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2012年福州市高中毕业班数学


2012 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 查

数学(文科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 12

0 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的方差 锥体体积公式:

s2 ?

1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

V ?

1 Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R2 , V ? ?R3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有 且只有一个答案是正确的. ) 1.已知集合 M ? ? x x ? 0? , N ? ?0,1, 2? ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? N D. M ? N ? ?

2.某地区共有 10 万户居民,其中城市住户与农村住户之比为 2 : 3 .现利用分层抽样方 法调查了该地区 1000 户居民电脑拥有情况,调查结果 如表所示, 那么可以估计该地区农村住户中无电脑的总 户数约为 A.0.24 万 B.1.6 万 有电脑 无电脑 C.1.76 万 城市 356 户 44 户 农村 440 户 160 户

D. 4.4 万 ??? ??? ? ? y 3.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则 复数 z1 ? z2 所对应的点位于 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
O

A

x B

第 3 题图

4.已知 a, b?R ,则“ b ? a ? 0 ”是“ ab2 ? a2b ”的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 1 A. B.1 C.2 D.4 2 6.已知 m , n 是两条不同直线,? , ? 是两个不同平面,则下列 命题中假命题的是 A.若 m ? ? , m ? ? 则 ? //? B.若 m//n, m ? ? , 则 n ? ? C.若 m//? , ? ? ? ? n, 则 m //n D.若 m ? ? , m ? ? 则 ? ? ?
?? ? ? 7.下列函数中,周期为 ? ,且在 ? , ? 上单调递增的奇函数是 ?4 2? ?? ?? ? ? A. y ? sin ? x ? ? B. y ? cos ? 2 x ? ? 2? 2? ? ? 第 5 题图 ?? ? C. y ? sin ? 2 x ? ? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? ? ? 2? 2? ? ? 8.已知等差数列 ?an ? 的公差不为零, a1 ? a2 ? a5 ? 13 ,且 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则

数列 ?an ? 的公差等于

A.1 B.2 C.3 D.4 9.若从区间 (0, 2) 内随机取两个数,则这两个数的比不小于 4 的概率为 ... A.
1 8

B.

7 8

C.

1 4

D.

3 4

10.若双曲线

x2 y 2 b2 ? 3 的最小值为 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,则 a2 b a

A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 6 11. 如图, 三棱锥 P ? ABC 的底面是正三角形, 各条侧棱均相等,?APB ? 60? . 设点 D 、 E 分别在线段 PB 、 PC 上,且 DE //BC ,记 PD ? x , ?ADE 周长为 y ,则 y ? f ? x ? 的图象 可能是
y
y
y
y

O
第 11 题图

x

O

x

O

x O

x

A B C D 12.假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域,则称这条 直线平分这个区域.如图, ? 是平面 ? 内的任意一个封闭区域.现给出如下结论: ① 过平面 ? 内的任意一点至少存在一条直线平分区域 ? ; ② 过平面 ? 内的任意一点至多存在一条直线平分区域 ? ; ③ 过区域 ? 内的任意一点至少存在两条直线平分区域 ? ; ④ 过区域 ? 内的某一点可能存在无数条直线平分区域 ? . 第 12 题图 其中结论正确的是 A.①③ B.①④ C.②③ D.③④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. ) 13.已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到焦点的距离是 2,则点 P 的坐标是★★★. 14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若
b ? 1, c ? 3, ?C ? 2? 则 ?ABC 的面积为★ ★ ★. 3

15.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示, 则
f ?(?3) ? f ?(1)

★★★ .

第 15 题图

16.如图是见证魔术师“论证”64=65 的神奇.对这个乍看 起来颇为神秘的现象,我们运用数学知识不难发现其中的谬 误.另外,我们可以更换图中的数据,就能构造出许多更加直 观与“令人信服”的“论证”.现请你用数列知识归纳:⑴这 些图中的数所构成的数列: ★ ★ ★ ; ⑵写出与这个魔术关
第 16 题图

联的一个数列递推关系式: ★ ★ ★ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17.(本小题满分 12 分) 为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样 本,并分成 5 组,绘成如图所示的频率分布直方图.若第一组至第 五组数据的频率之比为 1: 2:8: 6: 3 ,最后一组数据的频数是 6. (Ⅰ) 估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概 率,并求出样本容量; (Ⅱ)从样本中成绩在 65~95 分之间的学生中任选两人,求至 少有一人成绩在 65~80 分之间的概率.

18.(本小题满分 12 分)

第 17 题图

如图,在平面直角坐标系中,锐角 ?、? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点. (Ⅰ)如果 sin ? ? (Ⅱ)已知点 C
3 5 ,点 B 的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 5 13 ??? ???? ? 2 3, ?2 ,求函数 f (? ) ? OA ? OC 的值域.

?

?

第 18 题图

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两家网络公司,1993 年的市场占有率均为 A,根据市场分析与预测,甲、乙公司 自 1993 年起逐年的市场占有率都有所增加,甲公司自 1993 年起逐年的市场占有率都比前一 年多
A ,乙公司自 1993 年起逐年的市场占有率如图所示: 2

(I)求甲、乙公司第 n 年市场占有率的表达式; (II)根据甲、乙两家公司所在地的市场规律,如果某 公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的 20%,则该公 司将被另一公司兼并,经计算,2012 年之前,不会出现兼并 局面,试问 2012 年是否会出现兼并局面,并说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示, ?PBC 为正三角形. (Ⅰ)在平面 PCD 中作一条与底面 ABCD 平行的直线, 并说明理由; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 PAB ;
K (Ⅲ)求三棱锥 A ? PBC 的高.KKsss555uuu

第 19 题图

21.(本小题满分 12 分) 侧),且 MN ? 3 .
Ks (Ⅰ)求圆 C 的方程;KKss555uuu

第 20 题图

如图,圆 C 与 y 轴相切于点 T ? 0, 2 ? ,与 x 轴正半轴相交于两点 M , N (点 M 在点 N 的左
y

x2 y 2 (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆 ? : ? ? 1 相交于 4 8
A、B 两点,连接 AN、BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .
B

T

C A

O

M

N

x

第 21 题图
K 22.(本小题满分 14 分)KKsss555uuu

已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若函数 f ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上为增函数,求 a 的取值范围.

ax ?a ? R? . x ?1

2012 年福州市高中毕业班综合练习 文科数学试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B 2. B 3.A 4.A
3 4

5. C 6. C 7. D 8. B

9.C

10. D 11. C 12. B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. ?1, ?2 ? 14. 15. ?5 16. (1) an? 2 ? an?1 ? an , a1 ? 1 , a2 ? 1 ;或直
n ?1

2 接列举出数列各项;(前 2 项不是主要的)(2) an ? 2 ? an ? an ?1 ? ? ?1?



an ? 0.618 (不 an ?1

唯一,关键要反映“64=65”的一般关系和拼接后以假乱真的原因) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概率 p1 为

3 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 8 ? 3 20 , ······························2 分 ······························ ······························ 6 3 ,解得, m ? 40 . ···············4 分 ··············· ··············· ? m 20 1 (Ⅱ)样本中成绩在 65~80 分之间的学生有 ? 40 =2 人,记为 x, y ;成绩在 80~ 20 2 95 分之间的学生 ··················· ··················· ? 40 =4 人,记为 a, b, c, d , ···················5 分 20
又设样本容量为 m ,则 从上述 6 人中任选 2 人的所有可能情形有:

? x, y? , ? x, a? , ? x, b? , ?x, c? , ?x, d ? , ? y, a? , ? y, b? , ? y, c? , ? y, d ? , ··········8 ·········· ?a, b? , ?a, c? , ?a, d ? , ?b, c? , ?b, d ? , ?c, d ? ,共 15 种, ····················· 分
至少有 1 人在 65~80 分之间的可能情形有 ·· ·· ? x, y? , ? x, a? , ? x, b? , ?x, c? , ?x, d ? , ? y, a? , ? y, b? , ? y, c? , ? y, d ? , 共 9 种, ····11 分 因此,所求的概率 p2 ?

9 3 ························12 ························ ? . ························· 分 15 5

18.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)∵ ∴

? 是锐角, sin ? ? ,

3 5

4 ···························· ···························· cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? . ····························2 分 5 5 , 13

根据三角函数的定义,得 cos ? ? 又∵ ∴ ∴

? 是锐角,
sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 12 . ···························· 分 ···························4 ··························· 13

4 5 3 12 16 ········6 ········ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ········· 分 5 13 5 13 65 ??? ? ???? sin (Ⅱ)由题意可知, OA ? (cos ?, ? ) , OC ? (2 3, ?2) .

∴ ∵ ∴ ∴ ∴

??? ???? ? ? ············· ············· f (? ) ? OA ? OC ? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 4cos(? ? ) , ·············8 分 6 0 ?? ?

?
2


? 2? , ································ 分 ·······························9 ······························· 3

?
6

?? ?

?
6

1 ? 3 ? ? cos(a ? ) ? ,从而 ?2 ? f (? ) ? 2 3 , ·············11 分 ············· ············· 2 6 2
函数 f (? ) 的值域为 (?2, 2 3) . ·······················12 分 ······················· ·······················
A 2

19.(本小题满分 12 分) 解: 设甲公司第 n 年市场占有率为 an , (I) 依题意,?an ? 是以 a1 ? A 为首项, d ? 以 为公差的等差数列. ··································· 分 ··································· ··································2 ∴
an ? A ? (n ? 1) ? A A A ························· ························· ? n ? . ·························3 分 2 2 2

设乙公司第 n 年市场占有率为 bn ,根据图形可得:
bn ? A ? 1 1 1 1 ························ ························ A ? 2 A ? 3 A ? ... ? n?1 A ························5 分 2 2 2 2

1 ? ? ? ? 2 ? n ?1 ? A . ·································· 分 ·································· ·································6 2 ? ?

(II)依题意,2012 年为第 20 年,则
a20 ? A A 21 1 ··············· ··············9 ? 20 ? ? A ? 10 A , b20 ? (2 ? 19 ) A ? 2 A ,··············· 分 2 2 2 2



b20 2 A ? ? 20% ,即 b20 ? 20% ? a20 , ····················11 分 ···················· ···················· a20 10 A



2012 年会出现乙公司被甲公司兼并的局面. ···············12 分 ··············· ···············

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)分别取 PC、PD 中点 E、F ,连结 EF ,则 EF 即为所求,下证之:1 分 ∵ ∴ ∵ ∴
E、F 分别为 PC、PD 中点,

················· ················ EF //CD . ·················2 分
EF ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,?3 分

············ ··········· EF // 平面 ABCD . ············4 分

(作法不唯一) (Ⅱ)由三视图可知, PA ? 平面 ABCD ,
BC ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,四边形 ABCD 为直角梯形.

过点 A 作 AG ? BC 于 G ,则 AG ? CD ? 1 , GC ? AD ? 1 . ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴
AC ? AD2 ? CD2 ? 2 , AB ? AG 2 ? BG 2 ? 12 ? (2 ? 1)2 ? 2 ,

······················6 ······················ AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,故 AC ? AB . ······················· 分
PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,

···································· ···································7 PA ? AC .···································· 分
PA ? AB ? A ,

······························· ······························· AC ? 平面 PAB . ·······························8 分
?PBC 为正三角形, PB ? BC ? 2 .

(Ⅲ)∵ ∴

在 Rt ?PAB 中, PA ? PB2 ? AB2 ? 2 . ∴
1 1 ?1 2 ? VC ? PAB ? S?PAB ? AC ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ············10 ············ ,············· 分 3 3 ?2 3 ?

1 1 ? 3 2? 3 VA? PBC ? S?PBC ? h ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? h ? 3 h (其中 h 为三棱锥 A ? PBC 的高). ? 3 3 ? ?

············································ 分 ···········································11 ··········································· ∵ ∴
VC ? PAB ? VA? PBC ,

h?

6 ···································12 ··································· . ···································· 分 3

21.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ),依题意,圆心坐标为 (r , 2) . ···· 分 ···· ···1 ∵ ∴
MN ? 3
25 ?3? r 2 ? ? ? ? 22 ,解得 r 2 ? . ························3 分 ························ ························ 4 ?2?
2



圆 C 的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? . ···················4 分 ··················· ··················· 2? 4 ?
2

?

5? ?

2

25

(Ⅱ)把 y ? 0 代入方程 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? ,解得 x ? 1 ,或 x ? 4 , 2? 4 ?
2

5?

2

25

即点 M ?1,0 ? , N ? 4,0? . ······························5 分 ······························ ······························ ⑴ ⑵ 当 AB ? x 轴时,由椭圆对称性可知 ?ANM ? ?BNM . ··········· 分 ··········6 ·········· 当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? .
? y ? k ? x ? 1?
2 2 ?2 x ? y ? 8

联立方程 ?

,消去 y 得, ? k 2 ? 2 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 . ······· 分 ······· ······7

设直线 AB 交椭圆 ? 于 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两点,则
x1 ? x2 ? 2k 2 k2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 . ·························8 分 ························· ························· k2 ? 2 k ?2
k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? y1 y2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4

∵ ∴
?

y1 ? k ? x1 ? 2 ? , y2 ? k ? x2 ? 2 ? ,
k AN ? kBN ?

? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ? ∵ ? x1 ? 1?? x2 ? 4? ? ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ? ? 2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8
? 2 ? k 2 ? 8? k2 ? 2 ? 10k 2 ···························· ···························10 ? 8 ? 0 ,···························· 分 k2 ? 2

k ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ?





···················· ···················· k AN ? kBN ? 0 ,∴ ?ANM ? ?BNM . ····················11 分

综上所述, ?ANM ? ?BNM . ··························12 分 ·························· ·························· 22.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
2x ( x ? ?1 ), ··········· 分 ··········· ··········1 x ?1

1 2 x?3 ? ? ,························· 分 ························2 ························ 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. ··················· 分 ··················· ··················3 又∵ f ? 0 ? ? 0 ,所以切点为 ? 0, 0 ? . 故所求的切线方程为: y ? 3x . ························· 分 ························· ························4 (Ⅱ)∵ f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
ax , ( x ? ?1) x ?1

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? ······················· 分 ······················· ······················5 x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

①当 a ≥ 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ;······················ 分 ······················ ·····················6 ②当 a ? 0 时, 由?
? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 ? ,得 x ? ?1 ? a ; ········· 分 ········· ········8 ? x ? ?1 ? x ? ?1

综上,当 a ≥ 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 ? ?1 ? a, ?? ? 上单调递增. ·· 分 ·· ·9 (Ⅲ)①当 a ≥ 0 时,由(Ⅱ)可知,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增.此时, ················ ···············11 ? a, a ? 1? ? ? ?1, ?? ? ,故 f ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上为增函数. ················ 分 ②当 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知,函数 f ( x) 在 ? ?1 ? a, ?? ? 上单调递增. ∵ ∴ ∴
f ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上为增函数,

1 ? a, a ? 1? ? ? ?1 ? a, ?? ? ,故 a ≥ ?1 ? a ,解得 a ≥ ? , 2
1 ·································· ·································13 ? ≤ a ? 0 . ·································· 分 2
? 1 ? 2 ? ?

综上所述, a 的取值范围为 ? ? , ?? ? . ····················· 分 ····················· ····················14


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