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炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷(二)理科数学


炎德英才大联考〃长沙一中 2015 届高三月考试卷(二) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。 ) 1、已知集合 M= x y ? 3x ? 1 ,N= x y ? log 2 x ? 2 x A、 ? ,

?

?

>
?

?

2

?? ,则 M

N=(

)A

1 ? ?1 ?1 1 ? ? ? B、 ? ??, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?2 ?3 2 ? ? ? ? 1? ?1 ? C、 ?0, ? D、 ? ??,0? ? , ?? ? ? 2? ?2 ? 2 2、命题: “ ? x ? R ,使 x ? 4 x ? 1 ? 0 ”的否定是( )D 2 2 A、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0 B、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1? 0 2 2 C、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0 D、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ? 3、若实数 x, y 满足: ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( )D ?x ? 0 ?
A、0 B、1 B C、 3 D、2 【解析】如图,画出满足条件的可行域,当目标函数所对应的

y

A

1

直线过点 A ? 0,1? 时, zmax ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 2。

?1

O

X

(或者通过比较可行域各顶点所对应的目标函数值的大小可得答案 2。 ) 4、已知向量 a ? ?1,1 ? cos ? ? , b ? ?1 ? cos ? , ? ,且 a ∥ b ,则锐角 ? =( A、 30 C、 60

? ? B、 45

1? 2?

)B D、 75

【解析】∵ a ∥ b ,∴ ?1 ? cos ? ??1 ? cos ? ? ? 又∵ ? 为锐角,所以 sin ? ?

1 1 2 ,即 sin ? ? , 2 2
开始

2 , ? ? 45 。故选 B。 2
)C

5、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A、14 B、20 C、30 D、55 【解析】根据框图,可得 S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30 。故选 C。 6、已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式正确的是( )C A、 log2 a ? 1 B、 log2 a ? log2 b ? ?2
2 2 2 2

S=0, i=1 S=S+i2 i=i+1 i>4?
是 输出 S 结束 否

C、 log2 ? b ? a ? ? 0

?b a? D、 log 2 ? ? ? ? 1 ?a b?

1 ? b ?1, 2 b a ?b a? 所以① log2 a ? ?1 ? 0 ,A 错;② ? ? 2 ? log 2 ? ? ? ? 1,D 错; a b ?a b?
【解析】根据 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,可得 0 ? a ? ③ ab ? a ?1 ? a ? ? ? ? a ?
2

1? 1 1 ? ? ? ? ? log2 a ? log2 b ? log2 ? ab? ? ?2 ,B 错。故选 C。 2? 4 4 ? 7、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? a ( a ? 1 ) , an?2 ? an?1 ? an ,当 a4 ? 1 时, a10 的值为(
A、0 B.1 C、0 或 1 D、 ?1 【解析】∵a ? 1 , an?2 ? an?1 ? an , a1 ? 1 , a2 ? a ,所以 a3 ? a2 ? a1 ? a ?1 ? 1 ? a ,
-1-

)C

a4 ? a3 ? a2 ? 1 ? 2a ,由题设知 a4 ? 1? 2a ? 1 ,所以 a ? 1 ,或 a ? 0 。
无论 a ? 1 ,还是 a ? 0 ,都有 an?3 ? an 成立,于是 a10 ? a7 ? a4 ? 1 。 8、将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则不同的分配方案共 有( )种 A A、80 种 B、120 种 C、140 种 D、50 种
3 2 【解析】①甲组有 3 人时,乙、丙两组每组 1 人,有 C5 甲组有 2 人时,乙、丙两组中有一 A2 ? 20 种;②

2 2 组 2 人,另一组 1 人,有 C5 ? C3 ? 2 ? 60 种。一共有 80 种不同的分配方案,选 A。

9、正方形 ABCD 的边长为 a,依次连结正方形各边中点得到一个新 正方形,再依次连结新正方形各边中点又得到一个新正方形,??, 依次得到一系列的正方形,如图所示。 现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每 遇到新正方形的顶点时,沿这个新正方形的边逆时针爬行,如此下去, 爬行了 10 条线段。则这 10 条线段长度的平方和为( )A

D

C

1023 2 a 2048 511 2 a C、 1024
A、

B、

1023 2 a 768 2047 2 a D、 4096

A

B

10、已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ,函数 g ? x ? ? m cos ? 2 x ?

? ?

??

,若 ? x1 ? ? ? 2m ? 3 ( m ? 0 ) 6?

? ?? ? ?? )B 0, ? ,总 ? x2 ? ?0, ? ,使得 g ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,则实数 m 的取值范围为( ? ? 4? ? 4? ?2 4? ? 4? ?3 ? A、 ?1, 2? B、 ?1, ? C、 ? , 2 ? D、 ? , ? ?3 3? ? 3? ?2 ? ?? ? ? ?? 【解析】因为 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? ,当 x ? ?0, ? 时, f ? x ? ??1, 2? ; 3? ? ? 4? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ?? 而当 x ? ?0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , cos ? 2 x ? ? ? ? ,1? , 6 ? 6 3? 6 ? ?2 ? ? ? 4? ?? ? ? 3 ? 又 m ? 0 ,所以 g ? x ? ? m cos ? 2 x ? ? ? 2m ? 3 ? ?3 ? m,3 ? m ? ; 6? ? ? 2 ? ?3 ? m ? 2 4 ? ? 3 ? 要使条件满足,必须且只需使 ?3 ? m,3 ? m ? ? ?1, 2? ,即 ? ,解得 1 ? m ? 。 m 3 3? ?1 ? 2 ? ? ? 2
请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置: 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 ) 11、已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 2 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = ;1 ? i
3 12、在 ?1 ? ax ? ?1 ? x ? 的展开式中, x 项的系数为 ?16 ,则实数 a 的值为
2 6

;2 或 3

13、向平面区域 ? ? ?? x, y ? ?

? ?

?
4

?x?

?

? ,0 ? y ? 1 ? 内随机投掷一点,则该点落在曲线 y ? cos 2 x 下方的概率 4 ?





2

?
-2-

14、已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,若 AB ? 2 , AC ? 3 , 则△ABC 的外接圆的面积为 ;

7? 4
1

15、设 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 2 x 2 ;函数 g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 则: (1)函数 g ? x ? 的零点个数为 ;2 (2)若实数 a 是函数 g ? x ? 的正零点,则 f ? ?2? 与 f ? a ? 的大小关系为 【解析】 (1)作图可知函数 g ? x ? 的零点个数为 2 个; 其一在 ? ?1,0? 上,另一在 ?1, 2 ? 上 (∵ g ?1? g ? 2? ? ? ln 2 ? 2?? ln3 ?1? ? 0 ) ,由题设知 a ? ?1, 2? ; 对 f ? x ? ,在 x ? 0 时,直接求导得 f ' ? x ? ? 2 ln 2 ?
x

2 。 x
。 f ? a ? < f ? ?2?

1 ;易知当 x ? 1 时, f ' ? x? ? 2ln 2 ?1 ? 0 , x 所以函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,从而 f ? a ? ? f ? 2? 成立。
又函数为偶函数,故 f ? a ? < f ? ?2? 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 m = ? cos B,sin C ? ,

n = ? cos C, ? sin B? ,且 m ? n ?
(Ⅰ)求 A;

1 。 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3 ,三角形的面积 S ? 3 ,求 b ? c 的值。 【解析】 (Ⅰ )依题设, m ? n ? cos B cos C ? sin B sin C ? 即c o s ?B ?C? ?

1 , 2

1 1 ,亦即 c o s ?? ? A? ? ? c oAs? , 2 2 1 2? 所以 cos A ? ? ;又 A ? ? 0, ? ? ,故 A ? 。 …………………6 分 2 3 1 1 2? 3 ? bc ? 3 ,∴ bc ? 4 ; (Ⅱ )由题设及(Ⅰ )的结果, S ? bc sin A ? bc sin 2 2 3 4 2 2 2 2 2 又由余弦定理,可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ,
2 2 2 于是 ? b ? c ? ? b ? c ? 2bc ? a ? bc ? 12 ? 4 ? 16 ,故 b ? c ? 4 。 2

…………………12 分

17、 (本小题满分 12 分)国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估,从该网站近三年中随机 抽取 100 天,访问量的统计结果(单位:万次)如表所示: 访问量 频 数 500 50 600 30 700 20

(Ⅰ)根据上表的统计结果,求访问量分别为 500 万次,600 万次,700 万次的频率; (Ⅱ)已知每 100 万次的访问量能使该网站获得广告收益 5 万元,用 ? 表示该网站两天的广告收益(单位: 万元) ,假设每天的访问量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望。 【解析】 (Ⅰ )依题设,访问量分别为 500 万次,600 万次,700 万次的频率分别为

50 30 ? 0.5 , ? 0.3 , 100 100

20 ? 0.2 。 100
-3-

………………………4 分

(Ⅱ)由题设知访问量分别为 500 万次,600 万次,700 万次的广告收益是 25 万元,30 万元,35 万元,相应

的, ? 的允许值为 50,,55,60,65,70.
2

………………………5 分

并且由题设中“每天的访问量相互独立”可知: P ?? ? 50? ? 0.5 ? 0.25 , P ?? ? 55? ? 2 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.3 ,

P ?? ? 60? ? 0.32 ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.29 , P ?? ? 65? ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.12 , P ?? ? 70? ? 0.22 ? 0.04 。 于是,所求随机变量 ? 的分布列为:

?
P

50 0.25

55 0.3

60 0.29

65 0.12

70 0.04

…………………11 分 其期望 E? ? 50 ? 0.25 ? 55 ? 0.3 ? 60 ? 0.29 ? 65 ? 0.12 ? 70 ? 0.04 ? 57 (万元) 。 …………………12 分
2 2 3 n ? 2) 18、 (本小题满分 12 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a1 ? 1 , Sn 。 ? Sn ?1 ? an (

(Ⅰ )求证数列 ?an ? 为等差数列,并求出其通项公式;

(Ⅱ )对于数列 ?an ? ,在每两个 ak 与 ak ?1 之间都插入 k ( k ? N? )个 2,使数列 ?an ? 变成一个新数列 ?tm ? , 数列 ?tm ? 的前 m 项和为 Tm ,若 Tm ? 2014 ,求 m 的最小值。
3 3 【解析】 (Ⅰ )由已知,当 n ? 2 时, ? Sn ? Sn?1 ?? Sn ? Sn?1 ? ? an ,即 ? Sn ? Sn?1 ? an ? an ,
2 2 2 2 n ? 2) ∴ Sn ? Sn?1 ? an , Sn?1 ? Sn ? an ; ?1 ,两式相减得 an?1 ? an ? an?1 ? an ,于是 an ?1 ? an ? 1 (
2 3 又由 a1 ? 1 , S2 ,可得 a2 ? 2 ,所以 a2 ? a1 ? 1 ; ? S12 ? a2

因此,数列 ?an ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,其通项公式为 an ? n 。 (Ⅱ )数列 ?tm ? 中, ak (含 ak 项)前的所有项之和为

…………6 分

k ? k ? 1? 3k 2 ? k ? k ? k ? 1? ? , 2 2 3 ? 362 ? 36 3 ? 37 2 ? 37 ? 1926 ? 2014 ;当 k ? 37 时,其和为 ? 2035 ? 2014 ; 当 k ? 36 时,其和为 2 2 又因为 2014 ? 1926 ? 88 ? 36 ? 2 ? 72 ,故恰好在 k ? 37 时开始满足 Tm ? 2014 。

?1 ? 2 ?

? k?? ? ?1 ? 2 ?

? ? k ? 1? ? ??2 ?

∴ mmin ? 37 ? ?1 ? 2 ?

? 36? ? 703 。

……………………12 分

19、 (本小题满分 13 分)今年暑假期间有一个自驾游车队,组织车友前往青海游玩。该车队是由 31 辆车身长 都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的速度不能超 过 20m/s) ,匀速通过该隧道,设车队速度为 x m/s,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保 持 20m 的距离,当 12 ? x ? 20 时,相邻两车之间保持 ?

?1 2 1 ? x ? x ? m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第 3 ? ?6

31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y (s) 。 (Ⅰ )将 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ )求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。 【解析】 (Ⅰ )当 0 ? x ? 12 时, y ?

2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? ? 31 ? 1? 3480 ? ; ……………………2 分 x x 1 ? ?1 2725 ? 5 ? 31 ? ? x 2 ? x ? ? ? 31 ? 1? 5 x 2 ? 10 x ? 2880 2880 3 ? ?6 ? ? 5x ? ? 10 ; 当 12 ? x ? 20 时, y ? x x x
……………………4 分

? 3480 , ? 0 ? x ? 12 ? ? ? x ∴所求函数解析式为 y ? ? 。 2880 ?5 x ? ? 10, ?12 ? x ? 20 ? ? x ?

………………………6 分

-4-

(Ⅱ )当 0 ? x ? 12 时,由于函数单调递减,所以在 x ? 12 m/s 时, ymin ? 当 12 ? x ? 20 时, y ? 5 x ?

3490 ? 290 (s) ;………8 分 12

2880 2880 , ? 10 ? 2 5 x ? ? 10 ? 250 (s) x x 2880 其中等号当且仅当 5 x ? 即 x ? 24 时成立。 x 2880 5 x 2 ? 2880 ? 5? 2 ? ?0, 但 24 ? ?12, 20? ,且当 12 ? x ? 20 时, y' x x2 所以函数在 ?12,20? 上也单调递减,从而,当 x ? 20 时, ymin ? 254 (s)

……………………12 分 ……………………13 分

因 290 ? 254 ,所以 ymin ? 254 (s) 。 答:当车队速度为 20m/s 时,车队通过隧道时间最小,最小时间为 254s。

20、 (本小题满分 13 分)如图,已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) ,圆 C2 与 y 轴相切,其圆心是抛物线的 焦点,点 M 是抛物线的准线与 x 轴的交点,点 N 是圆 C2 上的任意一点,且线段 MN 长度的最大值为 3,直线 l 过抛物线 C1 的焦点,与 C1 交于 A、D 两点,与 C2 交于 B、C 两点。 (Ⅰ )求 C1 与 C2 的方程; (Ⅱ )是否存在直线 l,使得 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 3 2 (其中 O 为坐标原点) ,且 AB , BC , CD 依次成 等差数列?若存在,求出所有满足条件的直线 l;若不存在,请说明理由。 【解析】 (Ⅰ )当点 N 为圆 C2 与 x 轴的另一交点时,

3 3 MN 的长度最大,为 p ,所以 p ? 3 ? p ? 2 , 2 2 2 所以抛物线 C1 的方程为 y ? 4 x ;
圆 C2 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 。
2 2

y A B N

……………………4 分

(Ⅱ )假设存在满足条件的直线 l,并设其方程为 my ? x ? 1 ,

A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? , B ? x3 , y3 ? , C ? x4 , y4 ? ;
由?

M

O

C D

F

x

? my ? x ? 1
2 ? y ? 4x

(※) ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 ;
2

y 2 y 2 ? y1 y2 ? 相应的 x1 x2 ? 1 ? 2 ? ?1, 4 4 16 y y y x ? x1 y2 y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? ?4 m ; 所以 kOA ? kOD ? 1 ? 2 ? 1 2 ………………………6 分 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 m m ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? ? ? ?my ? x ? 1 1 ? m2 ? 1 ? m2 ? 由? 可解得 或 ; ? ? 2 2 1 1 x ? 1 ? y ? 1 ? ? ? ? ? ? y? y?? 2 ? ? 1 ? m 1 ? m2 ? ? ? ? m 1 ? m 1 ? 于是 B ?1 ? ; ……………8 分 2 m , ,? ? , C ?1 ? ? , kO B ? k O C? ? 2 2 2 1? m 1? m ? 1? m 1 ? m2 ? ? ? 2 因此,由 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 3 2 得 ?6m ? 3 2 ,∴ m ? ? ; 2 2 2 y ? x ? 1 ,结合(※)可求得 AD ? ?1 ? m 2 ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? 6 ; 此时,直线 l 的方程为 ? ? ? 2 而 BC ? 2 ,所以 A D ? 3 B C 。
又 AB , BC , CD 依次成等差数列 ? AB ? CD ? 2 BC ? AD ? AB ? BC ? CD ? 3 BC 。

-5-

故存在直线满足要求,且方程为 2x ? y ? 2 ? 0 。

……………………13 分

2 ?x 21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ? 。 ? x ? ?1 ? t ? x ? 1? ? e ( t ? R , e 是自然对数的底)

(Ⅰ )若对于任意 x ? ? 0,1? ,曲线 y ? f ? x ? 恒在直线 y ? x 上方,求实数 t 的最大值;

(Ⅱ)是否存在实数 a, b, c ??0,1? ,使得 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在, 说明理由。 【解析】 (Ⅰ )∵ 对于 x ? ? 0,1? ,函数 y ? f ? x ? 的图象恒在直线 y ? x 上方

x 2 ? ?1 ? t ? x ? 1 1 ( *) ? x ? x ? ? 0,1? 时,1 ? t ? e x ? x ? 。 x x e 1 1 x 设 g ? x ? ? e ? x ? , x ? ? 0,1? ,则 g' ? x ? ? e x ? 1 ? 2 ? 0 对 x ? ? 0,1? 恒成立, x x 1 x 所以 g ? x ? ? e ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,于是 g ? x ?max ? g ?1? ? e ? 2 ; x 从而,由(*)式得 1 ? t ? e ? 2 ,即 t ? 3 ? e 。 所以, t 的最大值为 3 ? e 。 ????????????????6 分 (Ⅱ)假设存在 a, b, c ??0,1? ,使得 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? 成立,则问题等价于 2 f ? x ?min ? f ? x ?max 。 (**)

? x ? ? 0,1? 时,

? ? x ? t ?? x ? 1? 。 ex ① 当 t ? 1 时, f ' ? x? ? 0 , f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递减,所以 2 f ?1? ? f ? 0? ,
由(Ⅰ )知, f ' ? x? ?

3?t e e e ? 1,得 t ? 3 ? 。由于 3 ? ? 1 ,所以 t ? 3 ? 符合题意; e 2 2 2 ② 当 t ? 0 时, f ' ? x? ? 0 , f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,所以 2 f ? 0? ? f ?1? ,
即 2?

3?t e? 0 ,得 t ? 3 ? 2e 。 3 ? 2 ,所以 t ? 3 ? 2e 也符合题意; e ③ 当 0 ? t ? 1 时,在 x ??0, t ? 上, f ' ? x? ? 0 , f ? x ? 在 ?0, t ? 上单调递减;
即 2 ?1 ? 在 x ? ? t ,1? 上, f ' ? x? ? 0 , f ? x ? 在 ?t,1? 上单调递增; 故由(**)式知 2 f ?t ? ? max f ? 0? , f ?1? ,即 2 ? 设 h ?t ? ?

?

?

t ?1 ? 3?t ? (***) ? max ?1, ?。 t e ? e ?

t ?1 t ( t ? ? 0,1? ) ,则 h' ? t ? ? ? t ? 0 恒成立, t e e t ?1 t ?1 2 所以 h ? t ? ? t 在 ? 0,1? 上单调递减,从而有 h ? t ? ? t ? h ?1? ? 。 e e e t ?1 4 4 4 3?t 于是 2 ? t ? ,而 ? 1 , ? ,所以(***)式不可能成立。 e e e e e e ? ? 综上所述,存在 t ? ? ??, 3? 2 e? ? ? 3 ?? , ? ,使得命题成立。?????????????13 分 2 ? ?

-6-


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