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1.1.1


第一章 导数及其应用

新课讲解
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

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导数研究的问题

变化率问题
<

br />研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度.

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问题 1 气球膨胀率
我们都吹过气球, 吹气球的过程,可以发现, 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

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问题 1 气球膨胀率
我们知道,气球的体积 V(单位:L)与 半径 r(单位:dm) 之间的函数关系是

4 3 V (r ) ? ? r 3
如果将半径 r 变为体积 V 的函数,那么

r (V ) ? 3

3V 4?

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问题 1 气球膨胀率
当空气容量 V 从 0 增加到 1L 时, 气球半 径增加了多少?气球的平均膨胀率为多少?

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问题 1 气球膨胀率

类似地,当空气容量 V 从 1L 增加到 2L 时,气球半径增加了多少?气球的平均膨胀 率为多少?

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问题 1 气球膨胀率
当空气容量 V 从 0 增加到 1L 时, 气球半 径增加了多少?气球的平均膨胀率为多少? 类似地,当空气容量 V 从 1L 增加到 2L 时,气球半径增加了多少?气球的平均膨胀 率为多少?
当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平 均膨胀率是多少?

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问题 2 高台跳水 人们发现,在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s) 存在函数关系

平均速度,并思考下面的问题: (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗?

65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的 49

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

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平均变化率问题:
对于函数y ? f ( x ), 若设?x ? x2 ? x1, ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ),(?x看作对于x1的一个 增量,可用x1 ? ?x替代x2)则平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ? ?x x2 ? x1 x

理解: 1,式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 的△x值不能为0, △ y 的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0

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思 考:
f ( x2 ) f ( x1 )

y

y ? f ( x)
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

观察函数f ( x )的图 像,平均变化率 x1 x2 O ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 的几何意义是什么? ?x x2 ? x1

x

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思 考:
f ( x2 ) f ( x1 )

y

y ? f ( x)
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

观察函数f ( x )的图 像,平均变化率 x1 x2 O ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 的几何意义是什么? ?x x2 ? x1

x

它是曲线y ? f ( x )上的点( x1,f ( x1 )), ( x2,f ( x2 ))两点的割线的斜率 .

例题分析
经过曲线 f ( x ) ? x 2 ? 1上A、B两点作 割线,求割线的斜率 .
(1) x A ? 1,x B ? 2 ; ( 2) x A ? 1,x B ? 1.5 ; ( 3) x A ? 1,x B ? 1.1 .

思考:甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个 月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人

的经营成果?

例题分析
例 1. 已知函数f ( x ) ? ? x ? x的图像上的一点 A( ?1, ? 2)及附近一点B( ?1 ? ?x, ? 2 ? ?y ),则 ?y D ? . ?x
2

A、3 C 、 3-(Δx)2
2

B、 3Δx-(Δx)2 D 、 3-Δx

. 例 2. 求y ? x 在x ? x0附近的平均变化率

2x0+Δx