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2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 8.7 抛物线)

时间:2015-04-15


课时提能演练(五十六)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦 点的距离 是( (A)4 ) (B)6 (C)8 (D)12 100 分)

2.(2012·深圳模拟)顶点在原点, 准线方程为 y-3=0 的抛物线焦点 坐标 为( ) (B)(0,-3) (C)(3,0) (D)(-3,0)

(A)(0,3)

3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的 直线共 有( (A)1 条 ) (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

4.(2012·佛山模拟)已知抛物线 C1:y=2x2 与抛物线 C2 关于直线 y= -x 对称,则 C2 的准线方程是( 1 (A)x= 8 1 (C)x= 2 1 (B)x=- 8 1 (D) x=- 2 )

5.(2012·广州模拟)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴 的交点为 K, 点 A 在 C 上, 且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为( )

(A)4

(B)8

(C)16

(D)32

6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方 程为( (A)x=1 (C)x=2 ) (B)x=-1 (D)x=-2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 2 y2 x2 7.抛物线 y= x 的焦点与双曲线 - =1 的上焦点重合,则 m 16 3 m = .

8.过抛物线 y=8x2 的焦点作直线交抛物线于 A, B 两点, 线段 AB 的中 点 M 的纵坐标为 2,则线段 AB 的长为 .

9.(易错题)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B 为该抛物线上两点, 若 FA +2 FB =0,则| FA |+2| FB |= 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2011·江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2) (x1<x2)两点,且|AB|= 9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的 值. 11.(预测题)如图,已知抛物线 C1:x2=2py(p>0)与圆 .

16 C2:x2+y2= 交于 M、N 两点,且∠MON=120°. 9 (1)求抛物线 C1 的方程; (2)设直线 l 与圆 C2 相切. ①若直线 l 与抛物线 C1 也相切,求直线 l 的方程. ②若直线 l 与抛物线 C1 交于不同的 A、B 两点,求 OA · OB 的取值范 围. 【探究创新】 (16 分)已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F,准线为 l,过 l 上一点 P 作抛 物线的两条切线,切点分别为 A、B. 某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想: (1)直线 PA、PB 恒垂直; (2)直线 AB 恒过焦点 F; (3)等式 FA · FB =λ FP 中的 λ 恒为常数. 现请你一一进行论证.
2

答案解析
1.【解析】选 B.≧点 P 到 y 轴的距离是 4,延长使得和准线相交于点 Q,则|PQ|等于点 P 到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点 P 到该抛物线 焦点的距离为 6. 【方法技巧】 抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互

转化: (1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准 线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 2.【解析】选 B.准线方程为 y=3,焦点在 y 轴负半轴上,标准方程 为 x2=-12y,故焦点坐标为(0,-3). 3. 【解析】选 C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线 y2=4x 外.因此, 过该点可作抛物线 y2=4x 的切线有两条,还能作一条与抛物线 y2= 4x 的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点. 1 4.【解析】选 A.抛物线 C2 的方程为-x=2y2,即 y2=- x. 2 1 1 p 1 1 故 2p= ,?p= , = .故准线方程为 x= . 2 4 2 8 8 5.【解析】选 B.≧抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=- 2, ?K(-2,0), 设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,则 B(-2,y0), ≧|AK|= 2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,
2 2 ?由 BK2=AK2-AB2 得 y2 0=(x0+2) ,即 8x0=(x0+2) ,

解得 A(2,〒4), 1 1 ?△AFK 的面积为 |KF|·|y0|= 〓4〓4=8. 2 2 6.【解析】选 B.方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB p 的方程为:y=x- ,与 y2=2px 联立得:y2-2py-p2=0,?y1+y2 2

=2p, 由题意知:y1+y2=4, ?p=2,?抛物线的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1,故选 B. 方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 由题意得 y1+y2=4,y2 1=2px1,y2=2px2,

y1-y2 2p p 两式相减得:kAB= = = =1,?p=2, x1-x2 y1+y2 2 ?抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同 时,要注意使用条件是Δ≥0. x 2 y2 (2)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在 a b b 2x 0 直线的斜率 k=- 2 . a y0 x2 y2 (3)在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦 a b b2x0 所在直线的斜率 k= 2 . a y0 (4)在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直 p 线的斜率 k= . y0 7.【解析】因为抛物线 y= 1 2 x 的标准方程为 x2=16y,焦点坐标为 16

y2 x2 (0,4),又因为双曲线 - =1 的上焦点坐标为(0, 3+m),依题意 3 m 有:4= 3+m,解得 m=13. 答案:13 1 1 【误区警示】本题易出现 y= x2 的焦点为(0, )的错误,原因是对 16 64 抛物线的标准方程记忆不准确. 8.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4. 1 1 1 又≧y=8x2 即 x2= y,?2p= ,p= , 8 8 16 ?|AB|=y1+y2+p= 65 答案: 16 9.【解题指南】先过 A,B 两点分别作准线的垂线,再过 B 作 AC 的垂 线,垂足为 E,在直角三角形 ABE 中,求得 cos∠BAE= AE 1 = ,得出 AB 3 65 . 16

直线 AB 的斜率,进而得到直线 AB 的方程为:y=2 2(x-1),将其 代入抛物线的方程求得 A,B 的坐标,最后利用距离公式求得结果即 可. 【解析】过 A,B 两点分别作准线的垂线,再过 B 作 AC 的垂线,垂足 为 E, 设 BF=m,则 BD=m, ≧ FA +2 FB =0, ?AC=AF=2m,

如图,在直角三角形 ABE 中, AE=AC-BD=2m-m=m, AB=3m,?cos∠BAE= AE 1 = , AB 3

?直线 AB 的斜率为:k=tan∠BAE=2 2, ?直线 AB 的方程为:y=2 2(x-1), 将其代入抛物线的方程化简得:2x2-5x+2=0, ?x1=2,x2= 1 2

1 ?A(2,2 2),B( ,- 2),又 F(1,0), 2 则| FA |+2| FB |= 1+8+2 答案:6 p 10.【解析】(1)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标为( ,0),所以直线 2 p p AB 过点( ,0),斜率为 2 2,所以直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 2 与抛物线方程 y2=2px 联立,消去 y 得:4x2-5px+p2=0,所以 x1+ x2= 5p ,由抛物线的定义得:|AB|=x1+x2+p=9,解得 p=4,因此 4 1 ( )2+2=6. 2

抛物线方程为:y2=8x. (2)由 p=4 及 4x2-5px+p2=0 得 x2-5x+4=0, 解得: x1=1, x2=4, y1=-2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2),设 C(x3,y3), 则有 OC =(x3,y3), OA +λ OB =(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4 λ,-2 2+4 2λ),又因为 OC = OA +λ OB ,所以(x3,y3)=(1+

4λ,-2 2+4 2λ),即 x3=1+4λ,y3=-2 2+4 2λ, 又因为 y2 2+4 2λ)2=8(1+4λ), 3=8x3,即(-2 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0 或λ=2. 【变式备选】动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运 动,且到点 F(0,1)和直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(0,-1)作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成 区域的面积. 【解析】(1)设 P(x,y),根据题意, 得 x2+(y-1)2+3-y=4, 1 化简,得 y= x2(y≤3). 4 (2)设过 Q 的切线方程为 y=kx-1,代入抛物线方程,整理得 x2- 4kx+4=0. 由Δ=16k2-16=0.解得 k=〒1. 于是所求切线方程为 y=〒x-1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1),(-2,1). 由对称性知所求的区域的面积为 1 2 4 S=2∫2 0[ x -(x-1)]dx= . 4 3 11. 【解析】(1)因为∠MON=120°,所以 OM 与 x 轴正半轴成 30°角, 2 3 2 2 3 2 2 所以点 M 的坐标为( , ),代入抛物线方程得( ) =2p〓 ,求 3 3 3 3 得 p=1,

所以抛物线 C1 的方程为 x2=2y. (2)由题意可设 l:y=kx+b,即 kx-y+b=0, 因为 l 与圆 C2 相切,所以 即 9b2=16(k2+1) |b| 4 = , 2 k +1 3

(Ⅰ)

1 1 ①设直线 l 与抛物线 C1:x2=2y 即 y= x2 相切于点 T(t, t2),因为 2 2 k=t ? ? 1 2 函数 y= x 的导数为 y′=x,所以?1 2 2 t =kt+b ? ?2 t=2 2 ? ? 由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得?k=2 2 ? ?b=-4 t=-2 ? ? 或?k=-2 ? ?b=-4 2 2

(Ⅱ)

所以直线 l 的方程为 y=-2 2x-4 或 y=2 2x-4,
2 ? ?x =2y ②由? ?y=kx+b ?

得 x2-2kx-2b=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2=2k,x1x2=-2b,且由Δ=4k2+8b>0 得 k2+2b>0 9 k = b -1≥0 ? ? 16 由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得? 9 ? ?16b -1+2b>0
2 2 2

(Ⅲ)

4 ,解得 b≥ 或 b<-4, 3

1 8 所以 OA · OB =x1x2+y1y2= (x1x2)2+x1x2=b2-2b∈[- ,+≦),即 4 9
OA · OB 的取值范围是[- ,+≦).

8 9

【探究创新】

x2 x2 1 【证明】 (1)由 x =2y, 得 y= , 对其求导, 得 y′=x, 设 A(x1, )、 2 2
2

x2 2 B(x2, ), 2 则直线 PA、PB 的斜率分别为 kPA=x1,kPB=x2, x2 1 由点斜式得直线 PA 方程为 y- =x1(x-x1), 2 x2 1 即 y=x1x- 2 ①, ②,

2 x2 同理,直线 PB 方程为 y=x2x- 2

x1+x2 x1x2 由①、②两式得点 P 坐标为( , ), 2 2 1 ≧点 P 在准线 y=- 上, 2 x1x2 1 ? =- ,即 x1x2=-1. 2 2 ?kPA·kPB=x1x2=-1, ?PA⊥PB,猜想(1)是正确的. x2 x2 2 1 - 2 2 x1+x2 (2)直线 AB 的斜率 k= = , x2-x1 2 x2 x1+x2 1 由点斜式得直线 AB 方程为 y- = (x-x1), 2 2 将上式变形并注意到 x1x2=-1,得 y= x1+x2 1 x+ , 2 2

1 显然,直线 AB 恒过焦点 F(0, ),猜想(2)是正确的. 2

1 1 (3)当 AB∥x 轴时, 根据抛物线的对称性知 A(-1, )、 B(1, )或 A(1, 2 2 1 )、 2 1 B(-1, ), 2 1 这时点 P 坐标为(0,- ). 2
FA · FB =(-1,0)·(1,0)=-1, FP =(0,-1),

FP =1,有λ=-1.

2

下面证 FA · FB =- FP 必成立, x2 1 x2 1 1-1 ≧ FA =(x1, )-(0, )=(x1, ), 2 2 2 x2 1 x2 2 2-1 FB =(x2, )-(0, )=(x2, ), 2 2 2 1 2 ? FA · FB =x1x2+ (x2 1-1)(x2-1) 4 1 2 2 2 2 =x1x2+ (x1 x2-x1-x2+1) 4 1 =x1x2+ [(x1x2)2+2x1x2-(x1+x2)2+1] 4 1 =-1+ [(-1)2+2〓(-1)-(x1+x2)2+1] 4 1 =-1- (x1+x2)2. 4 x1+x2 x1x2 1 又 FP =( , )-(0, ) 2 2 2 x1+x2 1 1 x1+x2 =( ,- )-(0, )=( ,-1), 2 2 2 2

2

1 2 2 ? FP = (x1+x2)2+1,故 FA · FB =- FP ,λ恒为-1.猜想(3)也是 4 正确的. 【变式备选】已知抛物线 y2=4x,过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (2)设 MA =α AC ,MB =β BC ,试问α+β是否为定值,若是,求 出此定值;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题意设直线 l 的方程为:y=kx+2(k≠0) ,
? ?y=kx+2 联立方程可得? 2 ?y =4x ?

得:k2x2+(4k-4)x+4=0①

2 设 A(x1,y1) ,B(x2 ,y2),又 C(- ,0),则 k 4k-4 4 x1+x2=- 2 ,x1·x2= 2② k k 4(1+k2) |MA|·|MB|= 1+k |x1-0|· 1+k |x2-0|= , k2
2 2

2 4(1+k2) 2 而|MC| =( 1+k |- -0|) = , k k2
2 2

?|MC|2=|MA|·|MB|≠0 , 即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列. (2)由 MA =α AC , MB =β BC 得, 2 (x1,y1-2)=α(-x1- ,-y1) k 2 (x2,y2-2)=β(-x2- ,-y2) k

-kx1 -kx2 即得:α= ,β= ,则 kx1+2 kx2+2 -2k2x1x2-2k(x1+x2) α+β= 2 k x1x2+2k(x1+x2)+4 由(1)中②代入得α+β=-1, 故α+β为定值且定值为-1.


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