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山东省青岛市2013届高三一模理科数学试题

时间:2013-05-24


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的表面积为: S ? 4 ? R ,其中 R 为球的半径.
2

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2
2i 1? i

的实部为 D. ? 1

C. 1

2 2. 设全集 U ? R ,集合 M ? ? x | y ? lg ( x ? 1) ? , N ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ,则 N ? ( ?U M ) ?

A. ? x | ? 2 ? x ? 1?
?
2

B. ? x | 0 ? x ? 1?
?
2

C. ? x | ? 1 ? x ? 1?
?
2

D. ? x | x ? 1?
?
2

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ?
)

B. y ? cos( 2 x ?

)

C. y ? sin( x ?

)

D. y ? cos( x ?

)

4. 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 1 ? 2, a 5 ? 3 a 3 ,则 S 9 ? A. 9 0 B. 5 4 C. ? 54 D. ? 7 2

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m , n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ?

-1-

6. 一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图与左视图均为 半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是 A. 1 6 ? B. 1 4 ?
2

C. 1 2 ?

D. 8 ?
正视图 左视图

7. 已知抛物线 y

? 4 x 的焦点为 F , 准线为 l , P 为抛物 点

线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , P F ? 4 , 则直线 A F 的倾斜角等于 A.
7? 12

B.

2?

C.

3?

D.

5?

俯视图

3 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |? | a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

? x, x ? 0 9. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 , 若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有三个不同的零点, 则实数 m 的 ? x ? x, x ? 0

取值范围为 A. [ ?
1 2 ,1]

B. [ ?

1 2

,1)

C. ( ?

1 4

, 0) 1 x

D. ( ?

1 4

, 0]

10. 已知 f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? A. 1 5 B. ? 1 5 C. 3 0 D. ? 3 0

) 展开式中 x 项的系数为

n

2

11. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f ( 4 ? x ) ,且当 x ? 2 时其导函数
f ? ( x ) 满足 xf ? ( x ) ? 2 f ? ( x ), 若 2 ? a ? 4 则

A. f ( 2 ) ? f (3) ? f (lo g 2 a )
a

B. f (3) ? f (lo g 2 a ) ? f ( 2 )
a

C. f (lo g 2 a ) ? f (3) ? f ( 2 )
a

D. f (lo g 2 a ) ? f ( 2 ) ? f (3)
a

12. 定义区间 ( a , b ) , [ a , b ) , ( a , b ] , [ a , b ] 的长度均为 d ?b?a,多个区间并集的长度
1 ) [, ) ? 1( ) 3 2 ) 53 . 为各区间长度之和,例如, ( , 2 ?3 5 的长度 d ( ??? ? 用 [ x ] 表示不超过

x 的最大整数,记 { }?x? x ,其中 x ? R .设 f( )?x? x , g x ?x? ,当 0 ? x ? k x [ ] x [ ]{} ( ) 1
) ( ) 时,不等式 f (x ?g x 解集区间的长度为 5 ,则 k 的值为

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 网

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行 后,输出的 x 值为 ; 14. 若 ? ( 2 x ?
1 a

开始

1 x

) d x ? 3 ? ln 2 ( a ? 1) ,则 a 的值

n ? 1, x ? a



;
2 2

? x ? y ? 4 ? 15. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函 ? y ? 0 ?

n ? n ?1 n?3
否 输出 x 是

x ? 2x ?1

数 z ? 2 x ? y 的最大值是 16.给出以下命题: ① 双曲线
y
2

;

? x ? 1 的渐近线方程为 y ? ?
2

2x ;

结束

2

② 命题 p : “ ? x ? R , s in x ?
+

1 s in x

? 2 ”是真命题;

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;

④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0 ,1) ,若 P (? ? 1) ? 0 .2 ,则 P ( ? 1 ? ? ? 0 ) ? 0 .6 ; ⑤ 已知
2 2?4 ? 6 6?4 ? 2, 5 5?4 ? 3 3?4 ? 2, 7 7?4 ? 1 1? 4 ? 2, 10 10 ? 4 ? ?2 ?2 ? 4 ? 2,

依照以上各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

n n?4

?

8?n (8 ? n ) ? 4

? 2 , n ? 4) (

(写出所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0 ) 在区间 [0,
?
3 ] 上单调递增,在区间 [

?
3

,

2? 3

] 上单调递减;如
C

图,四边形 O A C B 中, a , b , c 为 △ A B C 的内角
A, B, C 的对边,且满足
4? sin B ? sin C sin A ? 3 cos A
?
O

? cos B ? cos C

B

.

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2 a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ? AOB ? ? ,
(0 ? ? ? ? ) , O A ? 2 O B ? 2 ,求四边形 O A C B 面积的最大值.

A

-3-

18. (本小题满分 12 分) 现有长分别为 1m 、 2 m 、 3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编 号) ,从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管 相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A ) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图,几何体 A B C D ? B1C 1 D 1 中,四边形 A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 , A B ? a , 面 B 1 C 1 D 1 ∥面 A B C D , B B 1 、C C 1 、D D 1 都垂直于面
A B C D ,且 B B 1 ?
D1
?

C1 B1
E

2 a ,E 为 C C 1 的中点,F 为 A B

的中点. (Ⅰ)求证: ? D B1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? D E ? F 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知 n ? N
?

D
C

A F

B

,数列 ?d n ? 满足 d n

?

3 ? ( ? 1) 2

n

,数列 ?a n ? 满足 a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ;又知
m n

数列 ?b n ? 中, b 1 ? 2 ,且对任意正整数 m , n , b n ? b m . (Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?b n ? 中的第 a 1 项,第 a 2 项,第 a 3 项,??,第 a n 项,??删去后,剩余的项 . . . . 按从小到大的顺序排成新数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和. 21. (本小题满分 13 分)
x 已知向量 m ? ( e , ln x ? k ) , n ? (1, f ( x )) , m / / n ( k 为常数, e 是自然对数的底数) ,曲

??

?

??

?

-4-

x 线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x ) ? xe f ? ( x ) .

(Ⅰ)求 k 的值及 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 已知函数 g ( x ) ? ? x ? 2 a x ( a 为正实数),若对于任意 x 2 ? [0 ,1] , 总存在 x1 ? (0 , ? ? ) ,
2

使得 g ( x 2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2

3 ,离心率为

2 2

,其右焦点为 F ,过点

B ( 0 ,b )作直线交椭圆于另一点 A .

(Ⅰ)若 A B ? B F ? ? 6 ,求 ? A B F 外接圆的方程;
x a
2 2

??? ??? ? ?

(Ⅱ)若过点 M ( 2 , 0 ) 的直线与椭圆 N :

?

y b

2 2

?

1 3

相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点,

且满足 O G ? O H ? t O P ( O 为坐标原点) ,当 P G ? P H ?

????

????

??? ?

????

????

2 5 3

时,求实数 t 的取值范围.

-5-

青岛市高三统一质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. C B A C D A B B C A C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 3 1 14. 2 15. 2 5 16.①③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知:
? sin B ? sin C sin A ? 2? ? 4? 3

?

,解得: ? ?

3 2



???????????2 分

2 - cos B - cos C cos A

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A

? sin ( A ? B ) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ?????????????????????4 分
? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2 a ???????????????????6 分

(Ⅱ)因为 b ? c ? 2 a, b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ A B C 为等边三角形
S OACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? 1 2 O A ? O B sin ? ? 3 4
2

AB

???????????8 分

? sin ? ?

3 4

( O A ? O B -2 O A ? O B c o s ? )
2 2

?????????????????9 分

? sin ? -

3 cos ? ?

5 3 4

? 2 s in ( ? -

?
3

)?

5 3 4



???????????????10 分

? ? ? (0 , ? ) ,? ? -

?
3

?( -

?

2? , ), 3 3

当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

, ? ? 即

5? 6

时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ?

5 3 4

??????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P ( A ) ?
C 3C 3 C 6 C9
3 1 2 1

?

9 14

???????????????4 分

-6-

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2, 3, 4, 5, 6
C3 C9 P (? ? 4 ) ?
2 2

P (? ? 2 ) ?

?

1 12
1 1

P ( ? ? 3) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

C 3 ? C 3C 3
2

C9 P (? ? 6 ) ? C3 C9
2 2

2

?

1 3

P (? ? 5 ) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

?

1 12

∴ ? 的分布列

?
P

2
1 12

3
1 4

4
1 3

5
1 4

6
1 12

为:

????????????????????9 分 ② E (? ) ? 2 ?
2

1 12

? 3?

1 4

? 4?

1 3

? 5?
2

1 4

? 6?

1 12

? 4

????????????10 分
2

? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ? ? E ( ? ) ? ? ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,? ? 4 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?
2

1 4

????????????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (I)连接 B D ,交 A C 于 O ,因为四边形 A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 ,所以 B D ? a 因为 B B 1 、 C C 1 都垂直于面
z
?

A B C D ,? B B1 // C C 1 ,又面 B 1 C 1 D 1 ∥面 A B C D ,? B C // B1C 1

D1

C1 B1
E

所以四边形 B C C 1 B1 为平行四边形 ,则
B1 C 1 ? B C ? a ???????????2 分
D

H

C

因为 B B 1 、 C C 1 、 D D 1 都垂直于面 A B C D ,
x
A F

O
B


y

D B1 ?

D B ? B B1 ?
2 2

a ? 2a
2

2

?

3a
6a 2

DE ?

DC

2

? CE

2

?

a ?
2

a

2

?

2

-7-

B1 E ?

B1C 1 ? C 1 E
2

2

?

a ?
2

a

2

?

6a 2

?4 分

2
2 2

所以 D E ? B 1 E ?
2 2

6a ? 6a 4

? 3 a ? D B1
2

2

所以 ? D B1 E 为等腰直角三角形

??????????????????5 分

(II)取 D B 1 的中点 H ,因为 O , H 分别为 D B , D B1 的中点,所以 O H ∥ B B 1 以 O A , O B , O H 分别为 x , y , z 轴建立坐标系,
a 2 ???? ? 3 2 ???? 2 2 a 2 2 2 3 4 ???? a ), D F ? ( 3 4 a 4 3 4

则 D (0 , ?

, 0 ), E ( ?

a , 0,

a ), B 1 (0 ,

,

2 a ), F (

a,

, 0)

所以 D B 1 ? (0 , a , 2 a ), D E ? ( ?
??

3 2

a,

a 2

,

a,

a , 0 ) ??????7 分

设面 D B1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) , 则 n1 ? D B1 ? 0, n1 ? D E ? 0 ,即 a y 1 ?
??
?? ???? ? ?? ???? 2 a z1 ? 0 且 ?
3 2 a x1 ? a 2 y1 ? 2 2 a z1 ? 0

令 z 1 ? 1 ,则 n1 ? (0 , ? 2 ,1) ????????????????????????9 分 设面 D F E 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则 n 2 ? D F ? 0, n 2 ? D E ? 0 即
?? ?

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ?

3 4

ax2 ?

3 4

ay2 ? 0 且 ?

3 2

ax2 ?

a 2

y2 ?

2 2

az2 ? 0

令 x 2 ? 1 ,则 n 2 ? (1, ?
6 ?? ?? ? 则 co s n1 , n 2 ? 3 3?

3 2 6 , ) 3 3

????????????????????11 分

?

2 6 3 ? ? 8 3 2 2 1 3

,则二面角 B1 ? D E ? F 的余弦值为

2 2

?12 分

1?

20. (本小题满分 12 分) 解:? d n ?
3 ? ( ? 1) 2
n

,? a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ?
2 2 3 3

3 ? 2n 2
n

? 3 n ???????3 分
n

又由题知:令 m ? 1 ,则 b 2 ? b1 ? 2 , b 3 ? b1 ? 2 ? b n ? b1 ? 2 若 b n ? 2 ,则 b n ? 2
n m nm

??????5 分

, bm ? 2
n

mn

,所以 b n ? b m 恒成立
m n

-8-

若 b n ? 2 ,当 m ? 1 , b n ? b m 不成立,所以 b n ? 2
n m n

n

??????????????6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?b n ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项??删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇 数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b 2 ? 4 公比均是 8 ,
T 2 0 1 3 ? ( c1 ? c 3 ? c 5 ? ? ? ? ? c 2 0 1 3 ) ? ( c 2 ? c 4 ? c 6 ? ? ? ? ? c 2 0 1 2 )
? 2 ? (1 ? 8 1?8
1007

????9 分

)

?

4 ? (1 ? 8 1?8

1006

)

?

20 ? 8

1006

?6

????????????????12 分
1 ? ln x ? k e
x

7
1n x ? k e
x

21. (本小题满分 13 分)解: (I)由已知可得: f ( x ) = 由已知,
f ? (1) ? 1? k e
x ? F ( x ) ? xe f ? ( x ) ? x (

x ? f ?( x ) ?



? 0

,∴ k
1 x

?1

??????????????????????2 分

? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ????3 分
1 e
2

由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ? 由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?
? F ( x ) 的增区间为 (0 ,



1 e
2

1 e
2

] ,减区间为 [

1 e
2

, ?? )

???????????????5 分

(II)? 对于任意 x 2 ? [0 ,1] ,总存在 x1 ? (0 , ? ? ) , 使得 g ( x 2 ) ? F ( x1 ) ,
? g ( x ) m ax ? F ( x ) m ax

??????????????????????????6 分 时, F ( x ) 取得最大值 F (
1 e
2

由(I)知,当 x
2

?

1 e
2

) ?1?

1 e
2

.????????????8 分

对于 g ( x ) ? ? x ? 2 a x ,其对称轴为 x ? a 当 0 ? a ? 1 时, g ( x ) m ax ? g ( a ) ? a , ? a ? 1 ?
2
2

1 e
2

,从而 0 ? a ? 1 ??????10 分
1 e
2

当 a ? 1 时, g ( x ) m ax ? g (1) ? 2 a ? 1 , ? 2 a ? 1 ? 1 ? 综上可知: 0 ? a ? 1 ?
1 2e
2

,从而 1 ? a ? 1 ?

1 2e
2

??12 分

????????????????????????13 分
c a 2 2

22. (本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)由题意知: c ?
x
2

3 ,e ?
y
2

?

,又 a ? b ? c ,
2 2 2

解得: a ? 可得: B (0,

6,b ?

?1 3 ??? ? 3 ) , F ( 3 , 0 ) ,设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 A B ? ( ? x 0 ,
3 ? 椭圆 C 的方程为:

?

??????????2 分
??? ? 3 ? y0 ) , BF ? ( 3 , ? 3 ) ,

6

??? ??? ? ? ? A B ? B F ? ? 6 ,? ? 3 x 0 ?

3 ( 3 ? y 0 ) ? ? 6 ,即 y 0 ? x 0 ?

3

-9-

? 4 3 2 2 ? x0 y0 ? x0 ? x0 ? 0 ? ? ?1 ? ? ? 3 ? ? 由? 6 ,或 ? 3 ? y0 ? ? 3 3 ?y ? x ? 3 ? ? y ? 0 ? 0 ? 0 3 ?

即 A (0, ? 3 ) ,或 A (

4 3 3

,

3 3

)

??????????????????????4 分
3 , ? A B F 外接圆是以 O 为圆心, 3 ?

①当 A 的坐标为 (0 , ? 3 ) 时, O A ? O B ? O F ?
2 2

为半径的圆,即 x ? y ? 3 ???????????????????????5 分 ②当 A 的坐标为 (
4 3 3 , 3 3 ) 时, k A F ? 1 , k B F ? ? 1 ,所以 ? A B F 为直角三角形,其外接圆 2 3 2 3 1 , ) ,半径为 A B ? 3 3 2 15 3

是以线段 A B 为直径的圆,圆心坐标为 (
2 3 3



? ? A B F 外接圆的方程为 ( x ?

) ? (y ?
2

2 3 3

) ?
2

5 3
2 3 3 ) ? (y ?
2

2 2 综上可知: ? A B F 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ?

2 3 3

) ?
2

5 3

??7 分

(Ⅱ)由题意可知直线 G H 的斜率存在. 设 G H : y ? k ( x ? 2 ) , G ( x1 , y 1 ) , H ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y )
? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由? x2 得: (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

由 ? ? 6 4 k ? 4 ( 2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 得: k ?
4 2 2
2

1 2

(? )

?????????9 分

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

8k ? 2
2

1 ? 2k

2

???? ???? ???? 2 5 2 5 2 5 2 ? PG ? PH ? ,? H G ? 即 1 ? k x1 ? x 2 ? 3 3 3

? (1 ? k )[
2

64k

4 2 2

(1 ? 2 k )

? 4?

8k ? 2
2

1 ? 2k
1

2

]?

20 9

?k

2

?

1

,结合( ? )得:

? k

2

?

1

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