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福州八县(市)一中联合体2012-2013学年第二学期期中考高二数学选修2-2试卷&答案

时间:2013-05-07


2012—2013 学年度第二学期八县(市)一中期中联考

8、函数 f ( x) ? A、3 个

高中二年数学科(理科)试卷

准考证号:

1 4 1 3 2 x ? x ? x ? 2 在 R 上的极值点有( 4 3 B、2 个 C、1 个

) D、0 个
<

br />9、有一串彩旗,▼代表蓝色,▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下所示: ▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼? 那么在前 200 个彩旗中有( A、111 B、89 10、下面给出了四个类比推理: (1)由“若 a, b, c ? R 则 (ab)c ? a(bc) ”类比推出“若 a,b,c 为三个向量则
(a ? b) ? c = a ? (b ? c) ” 2 2 (2)“a,b 为实数, 若a ? b ? 0 则 a=b=0”类比推出“ z1 , z2 为复数,若
2 z12 ? z2 ? 0则z1 ? z2 ? 0 ” (3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体 的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”

题:平潭一中 魏 雄

复 核:念家桃 游文杰 满 分:150 分

)个黄旗。 C、133 D、67

完卷时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求) 1、 f ( x) ? x ?1 则 f ?(1) =( ) 1 A、1 B、 2 C、-1 D、0 2、若 i 为虚数单位,m,n R,且 =n+i 则 mn=( )

姓名:



线



A、-2 B、1 C、2 D、3 3、 有一段 “三段论” 推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) , 如果 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 3 是函数 f ( x) 的极值点;因为函数 f ( x) ? x 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, ) x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中( A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确 4、定积分

(4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在 空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”。 上述四个推理中,结论正确的个数有( ) )。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 11、 已知在 R 上可导的函数 f ( x) 的图象如图所示, 则不等式 f ( x) ? f ?( x) ? 0 的解集为( y A、 (?2, 0) B、 (??, ?2) ? (?1, 0) C、 (??, ?2) ? (0, ??) 0 ?2 ?1 D、 (?2, ?1) ? (0, ??) 1 1 12、若函数 f ( x) ? ax 3 ? ax 2 ? a ? 1 的图像 3 2 第 11 题 经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( ) 5 6 5 6 A、 ? a ? ? B、 a ? 1 或 a ? C、 a ? ? 或 a ? ?1 D、 ? ? a ? 6 5 6 5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、复数 z=i(i+1) (i 为虚数单位) 的共轭复数 Z = 14、曲线 y ? x 与 y ? x2 所围成的封闭图形的面积 s= 15、两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin α +sin(π +α )=0;三点等分单位 2π ? 4π ? ? ? 圆时,有相应正确关系为 sin α +sin?α + ?+sin?α + ?=0.由此可以推 3 ? 3 ? ? ? 知:四点等分单位圆时的相应正确关系为__________.
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高二年



?

e

1

1 x

dx ? (
B、1

) C、 e
1 D、 ? 1 e )

1 A、 ? e 2 ? 1

x

5、一物体的运动方程为 s=sin2t+3t+1,则它的速度方程为( A、v=2cos2t+3 B、v=2sin2t +3 C、v=-2cos2t+3 D、v=2cos2t+3t+1 1 1 1 6、用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等 2 3 2 -1 式( ) 1 1 1 A、1+ <2 B、1+ + <3 2 2 3 1 1 1 1 1 C、1+ + + <3 D、1+ + <2 2 3 4 2 3 7、若 p ? a ? 2 ? a ? 5 , q ? 小关系是( ) A、 p ? q B、 p ? q

学校:

a ? 3 ? a ? 4 , a ? 0 ,则 p、q 的大
C、 p ? q D、由 a 的取值确定

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16、下列四个命题中正确的有_______(填上所有正确命题的序号) ①若实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,则 a, b, c 中至少有一个不小于 1 ②若 z 为复数,且 z =1,则 ③ 任意x ? (0, ??), 都有x ? sin x ④定积分 ?0
?

z ?i

的最大值等于 2

4 三、解答题(17~21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分)
17、(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? x , 求函数 f ( x) 的单调区间和极值

? ? x 2 dx ?

?2

20、(本小题 12 分)近年来,福建省大力推进海峡西岸经济区建设,福州作为省会城 市,在发展过程中,交通状况一直倍受有关部门的关注,据有关统计数据显示上 午 6 点到 10 点,车辆通过福州市区二环路某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入 该路段的时刻 t 之间关系可近似地用如下函数给出: 1 3 ? t 3 ? t 2 ? 14???????(6 ? t ? ?) y? 8 2 9 ln t ? t????????????????????(9 ? t ? 10) 求上午 6 点到 10 点,通过该路段用时最多的时刻。

18、(本小题 12 分)已知复数 Z1 , Z2 在复平面内对应的点分别为 A(?2,1), B(a,3) , (1)若 Z1 ? Z2 ? 5,求a的值。 (2)复数 z ? Z1 ? Z2 对应的点在二、四象限的角平分线上,求 a 的值。

21、(本小题 12 分)已知三次函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? d ? a, b, c ? R ? 过点(3,0),且 函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线 y=0。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g(x)=9x+m-1,若函数 y=f(x)-g(x)在区间[-2,1] 上有两个零点, 求实数 m 的取值范围。

19、(本小题 12 分)观察以下 5 个等式: -1=-1 -1+3=2 -1+3-5=-3 -1+3-5+7=4 -1+3-5+7-9=-5 ?? 照以上式子规律: ....... (1) 写出第 6 个等式,并猜想第 n 个等式;(n∈N*) (2) 用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立。(n∈N*)

22.(本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? ex ? ax ? 2 (1)若 a ? ?1 ,求函数 f ? x ? 在区间 [?1,1] 的最小值; (2)若 a ? R, 讨论函数 f ? x ? 在 (0, ??) 的单调性; 的取值范围。 (3)若对于任意的 x1, x2 ? (0, ??), 且x1 ? x2 , 都有x2 ? f ( x1 ) ? a? ? x1 ? f ( x2 ) ? a? 成立, a 求

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2012-2013 学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高二数学(理科)试卷答案
题号 答案 1 C 2 A 3 A 14、 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 D 10 B 11 B 12 D

19.(本小题 12 分) 解:(1)第 6 个等式为-1+3-5+7-9+11=6
n

??????(2 分)
n

第 n 个等式为 -1+3-5+7-9+??+(-1) (2n-1)=(-1) n??(4 分) (2)下面用数学归纳法给予证明:-1+3-5+7-9+??+(-1)n (2n-1)=(-1)nn (1)当 n ? 1 时,由已知得原式成立; ??????????????(5 分) (2)假设当 n ? k 时,原式成立, 即-1+3-5+7-9+??+(-1) (2k-1)=(-1) k???????(6 分)
k

13、 ?1 ? i

3? )?0 15、 sin ? ? sin(? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 2
16、 ①②③④ ( ? 17、解:由题意可知,函数 f (x) 的定义域为 0, ?) ??????????2 分

?

1 3

k

那么,当 n ? k ? 1 时,

f , ( x) ? ( x ln x), ?1 ? (ln x ? 1) ?1 ? ln x ????????????(5 分)
令 f ( x) ? 0 得 x ? 1 ??????(7 分)
, ,

-1+3-5+7-9+??+(-1)k (2k-1)+(-1)k+1 (2k+1) =(-1)kk+(-1)k+1 (2k+1)
=(-1) (-k+2k+1)
k+1

令 f ( x) ? 0 , 0 ? x ? 1 ,??????(9 分)

?函数f ( x)的单调递增区间为(1,+?)

(10 分) 单调递减区间为(0,1)。

=(-1)k+1 (k+1)
故 n ? k ? 1 时,原式也成立。?????????????????????(11 分) 由(1)、(2)知-1+3-5+7-9+??+(-1) (2n-1)=(-1) n 成立。(12 分)
n

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 极小值 ↘ ?↗ ?1 ???????????(12 分) 由上表,得 f(x)极小值=f(1)= 18.解:(1)由复数的几何意义可知:

n

20. (本小题 12 分)
(1)当6 ? t ? 9时,y,? ? 3 2 t ? 3t 8 令y, ,得t ? o(舍去),t=8 =0

z1 ? ?2 ? i, z2 ? a ? 3i ?????????????????(2 分)
z1 ? z2 ? ?a ? 2 ? 2i ? (?a ? 2) 2 ? (?2) 2 ? 5 ???(4 分)

? 6 ? t <8时,y,? 0; 8 ? t ? 9, y , ? 0 ? t ? 8时、y有最大值,y 最大值 =18 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分

? a ? ?3或a ? ?1 ??????????????????

?(6 分)

9 9?t (2)当9 ? t ? 10时,y,? ? 1 ? t t , ? 9 ? t ? 10时,y ? 0; ? t ? 9时、y有最大值,y最大值 =9ln9 ? 9 ????????? 8分

(2) z ? z1 ? z2 ? (?2 ? i) ? (a ? 3i) ? (?2a ? 3) ? (a ? 6)i ??????????(9 分) 依题意可知点 (?2a ? 3, a ? 6) 在直线 y ? ? x 上 ∴ a ? 6 ? ?(?2a ? 3) ? a ? ?9 ?????????????????(12 分)

(9ln9-9)-18=9(ln9-3)=9(ln9-lne3 ) ? 0 ? f (9) ? f (8) ? 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为 上午8点。 ??????????????????????????????????????????12分

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21.解:(1) f , ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c ??????????????????(1 分) 函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是 y=0,所以有

(2)f ?( x) ? ex ? a ①当a ? ?1时,因为x ? ?,e x ? 1,所以f , ( x) ? e x ? a ? 0恒成立, 函数f ( x)在(0,?) ? +

f (0) ? 0 f , (0) ? 0 f (3) ? 0

?

d ?0 c?0
27 ? 9b ? 3c ? d ? 0

上单调递增……………………5分 ②当a ? ?1时,即ln(?a) ? 0,令f , ( x) ? 0 ? x ? ln(?a), 令f , ( x) ? 0 ? x ? ln(?a),

因为x ? 0 ? f ( x)在(0, ?a))上单调递增,在(ln(?a),+?)上单调递减。 ln(
综上所述:()当a ? -1 1 时,函数f ( x)在( ,?)上单调递增 0+

(2)当a ? ?1时,函数f ( x)在( , ?a))上单调递减, 0 ln(
∴b=-3 ∴ f ? x ? ? x3 ? 3x2 ??????????????????????????(6 分) (2)依题意得:原命题可等价于方程 f ? x ? ? g ( x) ? 0在区间?-2,1?上有两个不同的解

在(ln(?a),+?)上单调递增 ???????????????????????????????????????????????????????8分
(3) x1, x2 ? (0, ??), 且x1 ? x2 , 都有x2 ? f ( x1 ) ? a? ? x1 ? f ( x2 ) ? a? 成立,



即x3 ? 3x2 ? 9x ? m ?1 ? 0在区间?-2,1?上有两个不同的解
即m ? x3 ? 3x2 ? 9x ?1在区间?-2,1?上有两个不同的解;??????????????????7分 考查函数h( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ?1, x ??-2,1?
h, ( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9

? f ( x1 ) ? a? ? ? f ( x2 ) ? a? 成立, ????????????????????? 9分
x1 x2

构造函数

h( x ) ?

f ( x) ? a ,? x1 ? x2都有h( x1 ) ? h( x2 ) x

?h( x)在(0,?)单调递增, h, x) ? 0在(0,?)恒成立。 + ? ( + ?????????????10分
h( x ) ? e x ? ax ? 2 ? a e x ? 2 ? a xe x ? e x ? 2 ? a ? ? a ? h, x) ? ( ? 0在(0,?)恒成立。 + x x x2

令h, ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0 ? x ? ?1或x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(? 2,1 ? )单调递增; 令h, ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0 ? ?1 ? x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(?11 , )单调递减;
? x ???21?, h( x)max ? h(?1) ? 6, h(?2) ? ?1 h(1) ? ?10? x ???21?, h( x)min ? h(1) ? ?10 ???11分 , , ,

即xex ? ex ? 2 ? a ? 0在(0,?)恒成立。 +

即a-2 ? xex ? ex恒成立,令g ( x) ? xex ? ex ( x ? 0), 则g, x) ? xex,x ? 0,? g, x) ? 0? g ( x)在(0,?)单调递增, g ( x) ? g (0)= ?1 ( ( + ?
? a ? 2 ? ?1? a ? 1. ?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????14分

m ? h( x)在区间?-2,1? 有两个不同的解, 1 ? m ? 6 ??????12分 ??
22.解:(1)

因为a = ? 1,f ?( x) ? e x ? 1, 令f ?( x) ? 0 ? x ? 0;令f ?( x)<0 ? x <0 因为x ? [?11] ,,所以f ( x)在[?1,0]单调递减;f ( x)在[0,1]单调递增。 ? f最小值 ( x)=(0) ? 1…………………………3分 f =

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2012—2013 学年度第二学期八县(市)一中期中联考

高中二年数学科(理科)答题卷
考试日期:4 月 19 日
1~12 13~16 17

完卷时间:120 分钟 满 分:150 分
18 19 20 21 22 总分

18、(本小题 12 分)

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一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)
准考证号: 线

题号 答案


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分)


13、
封 姓名:

14、 16、
19、(本小题 12 分)

15、 三、解答题:(共 74 分)
17、(本小题 12 分)

学校:

高二年







20、(本小题 12 分)

22、(本小题 14 分) 高二数学(理科)答题卷 第 3 页 共 4 页

21、(本小题 12 分)