,即 m2=10. 解得 m= 10(∵m>0). 答案 1 (1)2 (2) 10

[规律方法]
对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的 形式,使幂的底数最简,然后运用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用

对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

[跟踪训练] 1 1 1.化简:(1)(2014· 唐山模拟)已知 2 =5 = 10,则a+b= (
a b

)

1 A.2 C. 2

B.1 D.2

?lg 4-lg 60? -11 ?3 5 (2)? - 4 × 2 =________. ? lg 3+lg 5 ? ? ?

解析

(1)2a=5b= 10,

∴a=log2 10, b=log5 10, 1 1 利用换底公式可得:a+b=log 2+log 5
10 10

=log 10=2.
10

故选 D.

?lg (2)原式=? ? ?

4-(lg 4+lg 15)? -11 ?3 10 - 2 × 2 ? lg 15 ?

?-lg 15? -1 ?3 =? - 2 ? lg 15 ? ? ?

3 =-2. 答案 3 (1)D (2)-2

对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y=f(x)的图象如图所示, 则函数 y=log1f(x)的图象大致是
2

(

)

[听课记录]

由函数 y=f(x)的图象知,
2

当 x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0, 1)上是减函数, 在(1, 2)上是增函数, 所以 y=log1
2

f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知, 选 C. 答案 C

1 (2)(2012· 新课标全国卷)当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围 是
? A.? ?0, ?

( 2? ? 2? ?
? B.? ? ? ? 2 ? 2 ,1 ? ?

)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

[听课记录]

解法一:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时
? 1? 时, 画出两个函数在?0,2?上的图象, 可知, ? ?

不满足条件, 当 0<a<1
?1? ?1? f?2?<g?2?,即 ? ? ? ?

? 2 ? 1 2 ? 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范围为? ,1? ?. 2 2 2 ? ?

1 解法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 ∴0<a<1,排除选项 C,D; 1 1 取 a= ,x= , 2 2 1 则有 4 =2,log1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 22
1 2

答案

B

[互动探究] 若本例(2)变为:若不等式(x-1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立, 实数a的取值范围为________.

解析 设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,
要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立, 只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方 即可.

当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图,

要使 x∈(1 , 2) 时 f1(x) = (x - 1)2 的图象在 f2(x) = logax 的图象下 方, 只需f1(2)≤f2(2),

即(2-1)2≤loga2,
又即loga2≥1. 所以1<a≤2, 即实数a的取值范围是(1,2]. 答案 (1,2]

[规律方法]

1 . 对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函
数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利 用数形结合求解. 2 .一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函 数图象问题,利用数形结合法求解.

[跟踪训练] ?3x,x≤1, 2.已知函数 f(x)=? 则 y=f(1-x)的大致图象是 ?log x,x>1,
1 3

(

)

1 x 3 ,x≥0, ? ? C [由题意可得 f(1-x)=?log1(1-x),x<0, ? ? 3


因此当 x≥0 时,y=f(1-x)为减函数,且 y>0; 当 x<0 时,y=f(1-x)为增函数,且 y<0.]

对数函数的性质及应用 [典题导入] 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(x)定义域为R,求a的取值范围;
(2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值; 若不存在,说明理由.

[听课记录]

(1)因为 f(x)的定义域为 R,

所以 ax2+2x+3>0 对任意 x∈R 恒成立. 显然 a=0 时不合题意,
? ?a>0, ? ?a>0, 从而必有? 即? 解得 ? ? Δ <0 , 4 - 12 a <0 , ? ?

1 a>3.

即a

?1 ? 的取值范围是?3,+∞?. ? ?

(2)因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1, 因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).

(3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, ?a>0, ? 1 ? 因此应有 3a-1 解得 a= . 2 = 1 , ? ? a 1 故存在实数 a=2使 f(x)的最小值为 0.

[规律方法] 研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义

域,分析复合的特点,结合函数 u = f(x) 及 y = logau 的单调性
( 最值 )情况确定函数 y= logaf(x)的单调性 ( 最值)( 其中 a>0,且 a≠1).

[跟踪训练]

3.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的单调性. 解析 (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0; 当0<a<1时,x<0.

∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);
当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).

【创新探究】 巧用中间量比较大小 已知x=ln π,y=log52,z=e ,则 A.x<y<z B.z<x<y ( )

C.z<y<x

D.y<z<x

【思路导析】 C. 【解析】

1 通过与 1 比较,排除 A、B;通过与2比较,排除

因为 ln π>ln e=1,log52<log55=1, 1 5=2,e 1 1 = >2, e

所以 x>y.故排除 A、B;又因为 log52<log5 所以 z>y.故排除 C. 【答案】 D

【高手支招】 本题在比较三个数的大小时利用中间值,进 行第一次比较时,中间值常选用的有0,1,由指数、对数式

可知x>1,0<y<1,0<z<1,再进一步比较y、z的大小,其中
对数logaN的符号判定可简记为“同正异负”,即a与N同时 大于1或同时大于0小于1,则logaN>0;反之,logaN<0.

[体验高考] 1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等 式中恒成立的是 A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac lg b lg a B [由换底公式得 logab·logca=lg a· lg c=logcb, 所以 B 正确.] ( )

2.(2013·福建高考)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是 (

)

A [由f(0)=0可知函数图象经过原点. 又f(-x)=f(x),所以函数图象关于y轴对称. 故选A.]

3.(2013· 四川高考)lg 解析 答案 lg 1 5+lg

5+lg

20的值是__________.

20=lg ( 5× 20)=lg 100=1.

4.(2013· 山东高考) 个命题:

? ?0,0<x<1, + 定义“正对数” :ln x=? 现有四 ? ?ln x,x≥1.

①若 a>0,b>0,则 ln (ab)=bln a;
+ +

②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ③若 a>0,b>0,则 ln


?a? ? ?≥ln+a-ln+b; ?b?

④若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)

解析

对于①,当 a≥1 时,ab≥1,

则 ln+(ab)=ln ab=bln a=bln+a, 当 0<a<1 时,0<ab<1,则 ln+(ab)=0,bln+a=0, 即 ln+(ab)=bln+a,故①正确;同理讨论 a,b 在(0,+∞)内的不 1 同取值,可知③,④正确.对于②,可取特殊值 a=e,b=e ,则 ln (ab)=0,ln a+ln b=1+0=1,故②不正确. 答案 ①③④
+ + +

课时作业


2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第8节 对数与对数函数

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第8节 对数与对数函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业一、选择题 1.函数 y= 1-...

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第8节 对数与对数函数]

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第8节 对数与对数函数]_高中教育_教育专区。2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第7节 指数与指数函数

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第7节 指数与指数函数_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第2节 函数的定义域和值域

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第2 函数的定义域值域_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第8节 曲线与方程

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第8节 曲线与方程_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第12节 导数的应用(一)

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第12节 导数的...答案 (-∞,-3)∪(6,+∞) 8.(2014· 济宁模拟)若函数 f(x)=x3-6bx+...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第9节 函数与方程

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第9节 函数与方程_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第14节 定积分与微积分基本定理

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第14节 定积分与微积分基本定理课时作业 一、选择题 1f(-x)dx 的值等于 1.设函数 f(x)=...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第1节 函数及其表示

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第1节 函数及其表示_高中教育_教育专区。2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第1章 第2节 命题及其...因此原命题与它的逆否命题都是假命题.] 8.对于函数 y=f(x),x∈R, “y...

相关文档

更多相关标签