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2013届高考数学一轮复习讲义:第四章 4.8 正弦定理和余弦定理


一轮复习讲义

正弦定理和余弦定理

要点梳理

忆一忆知识要点

b c a 1.正弦定理: sin A =sin B = sin C =2R,其中 R 是三角形外接

圆的半径.由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c= sin A∶ sin B∶sin C ;(2)a= 2R

sin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ; c b a (3)sin A= 2R ,sin B= 2R ,sin C= 2R 等形式,以解 决不同的三角形问题.

要点梳理

忆一忆知识要点

2 2 2 2 2.余弦定理:a2= b +c -2bccos A ,b2= a +c -2accos B ,

b2+c2-a2 c2= a2+b2-2abcos C. 余弦定理可以变形为: A= 2bc , cos
a2+c2-b2 2ac cos B= ,cos C=
a2+b2-c2 2ab

.

要点梳理

忆一忆知识要点

1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 2 2 2 4R 2 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及 任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其 它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注 意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一 边对角的问题;(2)已知三边问题.

[难点正本

疑点清源]

解三角形时,三角形解的个数的判断 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 或直角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A bsin A<a<b 一解 两解 a≥b 一解 A 为钝角

a>b 一解

利用正弦定理求解三角形
例 1 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和 边 c.

已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这 个三角形,但要注意解的判断.
a b 3 2 解 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45° 3 ∴sin A= . 2 ∵a>b,∴A=60° A=120° 或 .

6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= = ; sin B 2

6- 2 bsin C 当 A=120° C=180° 时, -45° -120° =15° c= , = . sin B 2

探究提高
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦 定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边 的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.

变式训练 1
已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3,A+C=2B,则角 A
π 的大小为________. 6

π ∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3
asin B 1 由正弦定理知:sin A= b = , 2 π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6

利用余弦定理求解三角形
cos B 例 2 在△ABC 中,a、 b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C b =- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

cos B b 由 =- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+c

a2+c2-b2 解 (1)由余弦定理知:cos B= , 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab
cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 =- , 2ac a +b2-c2 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2
2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3

2 (2)将 b= 13, a+c=4, B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B, ? 1? ∴13=16-2ac?1-2?,∴ac=3. ? ? 1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4

探究提高
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是 迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用.

变式训练 2
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 A 2 5 → → cos = ,AB· =3. AC 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.
A 2 5 3 2A 解 (1)因为 cos = ,所以 cos A=2cos -1= , 2 5 2 5 4 → → ∴sin A= .又AB· =3,所以 bccos A=3,∴bc=5. AC 5 1 1 4 ∴S△ABC= bcsin A= ×5× =2. 2 2 5

(2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A 3 =36-10-10× =20,∴a=2 5. 5

正、余弦定理的综合应用
例3 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, 1 2 b,c.已知 sin A+sin C=psin B (p∈R),且 ac= b . 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

(1)利用正弦定理建立以 a、c 为未知数的方程组求解. (2)利用余弦定理建立 p2 的函数式.



(1)由题设并由正弦定理, ?a=1, ? 1 ? ?a= , 解得? 1 或? 4 ?c=4 ?c=1. ? ?

5 ? ?a+c=4, 得? ?ac=1, 4 ?

(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B 1 1 =(a+c)2-2ac-2accos B=p2b2- b2- b2cos B, 2 2 3 1 2 即 p = + cos B. 2 2 ?3 ? 2 因为 0<cos B<1,所以 p ∈?2,2?, ? ? 6 由题设知 p>0,所以 <p< 2. 2

探究提高
在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角 都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理即可求角.

变式训练 3
在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C= , 3
∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.
1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2 ?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ?ab=4, ?

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· A-sin B)=0, (sin ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,
当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2
当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b, 即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

易错警示
代数化简或三角运算不当致误
(14 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B), 试判断△ABC 的形状.

审题视角
(1)先对等式化简,整理成以单角的形式表示. (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断,也可以根据角 的关系判断,所以可以从以下两种不同方式切入:一、根据 余弦定理,进行角化边;二、根据正弦定理,进行边化角.

规范解答 解 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B·2=2cos Asin B·2, b a 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B.
方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B,

[4 分]

∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sinA· B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, sin ∴sin 2A=sin 2B. [8 分]

在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B 或 2A=π-2B, π ∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. [14 分]

方法二 由正弦定理、余弦定理得: b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b =b a , 2bc 2ac
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0.
即 a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

[6 分]

[10 分]
[14 分]

批阅笔记

(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时,对所给的边角关系 式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关 系,再判断. (2)本题也可分析式子的结构特征,从式子看具有明显的对称 性,可判断图形为等腰或直角三角形. (3)易错分析: ①方法一中由 sin 2A=sin 2B 直接得到 A=B, 其 实学生忽略了 2A 与 2B 互补的情况, 由于计算问题出错而结论 错误.方法二中由 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)不少同学直接得 到 c2=a2+b2,其实是学生忽略了 a2-b2=0 的情况,由于化简 不当致误.②结论表述不规范.正确结论是△ABC 为等腰三角 形或直角三角形,而不少学生回答为:等腰直角三角形.

方法与技巧
1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形 内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角 形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题. A B C 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 2 2 2 π 中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数. 2 3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结 合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· C· A, sin cos 可以进行化简或 证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换.

失误与防范
在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一 边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两 解或无解,所以要进行分类讨论.

考点一

三角函数的最值问题

例 1. (本题满分 1 2 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ? 3 cos2 x . 3 3 3 (1)将 f ( x) 写成 A sin(? x ? ? ) ? h ( A ? 0 )的形式, 并 求其图象对称中心; (2)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2 ? ac ,且边 b 所对 的角为 x,试求 x 的取值范围及此时函数 f ( x) 的值域.

3 (1 2 2x 1 sin 2x 2x 1 sin 2 x ? 3 3 ? cos 2 x 1 sin 2 xx?? 3 (1 ? coscos))2 x ) x 解: (1) ( ) ? 解: f (ffx x)) ? 1 sin (1) f ((x)?? 解:(1) 解: (1) 2 3 2 (1 (1 ? 3 2 3 ? 2 2 ? cos 3 ) 3 2 3 2 2 3 3
2 π ? sin( 2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ? ?sin( 2 x ? ? ))? ?? sin( 3 ? 3 ) ? 3 3 3 3 3 3 2x π 由 sin(2 x ?? 由 sin( 2 x ? ? ) ? 0 , 由 sin( 3 ? 3 ) ? 0 , 3 3 3, 33, 3, 2 22 . 2

…3 分 …3 分 …3 分

3 3 2x ? k 即 2 x ? π ? k? ( ? Z) 得, x 3 k ?11 ? 即 2 x ? ? ? kπ(kk ? Z) 得, x??33k??1π, , kk ? Z. ? Z. 即 3 ? 3 ? k? (k ? Z) 得, x ? 22 ? , k ? Z. 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 3k ? 1 ? k ? Z. 即对称中心的横坐标为 3k ? 1 ? ,,k ? Z. 即对称中心的横坐标为 2 π, k ? Z. 2 2 3 3k ? 1 ? 3 ), k ? Z. ……6 分 3k ? 1 ? ,, 3 ), k ? Z. ……6 分 其对称中心为( k ? 1 其对称中心为 ((33k ? 1 , 3), k ? Z. 其对称中心为 ( 2 ?π, 2 ), k ? Z. ……6 分 其对称中心为 2 2 22 22

(2) 由 b2 ? ac,得
a ? c ? b ? a ? c ? ac ≥ 2ac ? ac ? 1, cos x ? 2ac 2 2ac 2ac ? 1 ≤ cos x ? 1. 2 π , 从 而 π ? 2 x ?π ≤ 5 . π ?0 ? x ≤ 3 3 3 9 3
2 2 2 2 2

π ? sin( 2 x ? π ) ≤ 1. ? sin 3 3 3

2x ? π) ? 3 ≤ 1 ? 3 . ? 3 ? sin( 3 3 2 2
x ? (0, π ], 综上所述, 函数 f(x)的值域为 ( 3, 1 ? 3 ] . 3 2

考点二

判断三角形的形状

例2.若 lg sin A ? lg sin B ? lg cos C ? lg 2, 则△ ABC为

等腰三角形 .
解: lg sin A ? lg 2 ? sin A ? 2sin B cos C sin B cos C

? sin( B ? C ) ? 2sin B cos C

? sin B cos C ? cos B sin C ? 0 ? sin( B ? C ) ? 0 ? ?π ? B ? C ?π, ? B ? C ? 0, ? B ? C .

在 如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2, 【2】 △ABC中,
等腰直角三角形 B为锐角,则△ABC形状为______________________. 解:由lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2, 得
sin B ? 2, 2
a ? 2. c 2

因为B是锐角,? B ? 45?.
由 a ? 2 , 得 sin A ? 2 , c 2 sin C 2

? 2 sin C ? 2sin A ? 2sin 135? ? C), (

? sin C ? sin C ? cos C , ? cos ? 0,C ? 90?.
所以三角形是等腰直角三角形.

考点三 有关三角形的变换技巧

例3.在△ABC中,角A,B,C 所对边长分别为a,b,c,设 a,b,c满足条件b2+c2-bc=a2和 c ? 1 ? 3, 求角A 和
b 2

tan B的值.
解:由 b2+c2-bc=a2,

即cos A ? 1 , 又0 ? A ?π,? A ? π . 2 sin C 3

b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 , 得 2bc 2

π 又 c ? 1 ? 3, ? 1 ? 3, C ?π ? A ? B ? 2 ? B, b 2 sin B 2 3 π ? sin( 2 ? B) ? ( 1 ? 3)sin B, 3 2 整理得 3 cos B ? 1 sin B ? 1 sin B ? 3 sin B . 则 tan B ? 1 . 2 2 2 2

考点三 有关三角形的变换技巧

例3.在△ABC中,角A,B,C 所对边长分别为a,b,c,设
a,b,c满足条件b2+c2-bc=a2和 tan B的值.
c ? 1 ? 3, 求角A 和 b 2

π sin ( 2 ? B ) 1 ? 3 ? c ? sin C ? 3 2 b sin B sin B π π sin 2 cos B ? cos 2 sin B 3 ? 1, 3 3 ? ? 2tan B 2 sin B

则 tan B ? 1 . 2

3 ?1 【3】在△ABC中, 2b ? a ? c, B ? ? , S△ABC ? 3 ,则b=______.
6 2

解:ac ?

2S ? 6 sin 30?

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos 30? 3, 2 2 ? b ? (2b) ? 2 ? 6 ? 2 ? 6 ? 2

? b ? 4? 2 3
2

? b ? 3 ? 1.

考点四 有关三角形的面积问题
7 3 例4. 锐角△ABC中, b=7,外接圆半径 R ? 3 , S△ABC ? 10 3, 求 a, c 的长(a>c). ? B ? 60?. ? 3, 解: ? sin B ? b ? 7

? S△ ABC

2 7 3 2? 3 ? 1 ac sin60? ? 10 3, 2

2R

? ac ? 40.



? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos60?
? (a ? c )2 ? 2 ? 40 ? 2 ? 40 ? 1 ? 49, ? a ? c ? 13. 2



解①,②得 a ? 8, c ? 5.(舍去a ? 5, c ? 8)

例5. △ABC中, b:c = 8:5, A=60°,其内切圆的面积 为27π, 求S△ABC.
解: 设 b ? 8k , c ? 5k , k ? 0,
2 则 a ? (8k)? 5k)? 2 ? 8k ? 5k ? cos60? ? 49k 2 ? 7k. ( 2

? r 2 ? 27? , 设内切圆半径为r,则

? r ? 3 3.

? S△ ABC ? 1 ? 8k ? 5k sin60? ? 1 (8k ? 5k ? 7k ) ? 3 3, 2 2

?10 3k 2 ? 30 3k,

? k ? 3.

? S△ABC ? 10 3k 2 ? 90 3.

c 例6.在△ABC中, ? 2 2, a ? b, C ? 45?,tan Atan B ? 6, 求a , b及△ABC的面积.

解: tan A ? tan B ? tan( A ? B)(1 ? tan A tan B) ? tan135? ? (1 ? 6) ? 5. 又 a ? b, ? tan A ? tan B ? 0. ? tan A ? 3,tan B ? 2.
由A, B ? (0, ? ), 得 sin A ? 3 ,sin B ? 2 , 2 10 5

2 2? 3 2 2? 2 10 ? 6 10 , 5 ?8 5. ? a ? c sin A ? b ? c sin B ? 5 sin C 5 sin C 2 2 2 2

S△ ABC ? 1 ab sin C ? 1 ? 6 10 ? 8 5 ? 2 ? 24 . 2 2 5 5 2 5

【1】△ABC中, c= 3 , b=1, ∠B=30°, 则 3或 3 △ABC的面积等于 2 4.
解: 1 ? 3 , ? sin C ? 3 . sin 30? sin C 2

Q 0? ? C ? 180?, ∴C=60°或120°.
3; 2

(1)当C=60°时, A=90°, ∴a =2, 此时, S ?ABC ? (2)当C=120°时,A=30°,

S ?ABC ? 1 ? 3 ? 1 ? sin 30? ? 3 . 2 4

【1】△ABC中, c= 3 , b=1, ∠B=30°, 则 △ABC的面积等于 23 或 43 .
解:12 ? a 2 ? ( 3)2 ? 2a ? 3 ? 3 2
2

? a ? 3a ? 2 ? 0 ? a ? 1或2
(1)当a=1时, S ?ABC
1 ac sin B= 3 ? 2 4

(2)当a=2时, S ? 1 ? 2 ? 3 sin 30? ? 3 . ?ABC 2 2

【2】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为 a, b, c, 4sin2 A ? B ? cos 2C ? 7 . 则角 C 的大小为____. 60?
2 2

解:由4sin A ? B ? cos 2C ? 7 , 2 2
2

得 4cos2 C ? cos 2C ? 7 , 2 2 1 ? cos C ?4 ? ? (2cos2 C ? 1) ? 7 , 2 2

整理, 得4cos2 C ? 4cos C ? 1 ? 0 ? cos C ? 1 . 2 ? 0? ? C ? 180?, ? C ? 60?.

【3】(08福建) 在△ABC中, 角A, B, C 的对边分别为 π 或 2π 2+c2-b2)tan B= a, b, c,若 (a 3 ac,则角B的值为 3 3 .

a ? c ? b ? tan B ? 3 , 解: 2ac 2 3 ? sin B ? 3 ? cos B ? tan B ? 2 2 Q 0 ? B ?π,
2 2 2

π ? B ?π 或 2 . 3 3

8. △ ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 若 B ? 60 , a ? ( 3 ? 1)c .
?

(1)求角 A 的大小;

π π ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin x 的最大值 (2)已知当 x ? [ , 6 2 6 2
为 3,求 △ ABC 的面积.

2π 3 2π 3

2π 3

(2) f ( x) ? 1 ?22 sin 2 x ? a sin x ,令 t ? sin x , (2) f ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x ? a sin xt,令 t ? sin x , 2) f ( x) ? 1 ? 2 sin ? 2? a sin x ,令 ? 1 x , x ? ? a sin x ,令 t sinsin x , ? (2) f ( x) ? 1x ?sin , x ] ,所以 t ? [ 1 ,1] … 7 分 因为 ? 2 [ ? ? 2

(2) f因为 ?? ? 2,sin ,所以 tsin x ,令 t 7 分 x , ( x) x 1 ?6 ? 2 ] x ? a ? [2 ,1] … ? sin [ ? ?6 2,所以1t ? [ 1 ,1] … 7 分 因为? ? [ , ] ,所以 t ? [ 1 ,1] … 7 分 ? 2 x? π 因为 x ,? [ ]? , ] t ? [ ,1] π 6 2 1 2 7 因为 x ? [ ,所以 2 ,6? 2 ? 2 t ? [ … … 分 分 a 2 a 2 因为 x ? [ 2 ] ,所以2 2 ,1] 1 6 ?6g (2) ? ?2t ? at2? 1 ? ?7 t ? a) 2 ? a2 ? 1 , t 2 ?因为) x ? [tt ) ? ?2t ? at ?t1 ?[?2(1a?2 )7 ? ? 1 , t1 ? ff ( x ) ?6g ( , ]2,所以 ? 2(ta … a2 8 t ? [ 1 (x , 24 2 ?8 1 2 ? at ? 1 ? ?2(t ? ] )24 a 分 1 , ? f ( x) ? g (t )62 ?2t ? at ? 1 ? ?2(2 ? a) ?2 ? 1 , t ? [ ? ? (g (t ) ? ?t2t? ?22t ? 1 ? ?2(t ? a )t2 ?2 ? 18 t ? [ ,1] . f x) ? g ( ) ? ?2 ? , ? ? x)( x) ? g (t ) ? ?2t at at ? 1 ? ?2(t ? a ) 4? a ? 1 , t ? [ 1 ,1 f(f 2 48 8 2 ? a 1 4 4 2 a 1 8 a 2 a2 2 ①若 a ? 1 ,即 a ? 2 , 2 ①若 x 1 g (a ①若 f ? 2,即 t a?2 2 , , a ?1a (?)2?,即 )? ??2t ? at ? 1 ? ?2(t ? ) ? ?1 ①若 4 1 a ? 2a ? 2 , 4? 2 a 4,即 ,即 , ①若 ? 4 2 4 8 a ? ,即1 ? 21, 1 1 ①若 2 4 4 2 1) ?1 1 a ? 1 , 1 a 1 1 ? 3 ,则 a ? 5 (舍去 1 1 a? 1 ffmax ? gg(1 ) )??1 a a ? , a ? 1 ? 3? 3 ,则 a ? 5 (舍去 ? 1(( g1 1 a f max 1? g ( 1 ) ? 1a? 1 2 1 a ? ? ? 3 ,则 a ? 5 (舍去) ? 2 , 12 ; max ? f max ? 1 ,即 a , a1? 21 3 ,则 a ? 5a ? 5 (舍去) ? 2 , ; 2a1? 22 1 2 , 2 ? 2 2 ,则 (舍去) ①若 2 f max ? g ( g ) ?) 22 a2? 2 a2? ? 32 ;…… 2 f max 4 2 ( 2 2 ? ? ;…… 2 2 , 2 2 2 2 ,则 a ? 5 (舍去) 2 a 1 ≤a ≤ 2 a 1 ≤ 2 ≤ 1 ,即 2 ≤ ≤≤ 4 , ②若 1 ≤ a ≤ 11 ,即 2 ≤ a ≤ ,, ②若a ≤ 4≤1 ,即 1 ≤ a ≤ 4 , ②若 1 ②若 2 ,即 2 4 1 1 ≤ 2≤ 144 2 ≤ a2 ≤ a a 4 41 ②若 1 2 a?4g ( ) ? ≤ ? , a ? 1 ? 3 ,则 a ? 5 ( , 2 ,即 ≤ ②若 f max ≤ 1 ,即 2 ≤ a ≤ 4 , 2 24 4 2 2 2 aa22 2a22 2 2 2 a )??aa ?? 1 , 2a? 1 ? 3 ,得 a ?a4? 4 ; ……分 aa a 2 ? 1 ? 3 ,得 ; …… 11 1 2 ffmax a? g ((a2) )?2 ??,2 a ? 1 ? 3 ,得 a ?a4? 4 …… 11 分 max ? g ) ? ? 4 1 , 1 1 18 3 ? 1 a ? 4 ; ; 11 …… 1 ga fmax ?) g ((4 ??88 a1 ,,?8 ,得? 3 ,得 …… ; 分 max fmax ? g ( g ( aa44 a ?8 , a ? 1 ? 3 ,得 a ? 4 ; …… 11 分 81 8 ? 8 8 1 4 ) ? 1 ,即 2 ≤ a ≤ 4 , fmax ≤ ②若 ? ≤4 8 8 8

2

4

a ③若 ? 1 ,即 a ? 4 , a ?a ③若 4 1 ,即 a ? 4 , 4 a 1 ,即 ? 4 4 ③若 ? ? ,即 a a ? , , ③若 4 1 f max 4 (g)(1)1? 1 ? 2 ? a ? 1a ?a ? 1 ? 3 ,得 3 ,得 a ? 1 ? ? 2 ? a ? a ? , 1 , a ? 1 ? a ? 4 .… f ?g
max

f f? 4 ..) ). ? 1 ? 2 ? a ? a , , 1 ? 3 ,得 a ? 故 max??4g (1(1) 1 ? 2 ? a ? a ? 1? 1a ?a ? 1 ? 3 ,得 得 a amax (? g ? 舍去 故 故 ? ? c 故 aaa 4 ..3 2. ? ?综上, ?? 4. 2 ?3 ? 2. c ?? aa ?42 3 ?1 1 3 ?a ?? 3? ? c c ? a ? ? 23 ? 2. 2. 2 1 ?3 3 1 1 3 ? 2) ? 3 ? 6 ? 2 3. ? SSABC ? ? 1 4?4 ? (2 3 ? 2) ? 3 ? 6 ? 2 3. (2 ? ? ?ABC 2 ?? ? 2 2 2 1 ?4 3 ?2 2 ? SSABC ?? 1 ? ? (2(23 ? 2) ? ?3 ? 6? 6 ? 3. 3. ? ? ?ABC 2 4? 3 ? 2) 2 2 2

【4】
π 3

(08辽宁)

π 3

(2)由题意得 sin( BB 2A) ?2sin( B ? A)A)4sin A cos A , (2)由题意得 sin( ? ?? b ? sin(? 4, ? 4sin A cos A A) ? ab B ? ? ?a? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , (2)由题意得 sin(?2sin A cos A ,…………7 分 联立方程组 即 sin B cos A ?B cos A ? ? 2sin cos A A ,…………7 分 2sin A A 即 sin BB cos A b ? 2a, cos ,…………7 分 即 sin ? ①当 cos A ? 0A ? 2sin A ? ? B ? ? ,? 时, A ? ?cos A ,…………7 分 , 即 sin B cos 2 ? 6 ①当 cos A ? 0 时, A ? ,? B ? , ? A 3 ,b A ? , ①当 cos? 2? 0 时,? 42?3 . ? B 6 , ?, 解得 a A ? 0 时, A ? 2 ? B ? ? 6 ①当 cos 3 3 , 4 , b ? 2 3 .3 ………… 6 分 2 ?a ? 8 43 3 , b ? 2 3 . ………… 8 分 B 3 ?a ? 4 3 1 , b ?22 332. 3 ………… 8 分 ?a ? 3 ? Sa ? 4 ?3 , bsin 3 ? . ………… 8 分分 ab ? C . ………11 ? △ ABC

(2)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,

32 3

3 3

3

2 3 即 △ ABC 的面积为 . …………12 分 3 C A
b

a

c

★互动变式 3 已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内 ★互动变式 已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内角 ★互动变式 33 已知角 A,B,C 为△ABC?的三个内角, 互动变式 3 已知角 A,B,C ? 为△ABC 的三个内角,A 【17】 A ? ?A ? ? ? ? ? A cos 其对边分别为 a, ? c, m=?-cos,sinA?2 ??cosA,sinA? A b, 若 A-cosA,sinA?? A, ?cosA,sin A? 2 ,sin , n=?A? 2 ,s ?-cos n=?cos n= ? ?, ?, ?,sin ?, 其对边分别为 m=?c, 其对边分别为 a,c, 若 m= n= 分别为 a, c, a,b,若 m=? ? ? 2 2 2 ?,? 2?,sin 22 2 ? b, 若 b, -cos 2 2 ? ?2 ? 2? ? ? 1 a=2 3,且1m·n=1. . 3,且m·n=1. m·n= a=2 3,且. a=2 ,且 m·n= 2 22 2 (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+cb+c 的值; (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 的值; (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; 若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; (2)求 b+c 的取值范围. (2)求 b+c 的取值范围. (2)求 b+c 的取值范围. 求 b+c 的取值范围.

★互动变式 3 已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内角 ★互动变式 3 已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内角, 互动变式 3 已知角 A,B,C? 为△ABC 的三个内角, 【17】 ? A A? A ? ? A? 其对边分别为 a, ?c, m=?-cos 2 ,sin 2 ?, ?A A2 ,sin b, 若 A n= A,sinA? ? A?cos?cos ? A? 其对边分别为 m=?-cos -cos n= 分别为 a, c, a, c, m=?,sin2 ?, 2?cos 2?,sin 2 ?,2 ?, b, 若 b, 若 2? ? 2 n= ?, ? 2 ,sin ? ? ? 1 ? ? ? a=2 3,且1m·n=1..A A A? A? ? 2 a=2 3,且 m·n=? ,且 m·n= . 2 【解析】(1)m=?-cos 2 ,sin 【解析】(1)m=?-cos 2 ,sin 2 ?,2 ?, 2 ? ? (1)若△ABC 的面积 S= 3,求? b+c 的值; (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; ?? ?S= ?? ? 的面积 ? A 3,求 b+c 若△ABC ? AA 的取值范围. 1 的值; (2)求 b+c A?,且 m·n= n=1. (2)求 m,sin 1?, 得 m 解:cosb+c?的取值范围. · . (1) n=? ?cos,sin 2 n= 由 2 n =? 2 ,且 2 2 2 求 b+c 的取值范围.? 2 ?? 2 2 ?? cosA A ?A A A1? 1 , sin1 即1cos A ? ? 1 . 2A 2 ,即-cos A= ,又 2 ∴-cos 2+sin2 = = ,即-cos A=1A∈(0,π),∴A ∴-cos +sin 2 2 2 2? ,又 2 A∈(0,π) 22 2 2 2 2 2 ? A ? (0,1 ), ? A ? . ? 2π 3 1 = 2π ,又由 S△ABC= bc·sin A= 3,∴bc=4. ? bc ? 4. = 3 ,又由 S△ABC2 bc·sin A= 3,∴bc=4. = 3 2 2π 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得:a =b +c -2bc·cos ? (b+c )+bc, =b ? c 2 bc, 2π ? 2 2 2 2 3 由余弦定理得:a =b +c -2bc·cos =b +c +b 2 2 3 ?(2 3) ? (b ? c) ? 4,

故 b ? c ? 4.

(2)由正弦定理得: b= sin c a 2 2π= (2)由正弦定理得: sin B sin ∴16=(b+c)2,故 b+c=4. =C=C=A=A= =4, sin = 2π 3 =4 sin sin sin (2)由正弦定理得: B = = B b sinπ c sin C sin2Asin 3 2π a 3 sin 3 sin (2)由正弦定理得: = , = = =4, 3 又 B+C=π-A= sin C sin A sin B π 2π ππ 3 sin 又 B+C=π-A= , 3 又 B+C=π-A= ,, 3 又 B+C=π-A= π π33 π ∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin( -B 又 B+C=π-A= , ππ 3 ∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin( -B) 3 3 ∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin( -B) ∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin( -B) π π 3 3 π ), ∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin( -B) =4sin(B+ ), =4sin(B+ 3 ππ3 ? 4sin( B ? ?3). 3 =4sin(B+ ), =4sin(B+ ), π π 3π 3 π ? π? ? ? B<B+π2? . , ?π? 2π2π =4sin(B+ ), ,则 ? ? 0∵0<B< , ,则 <B+ < < , ? Bπ 3 ? ∵0<B< π π π π 2π π333 3 3 3 2π 333 3 33 ∵0<B< ,则 <B+ 2π < ,, ∵0<B< ,则 <B+ 3 π 3 π 3 π 3< ∵0<B< ,则 <B+ π 3, 3 3 3 3 3 π< 3 3 3<sin(B+)≤1, 2 3 ? b ? c ≤ 4. 则3 <sin(B+ 3 )≤1, ? 则2 3 2 π π 33 则 <sin(B+ )≤1, <sin(B+ )≤1, 则 3<sin(B+π)≤1, 则 22 33 2 即 b+c 的取值范围是(2 3,4]. 即 b+c 3 的取值范围是(2 3,4].

即 b+c 的取值范围是(2 3,4]. 即 即 b+c 的取值范围是(2 3,4]. b+c 的取值范围是(2 3,4].

心 有 多 大 舞 台 就 有 多 大

不 可 思 议

只 要 努 力 一 切 皆 有 可 能


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