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必修4三角函数复习(上课用)(1)


一、角的有关概念
1、角的概念的推广

y

? 的终边
正角 零角
x

? ? (??,??)
? 的终边 2、角度与弧度的互化

o

负角

? ? 180?

180 1弧度 ? ( )?

? 57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

3.终边相同的角; {? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z}

三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别

练习: 1. ? 765?表示成2k? + ? , k ? Z的形式, 把 7? ? ? 其中0 ? ? ? 2? 答案: 765 = ? 6? +
4

2.分别写出满足下列条件的角的集合 (1)终边在y轴上的角的集合 ? {? | ? ? ? k? , k ? Z } 2 (2)终边在象限角平分线上的角的集合 ? k? {? | ? ? ? , k ? Z} 4 2

3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式

y

y

y

?
O

x

?
O

x

?
O

x

2k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ? 2

4.写出终边在各图中阴影部分的角的集合
y
150? O 30?

y
30? -30?

y
150?

x

O

x

210?

O

x

5? S1 ? {? | ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 6 6 ? ? S2 ? {? | ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z} 6 6 5? 5? S3 ? {? | ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 6 6

?

4.弧度制:

(1)1弧度的角: 长度等于半径的弧所对的圆心角.

360 = 2? rad ? 180 = ? rad
?

l ?= r

r O 1rad r

(2)弧长公式:

l= ? r

1 1 2 (3)扇形面积公式: S扇 = lr ? ? r 2 2

练习
已知一个扇形的周长是4cm,面积为1cm2, 则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________

?
弧 度
sin ?

0

O

30

O

45

O

60

O

90

O

120

O

135O 150O 180O 270O 360O

0 0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2 1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6 1 2

?
0

3? 2? 2
-1

3 2

2 2

0
1

cos? 1
tan ? 0

3 2 3 3

0
不 存 在

1 2 3 ? ? ? -1 2 2 2

0
不 存 在

3

3 0 ? 3 -1 ? 3

0

5. 任意角的三角函数 (1) 定义:
y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x

y

P(x,y)

r
o



x
2 2

r? x ?y

当点P在单位圆上时,r =1 (2) 三角函数值的符号:
y y y

O

x

O

x

O

x

sin ?

cos?

tan ?

6. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系:sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? tan ? (2) 商的关系: cos ?
2 2

练习.已知tanα= ? 3,求sinα.cosα
方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值,又知角所在象限,有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值,但不知角所在象限, 有两解.

典型例题
例1.若α是第三象限的角,问α/2是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?

各个象限的半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围;

练习
2sin ? ? 3cos ? (1)已知 tan ? ? 3求 sin ? ? 4cos ?

1 (2)已知 tan ? ? 3求 2 sin ? ? cos 2 ?

( 已知 tan? ? 3求2 sin2 ? ? 3cos2 ? 3)

诱导公式
公式一(k∈Z)
sin ?2k? ? ? ? ? sin ? cos?2k? ? ? ? ? cos? tan?2k? ? ? ? ? tan ?

sin ?? ? ? ? ? sin ?

公式二:

cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? ? tan ?

公式三: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

公式四: sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限

诱导公式
公式五: ? sin( ? ? ) ? cos?
2

公式六:
sin( ? ? ) ? cos? 2

?

公式八: 3? 3? 符号看象限 ? ? ) ? ? cos? sin( sin( ? ? ) ? - cos? 公式七:
2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) (把α看成锐角)sin ? ? sin ? 2 2

?

?

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限

2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数

用公式一
锐角的三角 用公式二或 0~2π的角 函数 四或五或六 的三角函数 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

解题分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时,一定要注意符号 2。三角变换一般技巧有 ①切化弦, ②降次, ③变角, ④化单一函数, ⑤妙用1, ⑥分子分母同乘除,

方法不当就会很繁,只能通过总结积累解题经验, 选择出最佳方法.

练习
1,求值:

sin(?1740? ) ? cos(1470? ) ? cos(?660? ) ? sin 750? ? tan 405?

cos( ? ? )sin ? -?) (2 2.已知角? 终边上一点P(-4,3),求 的值 11? 9? cos( ? ? )sin( ? ? ) 2 2

?

两角和与差的余弦、正弦和正切公式
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

两角和与差的正切公式的变形
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

当两角和差公式中α=β时就得到二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan ?
2 2 2 2 2

与二倍角公式相关的公式变形
1 sin ? cos? ? sin 2? 2 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? )
2 2
2

2

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? sin ? ? 2
2 2

辅 助 ac os x? bs inx ? a ? b s in(? ? x ) ? 角 ? 其 中 tan ? a 、 c os? ? b 、 s in? ? ? b a ?b ? 公 式
2 2

?

? ? ? a2 ? b2 ? a

练习
1 1 1. 已知cos? ? cos ? ? , ? ? sin ? ? , sin 2 3 求 cos(? ? ? )的值.

? 4 为钝角, 求 cos 2.已知 cos(? ? ) ? , ? 3 5

?

2 ?0 ? ? ? ? ?, 3.已知sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? 4 求 cos?2? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ?的值。

y ? sin x, x ?[0, 2? ]
最高点:
1-

y

(

?
2

,1)

(0,0)
-

与x轴的交点: (2? ,0) (? ,0)
?
2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

最低点: 3? ,?1) (
2

作图时 3? ? 的五个 (0,0) ( ,1) (? ,0) ( ,?1) (2? ,0) 2 2 关键点 想一想:如何画y ? Asin(?x ? ? )的图像?

y ? cos x, x ?[0, 2? ]
与x轴的交点: 最高点: -(0,1) ? 1 3?
y
-

(2? ,1)
5? 3 11? 6

(

2
?
2

,0 )
2? 3

(

2
4? 3

,0 )
3? 2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

5? 6

?

最低点: (? ,?1)

作图时 3? ? (0,1) ( ,0)(? ,?1) ( ,0) ( 2? ,1) 的五个 2 2 关键点 想一想:如何画y ? A cos(?x ? ? )的图像?

-

7? 6

2?

x

三角函数图象变换 y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?)

y=sinx y=sinx

y=sin?x y=Asinx

y=sinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
向左?>0 (向右?<0)

y=sinx

y=sin(x+?)

平移|?|个单位

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ?x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

y

y ? sin x
1

y

y ? cos x
1
?

y ? tan x
3? 2

y
?

图像 定义域 值域 最值

?? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2? 5?
2

x

? 2

?
?

3? 2

O

x

x?R

x?R

? ? x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] x?[?? ? 2k? , 2k? ] (? ? k? , ? k? ), k ? Z 递增区间 2 2 2 2 ? 递减区间 x?[? ? 2k? , 32 ? 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ] 无 2

无最大值 x ? ? ? ? 2k? 时, ? ?1 x ? ? ? 2k? 时, ? ?1 无最小值 ymin ymin 2

y ?[?1,1] y ?[?1,1] x ? ? ? 2k? 时,max ? 1 x ? 2k? 时,ymax ? 1 y 2

? ? ? x x ? ? k? , k ? Z ? ? 2 ? ?

y?R

奇偶性 周期 对称轴 对称中心

奇函数
x ? ? ? k? , k ? Z 2 (k? ,0) k ? Z

偶函数
T=2π
x ? k? , k ? Z ( ? ? k? , 0) k ? Z 2
(

奇函数
T=π

T=2π

k? ,0), k ? Z 2



求函数

的单调递增区间:
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2

1 ? y ? sin( ? x ? ) 2 3
增 增

sin( ?? ) ? ? sin ?

?? ?1 y ? ? sin ? x ? ? 3? ?2

cos( ?? ) ? cos ?

y ? ? sin z 增

y ? sin z 减

练习

1 ? 求函数y ? 2 sin( ? x ? )的最值、单调区间 3 6 以及它的图像是由y ? sin x的图像如何变化得到的?

三角函数常规求值域问题
1 3 1.求函数f ( x) ? ? cos 2 x ? 2sin x ? 的值域 2 2
2

2.求函数y ? 2 sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1的值域 sin x ? 2 3.求函数y ? 的值域 sin x ? 3 sin x ? 2 4.求函数y ? 的值域 cos x ? 3


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