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重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学试题及答案


重庆南开中学高 2018 级高一(上)期中考试 数 学 试 题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1、下列说法正确的是( A、 ?1? N ) B、 2 ? Q C、

? ? R D、 ? ? Z

2、已知全集 U ? R ,集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? ? x ? R x ? 2? ,则右图中阴影部分所表示的集合为 ( A、 ?1? B、 ?0,1? C、 ?1,2? D、 ?0,1,2? 3、给定映射 f : ? x, y ? ? ? x ? 2 y,2x ? y ? ,在映射 f 下 ? 3,1? 的原像为( A、 ?1,3? B、 ? 3,1? ) B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ) D、 ? ?1,2? ? ? 2, ??? C、 ?1,1? ) D、 ? 5,5? )

4、“ x ? y ? 2 ”是“ x ? 1且y ? 1 ”的( A、充分不必要条件 C、充分必要条件 5、已知函数 y ? A、 ? ??,1? ?
1? x ,其定义域为( x2 ? 4

B、 ? ??,2? ?

C、 ? ??, ?2? ? ? ?2,1? ?

6、已知函数 f ? x ? 1? ? 3x ? 1 ,则 f ( x) 的解析式为( A、 f ? x ? ? 3 ? 2x C、 f ? x ? ? 3x ? 2 B、 f ? x ? ? 2 ? 3x D、 f ? x ? ? 3x



1

7、已知 y ? f ? x ? 1? 是 R 上的偶函数,且 f ? 2? ? 1 ,则 f ? 0? ? ( A、 ?1 B、0 C、1 )

) D、2

8、函数 y ? ?x2 ? 2x ? 8 的单调递增区间是( A、 ? ??,1? B、 ? ?2,1?

C、 ?1,4?
f ? x? x ?1

D、 ?1, ?? ?
? 0 的解集为(

9、已知奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的图象如图所示,则不等式 A、 ? ?3, ?1? ? ? 0,1? ? ?1,3? B、 ? ?3, ?1? ? ? 0,1? ? ?3, ??? C、 ? ??, ?3? ? ? ?1,0? ? ?3, ??? D、 ? ??, ?3? ? ? ?1,0? ? ? 0,1?



10、已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x, g ? x ? ? ax ? 2? a ? 0? ,若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? ? ??2, ??? ,使得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围是(
?3 ? A、 ? , ?? ? ?2 ?


? 3? C、 ? 0, ? ? 2? ?3 ? D、 ? ,3 ? ?2 ?

B、 ? 0, ?? ?

11、已知集合 A ? x x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x ax 2 ? bx ? c ? 0, a, b, c ? R, ac ? 0 , 若 A ? B ? ?3,4? ? , A ? B ? R ,则 A、3 B、
b2 a ? 的最小值是( a c2

?

?

?

?

) D、

3 2

C、1

3 4

12、设集合 A ? ? x 1 ? x ? 6, x ? N ? ,对于 A 的每个非空子集,定义其“交替和”如下:把集合中 的数按从大到小的顺序排列, 然后从最大的数开始交替地加减各数 (如:?1,2,5? 的“交替和” 是 5 ? 2 ? 1 ? 4 , ?6,3? 的“交替和”就是 6 ? 3 ? 3 , ?3? 的“交替和”就是 3) 。则集合 A 的所有这 些“交替和”的总和为( A、128 ) C、224 D、256

B、192

2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)各题答案必须填写在答题卡上相 应位置(只填结果,不写过程) 13、设函数 f ? x ? ? ?
? 1

? ? x ? 2, ? x ? 2015?

? ? f ? x ? 5? , ? x ? 2015?

,则 f ? 2018? ? 。 。



14、计算: 4 3 ? 3 25 ? 15、函数 f ? x? ? 2x ? 1 ? x 的值域为 16 、若函数 f ? x ? ? 为

x2 ? 4 x ? 1 ? a 的图象与 x 轴恰有四个不同的交点,则实数 a 的取值范围 x


三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程) 17、 (10 分)已知集合 A ? ? x
? ? x ?3

x

? 0? ,集合 B ? x 2 x ? 1 ? 3 。
?

?

?

?

(I)分别求集合 A 、 B ; (II)求 ?CR A? ? B 。

3

18、 (12 分)已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,4 ? ,函数 g ? x ? ?

f ? x ? 1? x ?1

的定义域为集合 A ,集合

B ? ? x a ? x ? 2a ? 1? ,若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

19、 (12 分)已知函数 f ? x ? ?

x2 ? 3 。 x ?1

(I)求函数 f ? x ? 在区间 ? ?0,2? ? 上的最值; (II) 若关于 x 的方程 ? x ? 1? f ? x ? ? ax ? 0 在区间 ?1,4? 内有两个不等实根, 求实数 a 的取值范围。

4

20、 (12 分)已知二次函数 f ? x ? 的图象过点 ? 0,4 ? ,对任意 x 满足 f ?3 ? x ? ? f ? x? ,且有最小 值
7 。 4

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? ? 2t ? 3? x 在 ? ?0,1? ? 上的最小值 g ?t ? 。

21、 (12 分)已知函数 f ? x ? 对任意实数 x, y 恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , 且 f ?1? ? ?2 。 (I)判断 f ? x ? 的奇偶性; (II)求 f ? x ? 在区间 ? ??2,2? ? 上的最大值; (III)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4. 。

5

22、 (12 分) 对于函数 y ? f ? x ? 与常数 a , b , 若 f ?2 则称 ? a, b ? 为函数 f ? x ? x ?? a f x ? b? ? 恒成立, 的一个“ P 数对”;设函数 f ? x ? 的定义域为 R ? ,且 f ?1? ? 3 。 (I)若 ? a, b ? 是 f ? x ? 的一个“ P 数对”,且 f ? 2? ? 6, f ? 4? ? 9 ,求常数 a , b 的值; ( II)若 ? ?2,0? ? a, b ? 是 f ? x ? 的一个“ P 数对”,且当 x ? ? ?1,2? 时 f ? x ? ? k ? 2x ? 3 ,求 k 的值及
n * f ? x ? ? k ? 2x ? 3 在区间 ? ?1,2 ? ? n ? N ? 上的最大值与最小值。

6

重庆南开中学高 2018 级高一(上)期中考试 数 学 试 题答案 1、N 是自然数集,也叫非负整数集,例如:0、1、2、3...... N+(或 N*)是正整数集,例如:1、2、3...... Z 是全体整数集合,例如:-2、-1、0、1、2...... Q 是有理数集,R 是实数集 2、D 3、解:∵映射 f:(x,y)→(x+2y,2x-y),映射 f 下的对应元素为(3,1), ∴x+2y=3,2x-y=1 ∴x=y=1. ∴(3,1)原来的元素为(1,1). 故答案为:(1,1). 4、B 5、C 6、C 7、C 解:∵函数 y=f(x+1)是偶函数, ∴设 g(x)=f(x+1) 则 g(-x)=f(-x+1)=f(x+1) , 设 x=1,则 f(-1+1)=f(1+1) 即 f(0)=f(2)=1 故答案为:1 选C 选C 选D

8、解:由-x2+2x+8≥0,得 x2-2x-8≤0,解得-2≤x≤4. 所以原函数的定义域为{x|-2≤x≤4}. 令 t=-x2+2x+8,其图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为 x = ? 所以当 x∈[-2,1]时,函数 y ? ?x2 ? 2x ? 8 为增函数, 故答案为[-2,-1]. 选B
2 = 1. 2 ? (?1)

?x ?1 ? 0 9、解(1) ? ,即图像满足的是: 1 ? x ? 3 f ( x ) ? 0 ?
7

?x ?1 ? 0 (2) ? ,即图像满足的是 0 ? x ? 1 ? f ( x) ? 0
由于函数是奇函数,它关于原点对称,则有: x ? ?3 和 ?1 ? x ? 0 所以,函数不等式
f ? x? x ?1 ? 0 的解集为: ? ??, ?3? ? ? ?1,0? ? ? 0,1? ,选 D

10、已知函数 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a﹥0) ,若对任意 x1∈R,都存在 x2∈[-2,+∞],使得 f(x1)﹥g(x2) ,则实数 a 的取值范围是( )

11、 解:A={x|x2-2x-3>0}={x|x>3 或 x<-1}, ∵A∩B=(3,4],A∪B=R, ∴-1,4 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且 a>0, 则-1+4=-1× 4=
b =-3,即 b=3a, a

c = ? 4 ,即 c=-4a, a

1 1 1 3 b 2 a 9a 2 ? 则 ? 2= =9a+ ≥ 2 9a ? ? , 2 a c 16a a 16a 16a 2

当且仅当 9a= 故最小值为

1 1 ,即 a= 时,取等号, 16a 12

3 , 2 3 故答案为: . 2

选B

12、 解:由题意,S2 表示集合 N={1,2}的所有非空子集的“交替和”的总和, 又{1,2}的非空子集有{1},{2},{2,1}, ∴S2=1+2+2-1=4; S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12, S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3)+(3-2+1)+(4-2+1)+(4-3+1) +(4-3+2)+(4-3+2-1)=32, ∴根据前 4 项猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总 所以 S7=6× 26-1=6× 25=192 故答案为:192, 13、2015
8

和 Sn=n?2n-1,

选B

14、2 15、 解:设 1 ? x =t,则 t≥0, 则 x=1-t2,
1 f(t)=2(1-t2)-t,t≥0,函数图象的对称轴为 t=- ,开口向下 4 t 1 1 1 17 f (t ) ? ?2t 2 ? t ? 2 = ?2(t 2 ? ) ? 2 = ?2(t ? ) 2 ? ? 2 = ?2(t ? ) 2 ? 2 4 8 4 8

t≥0 ,∴f(t)max=f(0)=2, ∴函数 f(x)的值域为(-∞,2]. 故答案为: (-∞,2]. 16、若函数 f(x)=|(x2+4x+1)/x|-a 的图象与 x 轴恰有四个不同的交点,则实数 a 的取 值范围为 17、解(1) : 。

x ?3 ?0 ?0? x?3, x

则集合 A= ?x ∣ 0 ? x ? 3?

?2 x ? 1 ? 3 ?x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 2x ?1 ? 3 ? ? ?? ??(2 x ? 1) ? 3 ? x ? ?1
则集合 B= ?x ∣ -1 ? x ? 2? (2)∴A= ?x ∣ 0 ? x ? 3? ∴CRA={x|x≤0 或 x≥3}, 则 ?CR A? ? B = ?x ∣ -1 ? x ≤ 0?

?0 ? x ? 1 ? 4 18、解:要使 g(x)有意义,则: ? ; ?x ? 1
∴1<x<3; ∴A={x|1<x<3}; ∵A∩B=B; ∴B?A; ①若 B=?,满足 B?A,则 a≥2a-1; ∴a≤1;
9

?a ≥ 1 ? ②若 B≠?,则: ?2a ? 1 ≤ 3 ; ? a ? 2a ? 1 ?

∴1<a≤2;

∴a≤2; ∴实数 a 的取值范围为(-∞,2].

19、解:(1)令 t=x+1,t∈[1,3], 则 x=t-1, 故 y=f(x)=
4 x 2 ? 3 (t ? 1) 2 ? 3 ? =t+ -2, t x ?1 t

由对勾函数的性质可知,
4 -2 在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增; t 4 7 且 g(1)=1+4-2=3,g(2)=2+2-2=2,g(3)=3+ -2= , 3 3

函数 y=g(t)=t+

故函数 f(x)在区间[0,2]上的最小值为 2,最大值为 3; (2)当 x∈(1,4)时, ∵(x+1)f(x)-ax=0, ∴(x2+3)-ax=0, 故 a=
3 x2 ? 3 =x+ , x x
3 x

作函数 y=x+

在(1,4)上的图象如下, , 其中 ymin=

3+

3 =2

3,
3 >4, 4

y|x=1=1+3=4,y|x=4=4+

故结合图象可知,当 2 3 <a<4 时, 关于 x 的方程(x+1)f(x)-ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根. 故实数 a 的取值范围为 2 3 <a<4.

10

20、解:(Ⅰ)∵函数 f(x)对任意 x 满足 f(3-x)=f(x),且有最小值 ∴函数图象的顶点坐标为(
3 7 设 f(x)=a(x- )2+ , 2 4 3 7 , ), 2 4

7 . 4

∵函数 f(x)的图象过点(0,4), ∴a(3 2 7 ) + =4, 2 4

∴a=1,
3 7 ∴f(x)=(x- )2+ =x2-3x+4, 2 4

(Ⅱ)函数 h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4 的图象是开口朝上,且以直线 x=t 为对称轴的 抛物线, 当 t<0 时,函数 h(x)在[0,1]上为增函数,当 x=0 时,函数 h(x)的最小值 g(t)=4; 当 0≤t≤1 时,函数 h(x)在[0,t]上为减函数,在[t,1]上为增函数,当 x=t 时,函数 h(x) 的最小值 g(t)=t2-3t+4; 当 t>1 时,函数 h(x)在[0,1]上为减函数,当 x=1 时,函数 h(x)的最小值 g(t)=5-3t;
?4, t ? 0 ? 综上所述,值 g(t)= ?t 2 ? 3t ? 4, 0 ≤ t ≤ 1 ?5 ? 3t , t ? 1 ?

21、 解:(Ⅰ)由题意知,函数 f(x)的定义域为 R, 令 x=y=0 得,f(0+0)=f(0)+f(0), 解得,f(0)=0, 令 y=-x 得,f(x-x)=f(x)+f(-x), 即 f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x), 故 f(x)是 R 上的奇函数; (Ⅱ)任取 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) =f(x2-x1), ∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)<0,

11

故 f(x2)-f(x1)<0, 故 f(x)在 R 是单调减函数, ∵f(1)=-2, ∴f(2)=f(1)+f(1)=-4,f(-2)=-f(2)=4, 故 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 4; (Ⅲ)∵f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4, ∴f(ax2)-f(2x)<f(ax)+f(-2), ∴f(ax2-2x)<f(ax-2), ∴ax2-2x>ax-2, 即 ax2-(2+a)x+2>0, 即(ax-2)(x-1)>0, 当 a=0 时,不等式(ax-2)(x-1)>0 的解集为(-∞,1), 当 0<a≤2 时,不等式(ax-2)(x-1)>0 的解集为(-∞,1)∪( 当 a>2 时,不等式(ax-2)(x-1)>0 的解集为(-∞, 22、 解:(Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9, 则 f(2)=af(1)+b,即 6=3a+b ①, f(4)=af(2)+b,即 9=6a+b,②, 解得 a=1,b=3; (Ⅱ)当 x∈[1,2)时,f(x)=k-|2x-3|, 令 x=1,可得 f(1)=k-1=3,解得 k=4,…10 分 所以,x∈[1,2)时,f(x)=4-|2x-3|, 故 f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 又(-2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,故 f(2x)=-2f(x)恒成立, 当 x∈[2k-1,2k)(k∈N*)时, f(x)= ?2f(
x 2
k ?1

2 ,+∞), a

2 )∪(1,+∞). a

∈ [1 , 2) ,

x x x ) = 4 f ( ) =…=(?2) k ? 1 f ( k ?1 ) ,…9 分 2 4 2

故 k 为奇数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3× 2k-1,2k+1]; 当 k 为偶数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3× 2k-1]. …11 分 所以当 n=1 时,f(x)在[1,2n)上的最大值为 4,最小值为 3;

12

当 n 为不小于 3 的奇数时,f(x)在[1,2n)上的最大值为 2n+1,最小值为-2n; 当 n 为不小于 2 的偶数时,f(x)在[1,2n)上的最大值为 2n,最小值为-2n+1.…13 分.

13


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