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江苏省宿迁市2014届高三数学上学期第一次摸底考试试题苏教版


宿迁市 2013—2014 学年度高三年级摸底考试 数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分

(本部分满分 160 分,时间 120 分钟) 注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回

. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的相应位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作 答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式: 1 n 1 n 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x) 2 ,其中 x ? ? xi . n i ?1 n i ?1 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上. .... 1.已知全集 U ? {1, 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {2 , 3} , B ? {3 , 4} ,则 ?U ? A ? B ? = 2.写出命题“ ?x>0 , 2 ? 1≤0 ”的否定: x ▲ . ▲ . 3.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的值为 ▲ .

4.一位篮球运动员在最近的 8 场比赛中得分的茎叶图如图,则他在这 8 场比赛中得分的方 差是 ▲ . I ←1 S←1 0 8 While S≤24 1 0 2 4 4 6 8 S←S×I 2 0 I←I+1 (第 4 题图) End While Print I (第 5 题图) 5.某算法的伪代码如图所示,该算法输出的结果是 ▲ . 6.用半径为 2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为 ▲ ( b 7.已知非零向量 a , 满足 (a ? 2b) ? a ,b ? 2a ) ? b , 则向量 a 与 b 的夹角为
2 2

cm .
▲ .

8.已知双曲线

x y ? 2 ? 1( a > 0 , > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , 2 ,以 F1F2 为直径的圆与 b F 2 a b 双曲线在第一象限的交点为 P .若 ?PF F2 ? 30? ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 1

9.将一枚骰子(一种六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,向上的点数分别记为 m , n ,则点 P(m , n) 落在区域 x ? 2 ? y ? 2 ≤2 内的概率是 ▲ . 5) 10.已知过点 (2 , 的直线 l 被圆 C :2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程 x
1





.

? 11.已知 ? , 为锐角,且 tan ? ? , ? ? tan

2 t

t 当 , 10 tan ? ? 3tan ? 取得最小值时, ? ? ? 15

的值为 ▲ . 12.已知等比数列 { an } 中, a1 ? 1 , a9 ? 4 ,函数 f ? x ? ? x ? x ? a1 ?? x ? a2 ??? x ? a9 ? ? 2 , 则曲线 y ? f ?x ? 在点 (0 , f (0)) 的切线的斜率为 ▲ . 13.已知函数 f ( x) ? loga

( ?? , ,则实数 a ? b 的值为 1]

1? x a (0<a<1) 为奇函数,当 x ? (?1, ] 时,函数 f ( x) 的值域是 b? x

n

.

14.已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn ? (?1) ? n ,若对任意正整数 n , (an ?1 ? p)(an ? p)<0 恒成 立,则实数 p 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥平面 PAC , AB ? BC ,E , F 分别是 PA , AC 的中点.求证: (1) EF ∥平面 PBC ; (2)平面 BEF ⊥平面 PAC . E A F B (第 15 题图) C

P

16.(本小题满分 14 分) ? ? ? 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A>0 , >0 , ?[0 , )) 的图象如图所示. (1)求 f ( x) 的解析式;

3] (2)求函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2) 在 x ?[?1, 上的最大值和最小值.
y 3

?1
-3

O

3

x
2

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和 Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N* . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? (?1) n an an ?1 ,求数列 {bn } 的前 2n 项的和 T2n .

1 2

18.(本小题满分 16 分) B 如图,海上有 A , 两个小岛相距 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60? , 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km . (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值.

D
A
60? C O

B
(第 18 题图)

19.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ? R ) . a b 1) (3 ? 四点 (3 , , , 1) ,(?2 2 , , 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 0) ( l 上. (1)求椭圆 C 的方程; N (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 两点,使得 PM ? PN ,再过 P 作直线 l ? ? MN .证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.

3

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) . (1)当 a > 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; ) ( 2 ) 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 ( 2,f ( 2 )处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 45? , 且 函 数

1 2 ?( x ? n x? m f )x ( , ? 当且仅当在 x ? 1 处取得极值,其中 f ?( x) 为 f ( x) m R ) n 2 的导函数,求 m 的取值范围; 1 (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ( , 内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互 3) 3 垂直,求 a 的取值范围. g ( x)?

宿迁市 2013—2014 学年度高三年级摸底考试 数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分 一、填空题: 1. {1} 6. 3 11. 2. ?x>0 , 2 ? 1>0 x 7. 3. 2 9.
11 36

4. 14

5.6

π 3

8. 3 ? 1 13. 2

10. x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0

π 4

12. ?512

3) 14. (?1,

二、解答题: 15.证明:⑴在 ?APC 中,因为 E , F 分别是 PA, AC 的中点,所以 EF ∥ PC , ???2 分 又 PC ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以 EF ∥平面 PBC ; ?????5 分

⑵ 因为 AB ? BC ,且点 F 是 AC 的中点,所以 BF ⊥ AC ,?????????7 分 又平面 ABC ⊥平面 PAC ,平面 ABC ∩平面 PAC ? AC , BF ? 平面 ABC , 所以 BF ⊥平面 PAC , ?????????????????????11 分 ??????????14 分

因为 BF ? 平面 BEF ,所以平面 BEF ⊥平面 PAC . 16.解: (1)由图可得 A ? 3 ,

???????????????1 分

f ( x) 的周期为 8,则

2?

f (?1) ? f (3) ? 0 ,则 f (1) ? 3 ,
所以 sin( ? ? ) ? 1 ,即 故? ?

?

? 4 ,即 ? ?

? ; 4

???????????????3 分

? , 4

? 4

? ? ? ? ? ? ? 2k ? , ?Z ,又 ? ?[0 , ) , k 4 2

综上所述, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? ) ; (2) g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2)

? 4

? 4

???????????6 分

4

? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 4 4 ? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3 cos( x ? ) 4 4 4 4 1 ? ? 3 ? ? ? 6[ sin( x ? ) ? cos( x ? )] 2 4 4 2 4 4 ? 7? ???????????10 分 ? 6sin( x ? ) 4 12 ? 7? ? 4? 3] 当 x ?[?1, 时, x ? ?[ , ] , 4 12 3 3 ? 7? ? 7? ? 1 故当 x ? ? 即 x ? ? 时, sin( x ? ) 取得最大值为 1, 4 12 4 12 2 3 1 则 g ( x) 的最大值为 g (? ) ? 6 ; ???????????12 分 3 3 ? 7? ?? ? 7? 当 x? 即 x ? 3 时, sin( x ? ) 取得最小值为 ? , ? 2 4 12 3 4 12 3 ) ? ?3 3 . 则 g ( x) 的最小值为 g (3) ? 6 ? (? ???????????14 分 2 1 17.解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? (a1 ? 1)(a2 ? 2) ,即 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 , 2
因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 2 当 n ≥ 2 时, Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , ????????????2 分

1 2 1 Sn?1 ? (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) , 2
????????????6 分

两式相减得: (an ? an?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0 ,

又因为 an > 0 ,所以 an ? an ?1 > 0 ,所以 an ? an?1 ? 1 , 所以 an ? n ? 1 ; ???????????8 分

(2) T2 n ? ?a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? a5 a6 ? ? ? a2 n?3a2 n?1 ? a2 n?1a2 n ? a2 n a2 n?1

? 2(a2 ? a4 ? … ? a2n ) , a … a 又 a2 , 4 , , 2n 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,
所以 a2 ? a4 ? … ? a2n ? 故 T2n ? 2n2 ? 4n .

???????????11 分

n(3 ? 2n ? 1) ? n2 ? 2n , 2
???????????14 分

18.解: (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①,

??????2 分

5

在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, ??????4 分 2 x ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? , 2 x 2 ? 100 ①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? , ??????6 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , 2 2 x 2 ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 又 OA ? OB ? 2 所以 10<x≤10 3 ; ????????????8 分 (2)易知 S?OAB ? S?OAC ,

1 3( x 2 ? 100) 故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , ?????????10 分 2 4

1 ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) , 2 3( x 2 ? 100) , ? (10 , 3] , x 10 所以 f ( x) ? 2x 3 100 (1 ? 2 ), 又 f ?( x) ? 2 x 则 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 10
又 S?ABC ?

???????????12 分 ???????????14 分

所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ????????16 分 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) 10 ) (10 , 3] 上是增函数,但未给出证明,扣 2 分. 10 19.解: (1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上, 1) (3 ? 根据椭圆的对称性,则点 (3 , , , 1) 一定在椭圆 C 上, 9 1 即 2 ? 2 ?1 ①, ??????????????2 分 a b 若点 (?2 2 , 在椭圆 C 上,则点 (?2 2 , 必为 C 的左顶点, 0) 0) 而 3>2 2 ,则点 (?2 2 , 一定不在椭圆 C 上, 0) 故点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 , 在直线 l 上, 0) 所以 ??????????4 分

3 3 ? ?1 a 2 b2

②,

联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1; 12 4

??????????????6 分

y y (2)由(1)可得直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,设 P (?2 2 , 0 ) , 0 ? (?

2 3 2 3 , ), 3 3

y N y 当 y0 ? 0 时,设 M ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,显然 x1 ? x2 ,

? x12 y12 ? 1, ? ? x 2 ? x2 2 y12 ? y2 2 y ? y2 1 x ?x ? 12 4 ? ? 0 ,即 1 ?? ? 1 2 , 联立 ? 2 则 1 2 12 4 x1 ? x2 3 y1 ? y2 ? x2 ? y2 ? 1, ? 12 4 ? 又 PM ? PN ,即 P 为线段 MN 的中点,
6

1 ?2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为 ? ? , ? 3 y0 3 y0
又 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 即y??

??????????????10 分

3 y0 2 2

( x ? 2 2) ,

???????13 分

3 y0 2 2

(x ?

4 2 ), 3
4 2 , ; 0) 3
???????????????15 分

显然 l ? 恒过定点 ( ?

当 y0 ? 0 时,直线 MN 即 x ? ?2 2 ,此时 l ? 为 x 轴亦过点 ( ? 综上所述, l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , ; 0) 3

4 2 , . 0) ??????????????16 分 3 a(1 ? x) 20.解: (1) f ?( x) ? ??????????????1 分 ( x>0) , x 当 a > 0 时,令 f ?( x)>0 得 0< x <1 ,令 f ?( x)<0 得 x>1 , ? 1) 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0 , ,单调减区间为 (1, ?) ;?????????4 分 (2)函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2 ,f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? , 则 f ?(2) ? 1 ,即 a ? ?2 ; ???????????????5 分
2m x 3 ? nx 2 ? 2m 1 2 2 , x ? nx ? m(2 ? ) ,所以 g ?( x) ? x ? n ? 2 ? x x2 2 x 因为 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,故 g?(1) ? 0 ,从而可得 n ? ?1 ? 2m ,????????6 分
所以 g ( x) ?

x3 ? nx 2 ? 2m ( x ? 1)( x 2 ? 2mx ? 2m) ? ,又因为 g ( x) 仅在 x ? 1 处有极值, x2 x2 ? 所以 x2 ? 2mx ? 2m≥0 在 (0 , ?) 上恒成立, ?????????????8 分
则 g ?( x) ?

? 当 m> 0 时,由 ?2m < 0 ,即 ?x0 ? (0 , ?) ,使得 x02 ? 2mx0 ? 2m < 0 , 所以 m> 0 不成立,故 m ≤ 0 ,
? 又 m ≤ 0 且 x ? (0 , ?) 时, x2 ? 2mx ? 2m≥0 恒成立, 所以 m ≤ 0 ; ???????????????10 分 (注:利用分离变量方法求出 m ≤ 0 同样给满分. )
(3)由 f ?( x) ?

a(1 ? x) ? 1) ( x>0) 得 (0 , 与 (1, ?) 分别为 f ( x) 的两个不同的单调区间, x
?????????????12 分

因为 f ( x) 在两点处的切线相互垂直, 所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内.

( 故可设存在的两点分别为 ( x1 , f ( x1 )) ,x2 , f ( x2 )) ,其中 < x1 <1< x2 <3 ,
由该两点处的切线相互垂直,得 即

a(1 ? x1 ) a(1 ? x2 ) ? ? ?1 , x1 x2

1 3

????????13 分

1 ? x1 1 ? x1 x x 1 1 ? (0 , ,故 ? 2 ? 2 ? (0 , , 2) ? ? 2 ? 2 ,而 2) x1 x1 a 1 ? x2 a 1 ? x2
2a 2 , 2a 2 ? 1

可得 (2a 2 ? 1) x2 >2a 2 ,由 x2 > 0 得 2a2 ? 1>0 ,则 x2 > 又 1< x2 <3 ,则

2a 2 3 < 3 ,即 a 2 > , 2 2a ? 1 4

7

? 所以 a 的取值范围为 (?? ,

3 3 ) ? ( , ?) . ? 2 2

??????????????16 分

8


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